Адиабатный процесс

25

В. Кресин

Адиабатный процесс

Различные разделы физики тесно связанны между собой. Можно привести немало иллюстрирующих примеров. Так, в данной статье расказывается об одном из важнейших процессов, изучаемых в молекулярной физике, — адиабатном процессе. При этом процессе изменяется температура газа. На础ет интересовать механизм изменения температуры; для этого потребуется некоторые сведения из механики. Поэтому мы и начнем с одной механической задачи.

Отражение от движущейся стены

Рассмотрим такое механическое явление: шарик подлегает к стенке со скоростью $v$ и после абсолотно упруго удара меняет направление своего движения. Для простоты ограничения случая нормального падения шарика на стенку.

Если стенка неподвижна, то ясно, что после удара направление скорости движения шарика изменится на противоположное, а абсолотная величины ее $|v|$ остаются неизменной.

Усложним теперь нашу задачу: шарик подлегает к движущейся стенке. Предположим, что стенка движется навстречу шарику со скоростью $u$ (рис. 1). С какой скоростью в этом случае будет движаться шарик после столковения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, сведем задачу к известной — соударение шарика с неподвижной стенкой. Другими словами, будем рассматривать явление в системе отчета, связанной со стенкой. С точки зрения наблюдателя в этой системе отчета скорость приближающегося к стенке шарика будет другой, а именно $|v'| = |v| + |u|$. После отражения (напомним, что в рассматриваемой системе отчета стенка поконтся) скорость изменит направление, а по абсолотной величины остается прежней. Для окончательного решения задачи снова перейдем в неподвижную систему отчета, связанную на приближающегося к стенке шарика относительно стенки, а сама стенка движется относительно земли со скоростью $|u|$. Следовательно, скорость шарика относительно земли равна $|v| + 2|u|$.

Таким образом, в результате упруго отражения от движущейся стены скорость шарика возвращается на удовенную скорость стены.

На этом мы заканчиваем рассмотрение вспомогательной механической задачи и переходим к основному вопросу — описанию адиабатного процесса.

Механизм изменения температуры при адиабатном процессе

Пусть в цилиндре под поршнем находится идеальный газ (рис. 2). Движение поршня $AB$ позволяет произвольить как скатие, так и расшире-

Рис. 1.

27

зано с уменьшением скорости молекул при отражении их от удаляющегося поршня.

Основной закон аднабатного процесса
При аднабатном процессе изменение объема идеального газа сопровождается изменением его температуры. Основная задача этого раздела статьи — получить формулу, связывающего температуру и объем при аднабатном процессе. Для этого воспользуемся молекулярно-кипетической картиной этого процесса.

Рассмотрим движение какой-нибудь молекулы одноатомного идеального газа. Пусть ее скорость равна $v$ и кинетическая энергия

$$\varepsilon = \frac{m |\vec{v}|^2}{2}.$$

Движение молекулы в пространстве можно представить в виде трех независимых движений по осям $X$, $Y$ и $Z$. (В этом смысле говорят о трех степенях свободы молекул.) С каждым из этих независимых движений связаны соответствующие процесции $v_x$, $v_y$ и $v_z$ скорости молекулы. Тогда выражение для кинетической энергии можно записать так:

$$\varepsilon = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$$

$$= \frac{m v_x^2}{2} + \frac{m v_y^2}{2} + \frac{m v_z^2}{2}.$$ (1)

Нас будут интересовать стольновия молекул с опускающимся поршнем (для определения расстояния случай аднабатного скатия). Поэтому мы будем говорить только о движении вдоль оси $X$ (см. рис. 2). Пусть поршень опускается со скоростью $\vec{u}$. Величина энергии $\varepsilon_x$ после стольновия с поршнем становится равной

$$\varepsilon' = \frac{n (|v_x| + 2 |\vec{u}|)^2}{2},$$

а изменение энергии

$$\Delta \varepsilon_x = \varepsilon' - \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}| + 2m |\vec{u}|^2.$$

Объчно $|\vec{u}| \ll |v_x|$. Тогда в выражении для $\Delta \varepsilon_x$ можно пребежать вторым слагаемым по сравнению с первым и считать

$$\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|.$$ (2)

Формула (2) описывает изменение энергии одной молекулы в результате одного стольновения с поршнем. Каждый же изменение в единицу времени все внутренней энергии расматривается идеально газа? Для ответа на этот вопрос мы должны просуммировать изменения энергии всех молекул, столкновихся в течение секунд с опускающимся поршнем. Обозначим через $N$ число молекул газа в сосуде, через $V$ — объем сосуда и через $S$ — площадь поршня. Для простоты расчужdenый будем считать, что все молекул газа характеризуется одним и тем же численным значением процесси скорости $v_x$ (в дальнейшем мы внесем необходимые коррективы). При этом в любой момент времени половина молекул движется к поршню, а вторая половина — от него (инначе было бы смешение всего газа как целого). В течение 1 сек стольновия испытают лишь те молекулы, которые, во-первых, движутся к поршню и, во-вторых, находятся от него на расстоянии, не превышающим $|v_x|^*$), то есть число молекул, испытающих соударения, равно

$$N' = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S.$$ (3)

У всех $N'$ молекул энергия после соударения с поршнем изменяется на величину $\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|$ (см. формулу (2)). Таким образом, полное изменение энергии газа в единицу времени

$$\Delta E = N' \Delta \varepsilon_x$$

$$= \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S \cdot 2m |v_x| |\vec{u}|$$

$$= 2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} |\vec{u}| S.$$ (4)

*) Более строго это расстояние равно $|v_x| + |\vec{u}|$, но мы воспользуемся тем, что $|\vec{u}| \ll |v_x|$.

28

Ясно, что величины $|\vec{u}| S$ численно равна, но противоложна по значению объема сосуда: $|\vec{u}| S = -\Delta V$. Тогда

$$\Delta E = -2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} \Delta V = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(5)

Мы считали, что все молекулы характеризуются одним и тем же значением проекции скорости $v_x$. Конечно, это предположение не соответствует действительности. На самом деле все молекулы движутся с различными скоростями, и реализно наблюдается значительный разбор значений $\varepsilon_x$. Поэтому в выражении (5) вместо энергии $\varepsilon_x$ надо взять среднее по всем молекулам значения энергии $\varepsilon_x$:

$$\Delta E = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(6)

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа, содержащого $N$ молекул, равна

$$E = \frac{3}{2} N k T,$$

(7)

где $k$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолотная температура газа. Величина $\frac{3}{2} k T$ и представляют собой среднее значение энергии молекул одноатомного идеального газа. Поскольку молекул складываются из трех независящих равноправных движений (по тем осем координат), ясно, что $\varepsilon_x = \frac{k T}{2}$. Подставим это значение в выражение (6):

$$\Delta E = -N k T \frac{\Delta V}{V}.$$

(8)

Запишем теперь иное выражение для $\Delta E$. Воспользуемся формулой (7) для внутренней энергии идеального газа. При аднабатном скатин температура газа изменяется. Пусть при изменении объема на $\Delta V$ температура газа изменяется на $\Delta T$. Тогда внутренняя энергия газа, содержащого же $N$ молекул, равна $E' = \frac{3}{2} N k (T + \Delta T)$, и изменение внутренней

$$\Delta E = \frac{3}{2} N k \Delta T.$$

(9)

Приравняв правила части выражений (8) и (9), приdem к следующему равенству:

$$-N k T \frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2} N k \Delta T,$$

(10)

или

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

(11)

Формула (11) устанавливает связи между температурой, объемом и их изменениями при аднабатном процессе.

Возникает вопрос: как должны быть связанные между собой температура $T$ и объем $V$ газа, чтобы при их изменении соответствующего на $\Delta T$ и $\Delta V$ выполнялось равенство (11)? Оказывается, эта связь при любых $T$ и $V$ должны иметь вид *)

$$\ln T = -\frac{2}{3} \ln V + \text{const},$$

(12)

где $\ln$ — натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию $e \approx 2,72$.

*) Дессятиклассики могут в этом убедиться самостояльно (см., например, «Алгебру и начала анализ 10», п. 114). Для остальных читателей приведем проверку того, что из выражения (12) действительное получается выражение (11).

В самом деле, пусть температура и объем изменились на малые величины $\Delta T$ и $\Delta V$ соответственно. Тогда из выражения (12) следует:

$$\ln (T + \Delta T) = -\frac{2}{3} \ln (V + \Delta V) + \text{const},$$

или

$$\ln T + \ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) =$$

$$= -\frac{2}{3} \ln V - \frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right) + \text{const}.$$

С учетом равенства (12) получаем

$$\ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) = -\frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right).$$

Теперь воспользуемся приближенной формулой: при малых $\alpha$ ln $(1 + \alpha) \approx \alpha$, тогда

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

29

Таким образом, температура и объем при аднабатном процессе связаны формулой (12), которая легко приводится к виду

$$\ln (TV^{2/3}) = \text{const},$$

или

$$TV^{2/3} = \text{const.}$$

(13)

Это и есть окончательная искомая формула, выражающая основной закон аднабатного процесса для одноатомного идеального газа: $T \sim \frac{1}{V^{2/3}}$.

Показатель степени $2/3$, фигурирующий в выражении (13), имеет определенный физический смысл. Можно показать (см. Приложение), что

$$\frac{2}{3} = \frac{C_p}{C_V} - 1,$$

где $C_p$ — тепломкость газа, если его нагрев происходит при постоянном давлении, а $C_V$ — тепломкость газа при постоянном объеме. Поэтому закон, описывающий аднабатный процесс (выражение (13)), обычно записывается в виде

$$TV^{\gamma-1} = \text{const},$$

где $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$.

Мы рассмотрели подробно аднабатный процесс для одноатомных газов. Но оказывается, уравнение (14) описывает аднабатный процесс и в случае многоатомных газов. Изменяется только значение величины $\gamma$. Например, для двухатомных газов $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$ (а не $2/3$, как для одноатомных газов). Это связано с тем, что для двухатомных газов внутренняя энергия $E = \frac{5}{2} NkT$ (а не $\frac{3}{2} NkT$).

Двухатомные молекулы могут содержать не только поступательное движение, но и вращение вокруг осей, проходящих через центр молекул. С этим вращением тоже связана определенная энергия. Вот почему показатель степени $\gamma - 1$ оказывается иным: $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$. Предлагаем читательам самостоятельно получить это значение.

Приложение

Величина тепломкости вещества зависит не только от его природы или температуры, но и от того, при каких условиях процесс нагревания. Например, при нагревании в закрытом сосуде не изменяется объем газа, а в сосуде, закрытом подвижным поршнем остается неизменным давление. При этом подводимое тепло расходуется не только на увеличение внутренней энергии газа, но на совершение работы по распределению. тепломкость в этих двух случаях различана. В первом случае ее называют тепломкостью при постоянном объеме и обозначают $C_V$, а во втором — тепломкостью при постоянном давлении $C_p$. Ясно, что $C_p > C_V$. Найдем разность этих величины.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты $Q$, подводимое к газу, равное сумме изменения внутренней энергии газа $\Delta E$ и равны газа $A$:

$$Q = \Delta E + A.$$

Для одноатомных газов изменение внутренней энергии $\Delta E = \frac{3}{2} Nk\Delta T$. Работа газа $A$ при малых изменениях объема $\Delta V$ равна $A = p\Delta V$ (p — давление газа). Поэтому

$$Q = \frac{3}{2} Nk\Delta T + p\Delta V,$$

и тепломкость газа

$$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$

Если объем газа не изменяется, то его тепломкость

$$C_V = \frac{3}{2} Nk.$$

Если же измененным остатся давление, то

$$C_p = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + \frac{\Delta (NkT)}{\Delta T} = \frac{5}{2} Nk$$

(мы воспользуемся основным уравнением состояния идеального газа $pV = NkT$). Отсюда

$$C_p - C_V = Nk.$$

Тогда формулу (10) можно записать в виде

$$- (C_p - C_V) T \frac{\Delta V}{V} = C_V\Delta T,$$

или

$$\frac{\Delta T}{T} = - \left( \frac{C_p}{C_V} - 1 \right) \frac{\Delta V}{V} = - (\gamma - 1) \frac{\Delta V}{V},$$

откуда окончательно получаем

$$TV^{\gamma-1} = \text{const.}$$