Строительство и... мыльные плёнки

10

и не представлена. Для $n=2, 3, 4$ это очень надо. Рассмотрим теперь число $n$ и предположим, что все числа, меньше $n$, могут быть разложены в произведение простых. Если $n$ — простое число, то $n=n$ — искомое представление. Если $n$ — составное число, то $n=n_1n_2$, причем $n_1, n_2<n$. Применив предположение индекции к числам $n_1$ и $n_2$, получим соответствующее представление и для числа $n$.

В. Единственное представления доказывает сложнее. Вот одно из возможных доказательств. Применим снова метод индукции.

Для $n=2, 3, 4$ единственное имеет место. Предположим, что она имеет место для всех чисел, меньше $n$. Предположим далее, что число $n$ представляется в виде произведения простых двумя способами:
$$n = p_1p_2 \dots p_k = q_1q_2 \dots q_m.$$
При этом равенство $p_i=q_j$ невозможно, иначе, сократив на $p_i=q_j$ обе части равенства, мы получили бы нединственное представления для меньшего числа $l=n/p_i=n/q_j$.

Предположим, что в обих разложения множители записаны в порядке возрастания ($p_i \geq p_{i-1}$ и $q_i \geq q_{i-1}$) и, кроме того, $p_1<q_1$.

Рассмотрим число $m=p_1q_2 \dots q_m$. Из $p_1<q_1$ следует $m<n$. Число $n-m$ делится на $p_1$, поэтому $n-m=p_1t_1 \dots t_2$, где $t_i$ — простые числа. С другой стороны, ких конструкции. Оказывается, один из методов моделирования таких конструкций связан с … мыльными пленками.

Как известно, именно мыльные пленки очень часто образуют поверхности самой приудливой формы и при этом с наименьшей площадью. Вот почему моделирование на мыльных пленках широко использовать первой стандарти по-ektрированию конструкций сложных форм.

На фотографии вы видите фрагмент декоративной композиции, которая экспонровалась в павильоне Советского Союза на Всемирной выставке 1975 года. Композицию отличит оригинальную форму, легкость, вызывающая у эргетеля ощущение неевесомости, эфемерности.

В. Колейчик