Центр тяжести полушария

17

Центр тяжести полушария

22 века назад Архимед придумал механический метод, с помощью которого впервые удалось найти объем шара и центр тяжести полушария. Еще раньше Демокрит и Евдокс установили, что объем конуса в три раза меньше объема описанного цилиндра, а центр тяжести конуса делит его высоту в отношении 3:1, считая от вершины.

Докажем, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного цилиндра и что центр тяжести полушария делит его высоту в отношении 3:5, считая от центра шара.

Рассмотрим шар и описанный около него цилиндр. Плоскость рисунка 1 проходит через ось цилиндра, направленную горизонтально. Рассмотрим также конус с вершиной в центре шара O и основанием, общим с основанием полушарида.

Проведем через произвольную точку A на оси полушарида плоскость MN, перpendикулярную этой оси. В сечении с шаром она дает круг радиуса AP, с конусом — круг радиуса AB, с цилиндром — круг радиуса AM=R. Теорема Пифагора гласит, что AP²+AO²=OP²=AM², а так как угол при вершине конуса прямой и AO=AB, AP²+AB²=AM².

Взяв это соотношение л раз, усматриваем, что сечения шара и конуса в сумме имеет площадь, равную сечению цилиндра:

$$S_{\text{ш}} + S_{\text{к}} = S_{\text{ц}}.$$ (1)

Так как (1) верно для любой точки A на оси полушарида, из принципи Кавальери («Алгебра и начала анализа 10», п. 107, или «Квант», 1977, № 2, с. 7, 10) находится, что объем полушария V_{\text{ш}} и конуса V_{\text{к}} в сумме равны объему полушарида V_{\text{ц}}:

$$V_{\text{ш}} + V_{\text{к}} = V_{\text{ц}}.$$ (2)

Рассмотрим теперь ось цилиндра как рычаг с сечиной в центре O. Перенесем сечение цилиндра в правую сторону рисунка в точку A′, симметрично точке A относительной центра O. С помощью (2) устанавливаем, что сечения шара и конуса, подвешенные вместе в точке A, уравновешивают сечение цилиндра, подвешенное в точке A′.

Если теперь заполнить кругами все сечения шара и конуса слева, а сечения полушарида — симметрично справа от точки O, то из равновесия каждой трех таких кругов следует, что полушарие и конус вместе уравновешивают полушарид относительно центра O (рис. 2).

Но центр тяжести полушарида находится на середине C его оси, и центр тяжести K конуса, как было упомянут выше, на расстоянии OK=(3/4)R от вершины. Пусть центр тяжести полушария будет в точке X. Тогда по правую рычага условия равновесия этих трех тел имеет вид:

$$|OX| \cdot V_{\text{ш}} + |OK| \cdot V_{\text{к}} = |OC| \cdot V_{\text{ц}}.$$ (3)

Но V_{\text{к}} = (1/3)V_{\text{ц}}, а из соотношения между объемами (2) находится V_{\text{ш}}=V_{\text{ц}}-V_{\text{к}}=(2/3)V_{\text{ц}}, то есть объем полушария в полтора раза меньше объема описанного цилиндра. Поэтому уравновешия (3) принимает вид:

$$(2/3)V_{\text{ц}} + OX + (1/3)V_{\text{ц}} \times (3/4)R = V_{\text{ц}} \cdot (1/2)R.$$

Отсюда получаем

$$|OX| = (3/8)R,$$

то есть центр тяжести полушария делит высоту полушария в отношении 3:5, считая от центра шара.

Как этим методом найти центр тяжести сегмента шара или сегмента эллипсоidea, легко сообщать и сам читатель.

M. Мамикон

Отредакции: В № 5 журнала «Квант» за 1977 г. было опубликовано два решения задачи об объеме шара — «механическое» решение Архимеда и геометрическое решение М. Мамикона. Данная заметка является логическим продолжением этой статьи.