Задачи наших читателей

31

Другие хорошие определения

Разумеется, определение 5 не является единственным. В определении 4 был указан эквивалентный вариант. Приведем еще несколько.

О пределене 6. Пусть $\Delta_n$ — правильный описанный $n$-угольник, $Q_n$ — его перimetр; длиной окружности называется $\lim_{n \to \infty} Q_n$.

Последовательность $(Q_n)$ является, конечно, убывающей.

О пределене 7. Длина окружности — число $\lim_{n \to \infty} P_2^n$: предполагается последовательности перimetров правильных вписанных $2^n$-угольников ($\Pi_{2^2}$ — вписанный квадрат, $\Pi_{2^3}$ — правильный вписанный восмнуюугольник и т. д.).

В данном случае монотность последовательности перimetров очень видна; однako само определение довольно искусственно — не понятно, откуда взялось $2^n$, получится ли тот же предел для $\Pi_{3^n}$.

Особняком стоит

О пределене 8. Длина окружности — это число, которое больше перimetра любого вписанного многоугольника и меньше перimetра любого описанного многоугольника.

Это очень хорошее определение. К сожалению, доказательство существования такого числа опирается на теорему, отсутствующего в школьном курсе математики. Однако в предположении, что оно существует, можно доказать его единственное.

Определение — только первый шаг. Дальше надо занять способы вычисления числа $n$, его свойства — но об этом нужно отдельный разговор.

О числе $n$ можно прочесть много интересного в книге Ф. Кымпан «История числа $n$» (М., «Наука», 1971).

Задачи
наших
читательей

1. Доказать, что число $246^{133}77 + 77^{246}133 + 133^{77}246$ делится на 190.

2. Найти две последние цифры числа $2^{2000}$.
   А. Пуляев
   (г. Донецк)

3. Доказать, что число $5^{34}m - 2^{24}n + 2$ делится на 11 при любых натуральных $m$ и $n$.
   С. Майзус
   (г. Запороже)

4. Доказать, что при $n \geqslant 2$, $l=0, 1, \dots, 2n-2$

$$\sum_{k=1}^{2n} (-1)^k \sin^2 \frac{k\pi}{2n+1} \times \cos^l \frac{k\pi}{2n+1} = 0.$$

М. Левин
(г. Таллин)

5. Площадь треугольника равна $S$. Найти наименьшее значение длины a) набольшей стороны;
   б) средней стороны.
   А. Халамайер
   (г. Москва)

6. Дана окружность и точки $A$ и $B$ на ней. На хорде $AB$, как на основании, строится равноведенный треугольник с вершиной на большей из двух дуг, стягиваемых этой боковой сторой, и т. д. Доказать, что эти равноведенные треугольники становятся все более близкими по форме к равностороннему треугольнику.

Э. Ясиновый
(г. Куйбышев)

7. Решить уравнение

$$\frac{1}{x+y+z} = 0, 0xyz.$$

И. Михалкович
(Mинская обл.)