Что такое π?

28

А. Звонкин

Что такое π?

Число π впервые появляется в школе в 5 классе — в учебнике «Matematika 5» (п. 59), о нем говорится в учебнике «Геометрия 8» (п. 118) и в учебнике «Алгебра и начала анализа 9» (п. 33). Оdnako доказательства существования числа π в этих учебниках нет. Мы приводим его в этой статье.

Длина отрезка

Длиной отрезка называется расстояние между его концами («Геометрия 6», п. 7).

На практике длины отрезков измеряют с помощью измерительных прибора — линейки, рулетки и т. п. Теоретический анализ этого процесса приводит к математической конструкции, называемой процессом измерения, и волне заслуживает отдельной статы.

Коротко говоря, процесс измерения состоит в следующем:

1. выбирается произвольный отрезок — единица длины;
2. единица длины откладывает в измеряемом отрезке столько раз, сколько можно;
3. если при этом от измеряемого отрезка остается остаток, то единица длины делится на равные части и полученная часть единицы откладывает в остатке;
4. и так далее.

Самое интересное здесь скрыто в четвертом пункте. Оказывается, процесс измерения может кончится за конечное число шагов (в этом случае измеряемый отрезок и единица длины называются соизмерными), а может и продолжаться бесконечно.

Таким образом, даже при измерении длины отрезка может попадать предельный переход. Вполне естественно, что он будет необходим нам и при определении длины окружности. При этом мы будем считать, что мы уже знаем, что такое длина отрезка и, тем самым, период многоугольника.

Читатель может спросить: а нельзя ли измерить длину окружности следующим способом — обмотать ее ниткой, затем нитку развернуть и приложить к линейке? К сожалению, для превращения этого практического способа измерения в строгу математического конструкцию требуют довольно изысканные математические средства, выходящие за рамки школьной программы.

Плохные определения
длинны окружности

Teорема может быть верной или неверной — определение ни верным, ни неверным быть не может. Определение может быть против вым (если не существует объектов, удовлетворяющих ему), не корректным (если оно определяет не то, что мы хотели) и не удовлетворяющим.

Мы даим сейчас несколько определений длины окружности. Все определения будут строиться по одному и той же схеме: тем или иным способом будет выбираться последовательность (Πn) вписанных в окружность многоугольников и длиной окружности будет назвать $L = \lim_{n \to \infty} P_n$, где $P_n$ — периметр многоугольника $\Pi_n$. Друг от друга определения будет отличаться разным выбором последовательно ($\Pi_n$).

Дадим сначала несколько плохих определений.

«О пределе» 1. $L = \lim_{n \to \infty} P_n$, где ($\Pi_n$) — произведение

29

Рис. 1.

вольная последовательность вписанных многоугольников.

Это определение никака не годится. Например, если при всех $n$ многоугольник $\Pi_n$ это один и тот же вписанный в окружность квадрат, то $(P_n)$ — постоянная последовательность, и в качестве длины окружности у нас получится перimeter вписанного квадрата. Если же в последовательности $(\Pi_n)$ стоит по очереди квадраты и правильные треугольники, то последовательность $(P_n)$ предела не имеет (доказhte!).

Обозначим через $\varphi(n)$ число сторон многоугольника $\Pi_n$, через $\psi(n)$ — длину его набольшей стороны.

《Определение》2. $L = \lim_{n \to \infty} P_n$, где $(\Pi_n)$ — такая последовательность, что $\lim_{n \to \infty} \varphi(n) = +\infty$*).

Оказывается, и это определение неорретно. На рисунке 1 изображена последовательность $(\Pi_n)$, удовлетворяющая «определению» 2 и такая, что $\lim_{n \to \infty} P_n$ не совпадает с тем, что мы хотели бы считать длиной окружности. Нетрудно также построить пример последовательности $(\Pi_n)$, удовлетворяющей «определению»*

*) To есть $\varphi(n)$ стандартная сколь годно большим.

Рис. 2.

2, для которого $\lim_{n \to \infty} P_n$ не существует (постройте!).

《Определение》3. $L = \lim_{n \to \infty} P_n$, где $(\Pi_n)$ — такая последовательность, что $\lim_{n \to \infty} \varphi(n) = +\infty$ и $\lim_{n \to \infty} \psi(n) = 0$.

К сожалению, и этот вариант не годится. На рисунке 2 изображена последовательность $(\Pi_n)$, удовлетворяющая «определению» 3 и такая, что $\lim_{n \to \infty} P_n = 0$. Как и в «определении» 1, 2, легко построить такую $(\Pi_n)$, что $\lim_{n \to \infty} P_n$ не существует.

Хорошие определения
длинны окружности

Определение 4. $L = \lim_{n \to \infty} P_n$, где $(\Pi_n)$ — такая последовательность, что при всех $n$ центр окружности лежит внутри $\Pi_n$ и $\lim_{n \to \infty} \varphi(n) = +\infty$, $\lim_{n \to \infty} \psi(n) = 0$.

Можно доказать, что для любой $(\Pi_n)$, удовлетворяющей «определению» 4, $\lim_{n \to \infty} P_n$ существует, причем он не зависит от выбора исходной последовательности $(\Pi_n)$. Однако доказать это очень трудно. Поэтому определение 4 неудобно. Кроме того, оно некарасно: уж очень много в нем разнородных требований.

30

Определение 5. $L = \lim_{n \to \infty} P_n$, где $\Pi_n$ — правильный вписанный $n$-угольник (ср. «Алгебра и начала анализа 9», п. 33).

В отличие от определений 1—3, в данном случае предел действительное существует. Докажем это.

Теорема. Последовательность $(P_n)$ возвращает и ограничена.

Доказательство мы разобем на ряд шагов, которые представим в виде задач. При их решения важно обойтись без тригонометрики, так как определение тригонометрических функций опирается на понятие длины окружности.

Задание 1.

1. Прямогольные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общий квадрат $AC$ и $BAC < DAC$. Доказать, что $|AB| < |AD|$.

2. У прямогольных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ гипotenузы $AB$ и $A_1B_1$ конгруэнтны и $BAC < B_1A_1C_1$. Доказать, что $|A_1C_1| < |AC|$.

3. Острый центральный угол $AOB$ разделен радиусами $OM_1, OM_2, \dots, OM_{k-1}$ на $k$ конгруэнтных частей (рис. 3). Точка $C$ — проекция точки $A$ на $[OB]$, точка $N_i$ — проекция точки $M_i$ на $[AC]$ ($i = 1, 2, \dots, k - 1$). Доказать, что $|AN_1| < |N_1N_2| < \dots < |N_{k-1}C|$.

4. Доказать, что $P_{n+1} > P_n$.

5. Доказать, что если один выпуклый многоугольник лежит внутри другого, то перimetр внутри него меньше, чем перimetр внешнего. Покажите, что без условия выпуклости это утверждение неверно.

Итак, последовательность $(P_n)$ возвращает (задча 4) и ограничена (для любого $n$ перimetр $P_n$ меньше, чем перimetр описанного квадрата — задча 5). По теореме Вейн-ерштрасса*) она имеет предел. Значит, определение 5 корректно: любая okружность имеет (единственную) длину.

Число π

Обозначим длину okружности через $L$, ее диаметр — через $d$, радиус — через $r$, длину стороны правильного вписанного $n$-угольника — через $a_n$.

Теорема. Отношение $\frac{L}{d}$ одинаково для всех okружностей.

Поскольку

$$\frac{L}{d} = \lim_{n \to \infty} \frac{P_n}{d} = \lim_{n \to \infty} \frac{na_n}{2r} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_n}{r} \right),$$

достаточно доказать, что одинаково для всех okружностей относение $\frac{a_n}{r}$, а это вытекает из подобия треугольников, изобравнений на рисунке 4.

Вот это самое отношение длины okружности к диаметру и принято обозначать греческий буквой π.

Буква π — первая буква греческого слова περιфера («окружность»). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общеприятным оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Л. Эйлер.

*) «Алгебра и начала анализа 9», п. 32.

Рис. 3.

Рис. 4.