Сообразительная Аня

39

В. Касаткин

Сообщительная Аня

Поводом для этого рассказа послужил доклад, который сделала нивеншим летом на традиционных сборах «Малой академии наук» школьников Крыма Аня Шаховская. Живет Аня в поселке Научный вблизи Бахчисарая. Сейчас она учится в восемом классе. Аня на год моложе Малой академии — ей в этом году исполнили 14 лет.

Однажды летом, когда Аня была в туристском лагере, ее назначили ответственный за выдачу продуктов туристам.

— Смотри не ошибись, подсчитывай все верно, — напутствовал ее наальник лагеря, — вычислительной машины у нас нет.

— Не волнуйте, я что-нибудь придумаю.

И Аня придумала. В ближайшем магазинае ей удалось разобить чашечные весы и несколько гирь.

Утром все сбежались смотреть, ка к Аня отпускает круту туристам.

К сожалению, Ане удалось найти только 5 гирь — массой в 1 г, 3 г, 9 г, 27 г и 81 г. Тем не менее Аня, по-видимому, не испытывала затруднений. Она ловко расставляла грири то на пустой чаше весов, то на чаше с пакетами круты. При этом она делала какие-то непонятные, на первый взгляд, записи. Отпустив 35 г круты, она записала: 1101; после взвешивания 52 г появилась запись: 11011; в следующую строку она записала 11101 и сказал:

— Все, последние 100 грамм я взвесила. Работа закончена.

После этого она взяла в руки счеты необучной конструкции и, заглядывая в сделанные записи, начала быстро на них работать. Это было удивительное зрелшение.

Через несколько минут Аня закончила вычисления и удовлетворенно заметила:

— Все верно, ни одной ошибки.

Многочисленным критем захотелось разобраться, как работала Аня. По их просьбе она рассказала:

Мы привыкли к тому, что в любой системе численния для цифр ис-

40

пользованием только целые положительные числа (и цифра 0). Можно, однако, представить себе систему чисел, в котором в роли цифр будут использоваться и целые отрицательные числа. Поскольку массы гирь, которые оказались в моем распоряжении, были степенями тройки, я вспомню о так называемой уравновешенной троичной системе.

Основанием системы является число 3, в роли цифр использоваться значки: 1, 0 и $\bar{1}$ (читается: «единица с чертою»). Записи, которые я делала, и были записами чисел в этой системе. Вот как их надо понимать:

$$110\bar{1} = 1 \cdot 3^3 + 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 - 1 \cdot 3^0 = 35,$$
$$1\bar{1}0\bar{1} = 1 \cdot 3^4 - 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 - 1 \cdot 3^1 +$$
$$+ 1 \cdot 3^0 = 52,$$
$$11\bar{1}01 = 1 \cdot 3^4 + 1 \cdot 3^3 - 1 \cdot 3^2 + 0 \cdot 3^1 +$$
$$+ 1 \cdot 3^0 = 100.$$

Если я ставила гирю на чашу с круполой, то ее масса вычиталась, и при записи я писала в разряде, соответствующем массе гири, цифру «1». Если мне нужно взвести, например, 24 г, то на чашу весов без груза (без круpubы) я положу гирю в 27 г, а на другую чашу — гирю в 3 г и запишу: $10\bar{1}0 = 1 \cdot 3^3 + 0 \cdot 3^2 - 1 \cdot 3^1 +$
$$+ 0 \cdot 3^0 = 24.$$

Записи чисел в этой системе могут начинаться и цифрой «1» — так записьюются отрицательные числа. Пример:

$$\bar{1}1\bar{1} = -1 \cdot 3^2 + 1 \cdot 3^1 - 1 \cdot 3^0 = -7.$$

Над числами, записанных в уравновешенной троичной системе чисел, нетрудно произвольить действия сложения и умножения.

Вот как просто выглядят таблицы сложения и умножения цифр:

Таблица сложения

| + | 1 | 0 | $\bar{1}$ |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | $1\bar{1}$ | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | $\bar{1}$ |
| $\bar{1}$ | 0 | $\bar{1}$ | $1\bar{1}$ |

Чтобы упрощить работу, я используемые счеты, специально придуманные много для сложения чисел в уравновешенной троичной системе. Эти счеты изображены на рисунке 1. Главная особенность — вертикальная перегородка, слева от которой расположены «отрицательные» косточки, а справа — «положительные». На рисунке 2 на счетах отложено число $11\bar{1}01$. Вторая особенность — черные косточки скреплены друг с другом.

Научимся прибавлять на этих счетах единицу. Пусть нам нужно найти сумму 1+1. Как это делается, видно из рисунков 3, $a = \beta$. На рисунке 3, $\delta$ скрепленные черные косточки приводны к уже отложенной косточке; поэтому, сбрасывая с проводочки все три косточки вправо, мы должны на этой же проводочке отложить одну отрицательную косточка, а на следующей проводочке — одну «положительную» косточка (она, как ей это и положено, заменяет сброшенные косточки первой проводочки) — см. рис. 3, $\delta$. Результат можно проверить, заглянув в таблицу сложения цифр. Рассуждая аналогично, можно научиться складывать отрицательные единицы.

41

Заметим, что если на счетах есть по косточке с обеих сторон вертикальной перегородки, то их следует сбросить: $1 + \bar{1} = 0$. Необольшая тренировка — и вы научитесь пользоваться этим необъчными счетами.

Не думайте, что система числения, о которой я вам расссказала, — только математическая забава. В СССР и Чехословакии построены ЭВМ, работающие на этой системе числения. Советская машина называется «Сетунь» (по имени подмосковной реки). Ее создали инженеры и математики вычислительного центра Московского университета. Их привлекли две особенности этой системы численения: отсутствие «правил знаков» при выполнении арифметических действия над числами и простота получения противоположного числа — число, противоположное данному, получается, если каждую цифру «1» данного числа заменить на «1» и наоборот.

За изобретенные счеты и хороший доклад об уравновешенной троичной системе Ано Шаховского избрали действительным членом Малой академии наук.