8
О. Виро
Раскрашенные узлы
Что такое узел
Занимаясь каким-нибудь предметом из реальный жизни, математики обычно заменяют его подходящим математическим объектом. Не избежал этой участи и веревочный узел — он был превращен в узел математической.
Прототип математического узла — это заузленный кусок веревки с закрепленными концами.
Одним из вопросов, побудивших математиков занять узлами, был вопрос, какие узлы можно развязать, не порвав, и какие нельзя.
Концы веревки приходит закреплять, потому что если не запретить ими манипулировать, все узлы окажутся одинаково завязанным (в самом деле, любой узел на веревке можно развязать, протягивая конец веревки поочередно через петли узла).
Более удобный способ избавиться от заботы о концах веревки — соединить их друг с другом. Эта операция показана на рисунке 1. В результате кусок веревки превращается в заузленное колюцо.
Следующий шаг к математическому узлу — замеща вервки линей — осью веревки.
Не всякая линя способна быть осью веревки. Например, кривую с бесконечной последовательностью бесконечного убивающих узелков (рис. 2) невозможно «нарастить» до веревки конечной толщины. Кривые такого рода рассматривают в математике; они называются дикими узлами.
Мы не будем здесь заимататься дикими узлами и, чтобы исключить их, примен следующее определение: полюгональный узлом называется замкнутая, связная, не имеющая точек самопересечения пространственной ломана, составленная из конечного числа прямолинейных отрезков.
Это определение вполне соответствует нашему наглядному представлению об узлах. Любой полюгональный узел можно нарастить до веревочного колюца и в любом веревочном колюце можно найти ocь, со-
9
ставленную из конечного числа отрезков.
Слово «связная» в определении полигонального узла означает, что ломанная не представляется в виде объедининия нескольких замкнутых ломанных. Если не настанать на связи, то получится определение полигонального зацепления. На рисунке 3 изображены полигональные узлы, а на рисунке 4 — полигональные зацепления, не являющиеся узлами.
Поскольку в этой статье все узлы и зацепления будут полигональными, слово «полигональный» будет для краткости опускаться.
Как написать узел
При изображении узла выбирают такую точку наблюдания, чтобы, во-первых узел лежал по одному сторону от некоторой плоскости, проходящей через эту точку, и, во-вторых, чтобы никакие три звена узла не казались из нее прохождения через одну точку. Выполнение первого условия можно достичь, выбрав точку наблюдания достагоно далеко от узла. Из удовлетворяющей этому условиям точки весы можно проектировать на плоскость, то есть как бы охватить одинзм взглядом. Для выполнения второго условия нужно, чтобы всякая прямая, проходящая через точку наблюдания, задавала не более двух звенев узла. Выполнение этого условия можно достичь сколь годно малым смещением точки наблюдания.
В том месте, где изображения двух непересекающихся звенев узла пересекаются, нужно указать, какое звено проходит близке, а какое — дальше. Для этого изображение дальнейго звена перевыают, как это сделано на рисунках 3 и 4.
Изображение узла, выполенное с соблюдением этих правил, называется «дизаймой узла».
Что значит «одинаково зацепленные» узлы
Веревочные колыца, которые получаются друг из друга в результате изгибов, растяжений, скаттий и других непрерывных деформаций, естественно
но считать «одинаково зацепленные». Это наглядное представление об одинаковой зацепленности при перехождение к полигональным узлам превращается в понятие изотопности: два узла (или, более общо, два зацепления) называются изотопными, если от одного к другому можно перейти, последовательно выполняя преобразования, которые называются элементарными изотопями. Элементарная изотопия — это или замена одного из звенев узла двумя новых отрезками, которые вместе с ним образуют контур треугольника, пересекающего с прямым узлом только по замененной звену*), или обратная операция — замена двух соседних звенев одним отрезком, который вместе с ними образует контур треугольника, пересекающего с прямым узлом только по заменяемым звеням. На рисунке 5 показаны два узла, получающихся друг из друга элементарной изотопией.
*) Эти «два новых отрезка» вместе с заменемым звеном могут образовать «вырожденный» треугольник — отрезок. В этом случае элементарная изотопия свидетельствует к добавлению внутри звена новой вершины.
10
Рис. 5.
Треугольник, участующий в определении элементарной изотопии, нужно воспринять как траекторию деформации.
Упражнение 1. Докажите, что узлы с одинаковыми диаграммами изотопы.
Узел, изотопный контур треугольника, называется тривиальным. Узлы, изображенные на рисунке 5, тривиальные. Последовательность элементарных изотопий, соединяющих их с контуром треугольника, показана на рисунке 6.
Ясно, что контуры любых двух треугольников изотопны, так что все тривиальные узлы изотопны друг другу. Тем не менее, тривиальные узлы могут быть весма замысловаными.
Упражнения
- Докажите тривиальное узлов, изображенных на рисунке 7.
- Докажите, что узлы, изображенные на рисунках 3, а и 3,б, изотопы.
Как доказать неизотопность узлов
Определение изотопности немедленно ставит перед нами пробелу: существует ли неизотопные узлы?
Пока мы не сможем ответить на этот вопрос, все узлы будут для нас «на одно лицо».
Мы знаем, что очень затейлиые узлы могут оказаться тревиальным
Рис. 6.
Рис. 7.
10
11
Рис. 8.
Однако введение этих и многох аналогичных инвариантов не помогает решить старые вопросы, а приводит к постановке новых. Дело в том, что вычисление этих инвариантов вызывает те же затруднения, что и доказательство нетривиального узла.
Помочь при доказательстве нетривиального узла может только легко вычислительной инвариант, определяяющийся не через целый класс изотопных узлов, а непосредственно по диаграмме узла. Такой инвариант мы сейчас введем.
Раскрашиваем диаграммы узлов в три цвета
Напомню, что диаграмма узла — это его изображение на плоскости, в котором изображения никаких трех звеньев не проходят через одну и местах, где должны были бы пересекаться изображения непересекающихся звеньев, изображение дальнейшего звена перевыается. Из-за этих перевыаний диаграмма узла оказывается составленной из нескольких непересекающихся ломаных. Эти ломаные будем называть участками диаграммы. Их число равно числу перевыаний, то есть числу скрещиваний.
Для доказательства неизотопности узлов оказывается полезно раскрашивать их диаграммы, соблюдая некоторые правила.
Раскраску диаграммы узла в черный, красный и синний цвета будем называть правильной, если каждый ее участок окрашен в один цвет и вблизи каждой точки скрещивания либо все три участка окрашены в один цвет, либо встречаются все три цвета. Примеры правильной раскраски показаны на рисунке 9, примеры неправильной — на рисунке 10.
Упражнения
-
Докажите, что диаграммы узлов, изображенные на рисунках 6 и 7, нельзя правильно раскраску, использув все три цвета, то есть докажите, что эти диagramsы допускают только три однозвательные раскраски.
-
Докажите, что число правильных раскраски трилистника (рис. 8,6) равно девятим.
Теорема 1 (Основная теорема о трехцветных раскрасках). Число правильных раскраскок диagramsы узла в три цвета является инвариантом узла.
Прежде чем доказывать теорему 1, обсудим неокоторые ее применения. Вот простейшее следствие:
Следствие 1. Если диagramma узла допускает правильную раскраску, в котором участок идет речь, тривалны.
Это следствие сразу позволяет решать, формулированный в упражнения 4 (узлы, о которых там идет речь, тривалны). Но неизмеримо важнее то, что из него вытекает нетривиального трилистника и многох других узлов.
Рис. 9.
Рис. 10.
12
Замечание. Если диаграмма зацеления не допускает правильной раскраски, в котором присутствовал бы более одного цвета, то зацеление невозможно расценить (то есть оно не изотопно никакому зацелению, состоящему из узлов, которые расположются по разные стороны от неотопной плоскости).
У праванке 8. Докажите, что зацеления, изображенные на рисунке 4, не расценляют.
Как доказать теорему 1
Теорема 1 оченьным образом вытекает из следующих двух теорем, доказательства которых несложны, но довольно громоздки; приложений читатель, несомненно, найдет их самостоятельно.
Теорема 2. Всякую элементарную изотопию зацеления можно заменить конечной последовательностью элематриных изотопий, какдая из которых изменяет диаграмму зацеления одним из способов, изображенных на рисунке 11.
Например, элементарную изотопию, изображенную на рисунке 12, можно заменить последовательностью элематриных изотопий, показанных на рисунке 13 (цифрами указаны порядок выполнения элематриных изотопий).
Теорема 3. Между правильными трехцветными раскраками диаграмм, получающихся друже из друга, операциями, изображенными на рисунке 11, существует взаимное однозначное соответствие, при котором в соответствии их раскраках неизменяющиеся части диаграмм окрашены одинаково.
Для всех операций, кроме операции, изображенной на рисунке 11, 3, утверждение теоремы 3 оченьно. В последнем случае доказательство легко сводится к картинам, показанным на рисунке 14.
Почему же число правильных раскраок диаграммы — инвариант узла?
Я надеюсь, что читатель доказал теоремы 2 и 3, а вместе с ними и теорему 1. Однако что же ответить на вопрос, вынесенный в заголовок этого параграфа?
Вы убедились в инвариантности числа правильных раскраок, но, ве-
13
роятно, скажете, что хотели бы узнать о настоящих причины этого удивительного явления. Вы желаете обясенний и хотите понять, как математики должны раскрашивать диаграммы узлов. Не могло же, кроме того, это доказательство быть первым доказательством! Так можно доказать инвариантность любого инварианта, определяемого по диаграмме узла, совершенно не понимая, откуда он взялся! Ведь непонятно, почему нужно раскрашивать в три цвета и как возникли правила раскраски. Наконец, неясно, как это обобщить, а это — верный признак непоннимания.
Почему же я выбрал такой путь доказательства? На то были две причины. Во-первых, настоящее доказательства теоремы 1, прояснющее суть дела, связаны со сложными вспомогательными объектами, которые занимают почетное место в современной математике, но которых нет в школьной математике. Мне же хотелось представить чисто элементарное доказательство существования нетривиальных узлов. В литературе, а тем более в популярной литературе, таких доказательств не было. Во-вторых, опираясь на теорему 2, действительное можно доказать инвариантность любого инварианта, определяемого по диаграмме. Попытайте придумать совершенно новый инвариант и доказать его инвариантность таким образом. Если получится, сообщите, это может оказаться очень интересным! Известно много инвариентов, определяемых по диаграмме узла, но в определенных большей их части встречаются не элементарные математические понятия. Поэтому опасность придумать что-нибудь известное не велика.
Чем в действительности обясеняется инвариантность числа правильных раскраски? Важнейшим инвариантом узла является его группа. Сама по себе группа узла — не простой объект. Это множество, в котором определяена операция, связими свойствами наполняющей сложение целых чисел. Доказать, что группы двух узлов различны, может быть очень трудно. Однако из простейших способов сделать это состоит в изу-