[Варианты вступительных экзаменов по физике в Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова в 1980 году]

51

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Mathematica
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-mатематический факультет)

1. Найти все значения $x$, удовлетворяющие условию
   $(x^2 - 4)\sqrt{x + 1} = 0$.

2. Найти все решения уравнения
   $\sin 2x = \sqrt{3}\sin x$.

3. В трапеции длина средней линии равна 4, а углы при одном из оснований имеют величины $40^\circ$ и $50^\circ$. Найти длины оснований трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины этих оснований, равна 1.

4. Каательная к графику функции $\sqrt[3]{x^2}$ такова, что абсцисса $c$ точки касания приладлежит отрезку $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$. При каком значении $c$ площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью $Ox$ и вертикальной прямой $x = 2$, будет наименшей и чему равна эта наименшая площадь?

5. Найти все значения $a$, при каждом из которых неравенство
   $$\log_1(\sqrt{x^2 + ax + 5} + 1) \cdot \log_5(x^2 + ax + 6) + \log_a 3 \geq 0$$
   имеетровно одно решение.

Разбор задач варианта 1

1. Ответ. $\{-1, 2\}$.
   Почти все абитриенты успешно справились с этой задачей. Оdnako некоторых писали
   $$(x^2 - 4)\sqrt{x + 1} = 0 \iff \left[\frac{x^2 - 4}{x + 1} = 0\right];$$
   при этом, даже если в окончательный ответ значение $x = -2$ не включалось, экзаменаторы не могли считать задачу решенной безупречно.

2. Ответ. $x_1 = \pi m, x_2 = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n(m, n \in \mathbb{Z})$.
   Указание. Данное уравнение равно с совокупностью двух уравнений:
   $$\sin x = 0$$
   $$\cos x = \sqrt{3}/2$$

3. Ответ. 3 и 5.

Решение. Пусть $KM$ — средняя линия трапеции $ABCD, LN$ — отрезок, соединяющий оснований BC и AD, $BAD = 50^\circ$, $CDA = 40^\circ$. Отметим, что $|AD| > |BC|$, поскольку $BAD + CDA = 90^\circ < 180^\circ$ (рис. 1). Пусть $Q$ — точка пересечения прямых $AB$ и $DC$. Поскольку $CB \parallel AD$, треугольник $AQD$ подобен треугольнику $BQC$. Поэтому
$$\frac{|BQ|}{|AQ|} = \frac{|BC|}{|AD|} = \frac{|BC|/2}{|AD|/2} = \frac{|BL|}{|AN|}.$$
Так как $QBC = QAD$ и $\frac{|BD|}{|AQ|} = \frac{|BL|}{|AN|}$, треугольники $QBL$ и $QAN$ подобны. Поэтому $BQL = AQN$ и, следовательно, точки $Q, L, N$ лежат на одной прямой. Треугольник $AQD$ — прямой угольный, поскольку $AQD = 180^\circ - QAD - QDA = 90^\circ$. Поэтому $N$ — центр описанной вокруг него окружности; значит, $|QN| = \frac{|AD|}{2}$. Аналогично, $|QL| = \frac{|BC|}{2}$. Итак,
$$\frac{|AD|}{2} - \frac{|BC|}{2} = |QN| - |QL| = |LN| = 1.$$
По свойству средней линии трапеции $\frac{|AD| + |BC|}{2} = |KM| = 4$.
Из системы $\left\{ \begin{array}{l} |AD| - |BC| = 2, \\ |AD| + |BC| = 8 \end{array} \right.$ находим $|AD| = 5, |BC| = 3$.
С этой задачей полностью справились лишь около половины абитриентов. Некоторые абитриенты, получившие правый ответ, не смогли его обосновать. Например, без доказательства принадлежности, что точки $Q, L, N$ лежат на одной прямой.

4. Ответ. Наименшая площадь $\sqrt[3]{\frac{5}{4}} \cdot \frac{48}{25}$ получается при $c = \frac{4}{5}$.
   Решение. Уравнение касательной к графику функции $y(x) = \sqrt[3]{x^2}$ в точке с абсциссой $c$ имеет вид
   $$y = \sqrt[3]{c^2} + \frac{2}{3\sqrt{c}} (x - c).$$
   Каательная пересекается с осью абсцисса в точке $x = -\frac{c}{2}$. Площадь треугольника $ABC$ (рис. 2) равна $S(c) = \frac{1}{2} |AB| \cdot |BC| =$

Рис. 1.

52

Рис. 2.

$$\frac{1}{2} \left( 2 + \frac{c}{2} \right) \cdot \left( \sqrt[3]{c^2} + \frac{2}{3\sqrt{c}} (2 - c) \right) = \frac{(c+4)^2}{12\sqrt{c}}.$$

Поскольку $S'(c) = \frac{1}{36} c^{-\frac{4}{3}} (c+4) \times (5c-4)$ при $c > 0$, на промежутке $]0; +\infty[$ функция $S(c)$ имеет только одну критическую точку $c = \frac{4}{5}$, причем $S'(c) < 0$ при $0 < c < \frac{4}{5}$ (функция убивает) и $S'(c) > 0$ при $c > \frac{4}{5}$ (функция возрадает). Кроме того, функция $S(c)$ непрерывна при $c = \frac{4}{5}$. Поэтому на отрезке $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$ функция $S(c)$ принимает наиболее значение при $c = \frac{4}{5}$; $S\left( \frac{4}{5} \right) = \sqrt[3]{\frac{5}{4}} \cdot \frac{48}{25}$. Многие абитуренты не справились с этой задачей из-за ошибок, допущенных им в вычислениях и преобразованиях. Значительная часть ошибок, допущенных при решении, связана с формальным условием соответствующих разделов школьной программы. Многие абитуренты не смогли правильно обяснить, почему точка $c = \frac{4}{5}$ является точкой, в которой функция $S(c)$ принимает наиболее значение на отрезке $\left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$.

Некоторые пути пояття «наименование значения» и «точка минимума».

5. Ответ. $a = 2$.

Решение. Левая часть данного неравенства определяна при $a \in ]0; 1[ \cup ]1; +\infty[$.

Пусть сначала $a > 1$. Перейдя в первом логарифме к основанию 3 и умножая обе части неравенства на $\log_3 \frac{1}{a} < 0$, получим равносильное неравенство

$$\log_3 \left( \sqrt{x^2 + ax + 5} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( x^2 + ax + 6 \right) \leq 1.$$

Здесь мы использовали тот факт, что $\log_3 3 \cdot \log_3 \frac{1}{a} = -1$. Пусть $u = x^2 + ax + 5$.

Тогда последнее неравенство перепишется в виде

$$\log_3 \left( \sqrt{u} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( u + 1 \right) \leq 1.$$

Функция $f(u) = \log_3 \left( \sqrt{u} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( u + 1 \right)$ определяна и возвращает на $[0; +\infty[$. Заметим, что $f(4) = 1$. Поэтому $f(u) \leq 1$ тогда и только тогда, когда $0 \leq u \leq 4$. Следовательно, исходное неравенство равносильно системы неравенств

$$0 \leq x^2 + ax + 5 \leq 4.$$

Решая эту систему, получим

1. $$\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}; \frac{-a - \sqrt{a^2 - 20}}{2}$$

$$\cup \left[ \frac{-a + \sqrt{a^2 - 20}}{2}; \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2} \right],$$

если $a^2 - 20 \geq 0$

2. $$\frac{-a - \sqrt{a^2 - 4}}{2}; \frac{-a + \sqrt{a^2 - 4}}{2}$$

$$\cup \left\{ a^2 - 4 \geq 0; a^2 - 20 < 0 \right\}$$

3. Решенный нет, если $a^2 - 4 < 0$.

Таким образом, система имеетровно одно решение, если $a^2 - 4 = 0$. Учитывая, что $a > 1$, получаем $a = 2$.

Если $0 < a < 1$, то исходное неравенство равносильно неравенству

$$\log_3 \left( \sqrt{x^2 + ax + 5} + 1 \right) \cdot \log_5 \left( x^2 + ax + 6 \right) \geq 1$$,

которое в свою очередь равносильно неравенству

$$x^2 + ax + 5 \geq 4.$$

Посленое неравенство при любом $a$ имеет бесконечную много решения; поэтому никакие $a$ из расматриваемого промежутка условия задачи не удовлетворяют.

С этой задачей большимство абитурентов не справились.

Вариант 2

(механико-mатематический факультет)

1. Найти все значения $x$, удовлетворяющие условиям.

$$9 - x^2) \sqrt{2} - x = 0.$$

2. Найти все решения уравнения

$$\sin x = \sqrt{5} \cos \frac{x}{2}.$$

3. Окружность радиуса 3, вписанная в треугольник $ABC$, касается стороны $BC$ в точке $D$. Окружность радиуса 4 касается продолжения сторона $AB$ и $AC$ и касается стороны $BC$ в точке $E$. Найти $|ED|$, если величины угла $BCA$ равна $\frac{2}{3}$ π.

4. Качество к графику функции $\frac{1}{x^2}$ такова, что абсцисса $c$ точки касания придлежит отрезку [5, 9]. При каком значении $c$ площадь треугольника, ограниченной этой касательной, осью $Ox$ и вертикальной прямой $x = 4$, будет наибольшей и чем равна эта наибольшая площадь?

5. Найти все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$4 - |x - a| \cdot \log_3 \left( x^2 - 2x + 3 \right) + 2 - x^2 + 2x \cdot \log_3 \left( 2 |x - a| + 2 \right) = 0$$

имеетровно три решения.

Вариант 3

(xимический факультет)

1. Решить уравнение

$$\log_7 \left( \frac{x+3}{21} \right) = \log_7 \left( \frac{2}{3x-6} \right).$$

53

2. Найти все решения уравнения
   $$2\cos^2(3x) - \cos(3x) = 0.$$

3. На координатной плоскости рассматриются прямолинные треугольники $ABC$ ($ACB = 90^\circ$), у каждой из которых вершина $A$ имеет координаты $(-4; 0)$, вершина $C$ лежит на отрезке $[0; 4]$ оси $Ox$, а вершина $B$ лежит на параболе $y = 4x - x^2$. Какие координаты должны иметь вершина $B$, чтобы площадь прямолинного треугольника $ABC$ была наиболее?

4. В равновесный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписана окружность, которая касается боковой стороны $AB$ в точке $M$. Через точку $M$ проведен перпендикуляр $ML$ к стороне $AC$ треугольника $ABC$ (точка $L$ — основание этого перпендикула). Найти величины угла $BCA$, если известно, что площадь треугольника $ABC$ равна 1, а площадь четырехугольника $LMBC$ равна $S$.

5. Найти все такие значения $a$, для каждой из которых число решений относительно $x$ уравнения
   $$3(x^2 + a^2) = 1 - (9a^2 - 2)x$$
   не превысит числа решений относительно $y$ уравнения
   $$y + (3a - 2)^2 3'' = (8a - 4) \log_3(3a - \frac{1}{2}) - 3y^3.$$

Вариант 4
(биологический факультет)

1. Решить уравнение
   $$1 + 2\cos 3x \cos x - \cos 2x = 0.$$

2. Найти наименьшее и наиболее значения функции $y(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 10$ на отрезке $[-5; 4]$.

3. Решить неравенство
   $$\sqrt{-x^2 + 6x} - 5 > 8 - 2x.$$

4. Перimetр параллелограмма $ABCD$ равен 26 м. Величина угла $ABC$ равна $120^\circ$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCD$, равен $\sqrt{3}$ м. Найти длины сторон параллелограмма, если известно, что длина стороны $AD$ больше длины стороны $AB$.

5. Найти все те решения уравнения
   $$3\sin^3x - 3\cos^2x + 7\sin x - \cos 2x + 1 = 0$$,
   которые являются также решениями уравнения
   $$\cos^2x + 3\cos x \sin 2x - 8\sin x = 0.$$

Вариант 5
(факультет почведения)

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} x - y = 6, \\ x^3 - y^3 = 126. \end{cases}$$

2. Найти все значения $x$, при которых произвольная функция
   $$y = 4x - \sin 2x + 4\sqrt{2} \cos x$$
   равна нулю.

3. Хорды $AB$ и $AC$ имеют одинаковую длину. Величина образованного имми вписанного в окружность угла равна $\frac{\pi}{6}$. Найти относение площади той части круга, которая заключана в этом угле, к площади всего круга.

4. Решить неравенство
   $$4x^2 - 16x + 7 \log_2(x - 3) > 0.$$

Вариант 6
(географический факультет)

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и параболой
   $$y = -2(x - 1)^2 + 8.$$

2. Решить уравнение
   $$\log_2(3) = 2.$$

3. В правильную шестиугольную парамиду впискан прямой конус и около нее описан прямой конус. Даны высота парамиды $H$ и радиус основания описанного конуса $R$. Найти разность объемов описанного и вписанного конуса.

4. Решить уравнение
   $$\cos^6x + \sin^6x = \frac{15}{8} \cos 2x - \frac{1}{2}.$$

5. Найти все пары чисел $(x; y)$ удовлетворяющие условиям $x < 0, y > 0$ и системе
   $$\begin{cases} |y + \frac{1}{x}| + |\frac{13}{6} + x - y| = \frac{13}{6} + x + \frac{1}{x}, \\ x^2 + y^2 = \frac{97}{36}. \end{cases}$$

Вариант 7
(экономический факультет, отделение политического экономии)

1. Решить уравнение
   $$\log_2\left(\frac{1}{|x - 1| - 1}\right) = 1.$$

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырьмя линиями: $y = -x^2 + x + 2; y = 0; x = 0; x = 1.$

3. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, касающиеся некоторой прямой в точках $M_1$ и $M_2$ и лежащие по одному сторону от этой прямой. Отношение данных отрезка $M_1M_2$ к длине отрезка $O_1O_2$ равно $\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Вычислить длину отрезка $M_1M_2$.

4. Имеются два сплава, состоящие из цикла, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цикла в первом и втором сплавах одинаково. Сплавов 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% олова. Определить, сколько кг олова содержится в получившемся новом сплаве.

5. Найти все целые значения параметра $k$, при каждом из которых уравнение
   $$5 - 4\sin^2x - 8\cos^2\frac{x}{2} = 3k$$
   имеет решение. Найти все эти решения.

Вариант 8
(экономический факультет, отделение планирования и экономического библиотека)

1. Решить неравенство
   $$\log_5(26 - 3^x) > 2.$$

54

2. В прямогольный треугольник, перimetр которого равен 36 см, вписана окружность. Точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. Найти длины сторона треугольника.

3. Найти все решения системы уравнения
   $$\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y + 6 = 0, \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y + 4 = 0. \end{cases}$$

4. На отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{4}]$ найти наиболее значение функции
   $$y = 5 \cos x - \cos 5x.$$

5. На прямой дороге расположены последовательно пункты $A, B, C, D$. Расстояния от пункта $A$ до пунктов $B, C$ и $D$ находится в отношении 1:2:4. В направлении от $A$ к $D$ по дороге через равные промежутки времени с одной и той же скоростью. Перворот пешекода в пути между $A$ и $B$ обогналы 3 августа. Второго пешекода между $A$ и $C$ обогналы 4 августа. Третий пешекод вышел из $A$ и приближел в $D$, когда через эти пункты проезжали очередные августа. Сколько автовосов обогналы треться по пешекоду в пути между $A$ и $D$?

Вариант 9
(факультет психологии)

1. Решить уравнение
   $$(\sqrt{3})^{\lg 2x} - \frac{3\sqrt{3}}{3^{\lg 2x}} = 0.$$

2. Найти все действительные решения системы уравнения
   $$\begin{cases} 2u + v = 7, \\ |u - v| = 2. \end{cases}$$

3. В прямогольном треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой, величины угла $B$ равна $30^\circ$, а радиус вписанной окружности равен $\sqrt{3}$. Найти расстояние от вершины $C$ до точки касания вписанной окружности и катета $AB$.

4. Вычислить плоскую треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции $y = \frac{x}{2x - 1}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

5. Доказать, что для любых действительных чисел $p$ и $t$ справедливо неравенство
   $$2(2p - 1)^4 + 1 + [1 - 2(2p - 1)^4] \sin 2t \geq 0,$$
   и найти все пары чисел $(p, t)$, для которых это неравенство превращается в равенство.
   Н. Мельников, А. Миценко

Физика

Задание устного экзамена

Физический факультет

1. В системе, изображенной на рисунке 3, грузы с массами $m_1$ и $m_2$ лежат на гладкой горизонтальной плоскости. Невесомая и нерастимая нить, соединяющая грузы, перекинита через неверсные блоки. Тренние в осях блоков отсутствует. В определенный момент времени на ось верхнего блока начинают действовать сил $\vec{F}$, направленной верти-
   54

55

Рис. 7. Рис. 8.

8. На отстояние друг от друга на расстояние $a=10$ см горизонтальные рельсы положен медный стержень, который может катиться вдоль них. Рельсы подключены к батарее с ЭДС $\delta=3$ В и внутренним сопротивлением $r=5$ Ом; перpendикулярно к плоскости рельсов создано магнитное поле. Определите индукцию $|\vec{B}|$ поля, при которой стержень будет дивгаты с наиболее установившейся скоростью, и эту скорость $|\vec{v}_{\text{mah}}|$. Сопротивлением рельсов и стержня пренебречь; силу сопротивления движению стержня считать равной $|\vec{F}|=0,06$ Н ($\vec{F}$ — механическая сила).

9. Примугольный стеклянный сосуд наполен жидкостью и освещается с низу маленькой лампочки, расположенной под сосудом вблизи его дна. Каково минимальное значение показателя преломления жидкости $n_{\text{min}}$, при котором лампочка нельзя увидеть сквозь боковые стенки сосуда?

10. На какую величину $x$ смешается изобравжение малого предмета относительно самого предмета при рассматривании его через тонкую приму с малым преломляющим углом $\alpha$ (рис. 6)? Расстояние между предметом и примой равно $a$, показатель преломления стека призмы равен $n$. Лучи на приму падают под малыми углами.

Механико-mатематический факультет и факультет вычислительной математики и кибернетики

1. Поезд массой $M=1000$ т дивгался равномерно по горизонтальном пути. От поезда отцеппалась часть вагонов массой $m=100$ т. По какому закону будет изменяться со временем расстояние $s$ между частями состава (до остановки отцеппшейся части состава)? Тяга локотива остается постоянной, коэффициент треня $\mu=5 \cdot 10^{-3}$, ускорение свободного падения $g=10$ м/с².

2. На колесе радиусом $R=10$ см имеется плоская часть длиной $a=1$ см (рис. 7). При какой величины коэффициента треня и колесо будет скольнить, а не катиться по гладкой горизонтальной поверхности, если его плано тянут за ось врашения?

3. Система, изобравенная на рисунке 8, состоит из четырех шарниро соединительных одинаковых неевесомых стержней и неевесомый пружины. В ненагруженном состоянии ($m=0$) стержни образуют квадрат и длина пружины $l=9,8$ см. При подвешивании к нижнему шарниру груза массой $m=500$ г острый угол между стержнями $\alpha=60^\circ$. Найдите коэффициент жесткости пружины $k$, считая ускорение свободного падения $g=9,8$ м/с².

4. Два одинаковых сосуда соединительных трубкой с краном. В первом сосуде находится 1 моль идеального одноатомного газа при давлении $p=100$ кПа и температуре $t_1=27^\circ$ С. В другом — такой же газ при том же давлении и температуре $t_2=227^\circ$ С. Кран открыли и температуры газов выравнились. Какое давление $p'$ установится в системе? Теплообменом с окружающей средой можно пренебречь.

5. Два металлических шара с радиусами $r_1=0,01$ м и $r_2=0,05$ м находится друг от друга на расстоянии много большем их радиусов. Шары несут заряды $q_1=8 \cdot 10^{-8}$ Кл и $q_2=4 \cdot 10^{-8}$ Кл соответственно. Их помещили в жидкий диэлектрик и изменили силу взаимодействия. Затем шары извлекли из диэлектрика, соединительно проводником на короткое время и вновь измерили силу взаимодействия. Она осталась неизменной. Найдите диэлектрическую пропищаемость ε диэлектрика.

6. Чему равно сопротивление $R_{\mu}$ цепи между точками $A$ и $B$, если она составлена из одинаковых элементов, сопротивление каждого равно $R$? Вариант соединитель элементов показаны на рисунках 9, а и 6.

7. Электрическая цепь имеет форму окружности радиусом $R=0,5$ м (рис. 10). Четыре галванических элемента с ЭДС $\delta_1=2$ В, $\delta_2=4$ В, $\delta_3=3$ В и $\delta_4=5$ В соединительно последовательно друг с другом и имеет внутренние сопротивления $r_1=1$ Ом, $r_2=2$ Ом, $r_3=1$ Ом, $r_4=0,5$ Ом соответственно. Одноподное магнитное поле перpendикулярно к плоскости цепи, направлено за чертеж и возратает со временем по закону $|\vec{B}|=kt$, где $k=4T/\text{с}$. Чему равна тока $I$ в цепи? Сопротивлением соединительных проводов пренебречь.

8. Какова глубина бассейна $H$, если человек,глядя под углом $\alpha=30^\circ$ к поверхности

56

Рис. 12. Рис. 13.

воды, видит монету лежащей на дне на расстоянии $l=0,5$ м дальше от себя, чем она есть на самом деле? Показатель предполнения воды $n=1,3$.

9. В фокусе вогнутого сферического зеркала радиусом $R=0,3$ м расположен точным источником света. Зеркало разрезают пополам плоскостю, в котором лежит главная оптическая ось, и симметрично разделяют полученные половинки на расстояние $2a=20$ см вдоль плоскости разреза (рис. 11). Определите расстояние $s$ между изобравжениями источника в верхней и нижней части зеркала.

10. На главной оптической оси перед рассеивающей линзой с фокусным расстоянием $F=20$ см расположен источник света. По другую сторону линзы перепределкулярно главной оптической оси линзы расположено плоское зеркало. Найдите расстояние $s$ между источником и его изобравением в зеркале. Источник удален от зеркала на расстояние $L=1$ м, а от линзы — на расстояние $l=30$ см.

Географический, геологический и химический факультеты, факультет почвоведения

1. Расстояние между двумя железнодорожными станциями, равное $s=18$ км, позволяет за время $t=20$ мин. Первые $t_1=5$ мин от идентичного (без начальной скорости), а затем — равнозамедленно, пока не оставится. Определите ускорение поезда на пути разгона.

2. На главном горизонтальном столе лежит брусок массой $M=300$ г. (рис. 12). На краю стола укреплен неевесомый блок, способный врашаться без трения. Брусок связан нитью, перекинуточел через блок, с телом массой $m=100$ г. Начальная скорость бруска направлена от блока и равна $|v_0|=4,9$ м/с. Определите следующее величины через время $t=4$ с после начала движения бруска: 1) модель и направление скорости $v$ бруска; 2) расстояние $s$ бруска от его начального положения.

3. Частота малых колбаний математического матрика в лице, спускоцелем с постоянной скоростью, равна $v_0=1$ Гц. Чему будет равна частота $v_1$ колбаний, если лифт замедляется свое движение с ускорением $a=-9,8$ м/с²? Ускорение свободного падения тел считать равным $g=9,8$ м/с².

4. В латунном цилиндрическом сосуде находится вода. При температуре $t_1=15^\circ C$ высота столба воды $h_1=1$ м. На сколько поднимется уровень воды в сосуде, если температура воды и сосуда повышается на

$$\Delta t=5^\circ C? \text{ Коэффициент объемного расширения воды } \alpha=1,5 \cdot 10^{-4} \text{ K}^{-1}, \text{ коэффициент линейного расширения latунни } \beta=2 \cdot 10^{-3} \text{ K}^{-1}.$$

5. В цилиндре тепловой машины находится 1 моль идеального газа. Найдите работу газа $A$ за один цикл, диаграмма которого показана на рисунке 13.

6. Конденсатор составлен из трех плоских параллельных прямогольных пластин, как показано на рисунке 14. Расстояния между пластинами $l_1=1$ мм и $l_2=10$ мм. Площадь пластин $S=500$ см². Определите заряд $q$ на средней пластине, если разность потенциаль между точкими $A$ и $B$ $U=100$ В. Пространство между пластинами заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon=2$. Электрическая постоянная $\varepsilon=8,85 \times 10^{-12} \text{Ф}/\text{м}.$

7. Электрическая цепь представляет собой ромб с двумя диагоналями, изготовленными из одинаковых проводок (рис. 15). Угол $\gamma=60^\circ$. Цепь в точках $A$ и $C$ подключается к источнику с напряжением $U=100$ В. Определите количество теплоты $q$, выделяемой в единицу времени в каждой из проводок: $AB, BC, CD, AD, BD$ и $AC$. Сопротивление стороны ромба $R=250$ Ом.

8. Аккумулятор, имеющий ЭДС $\varepsilon_1=12$ В, заряжается от источника с ЭДС $\varepsilon_2=18$ В через лампу накаливания, потребляющего при этом мощность $P=24$ Вт. Какое время $t$ будет заряжаться аккумулятор, если его емкость $C=40$ ампера-часов? Внутренними сопротивлениями источника и аккумулятора пребываешь.

9. Два плоских зеркала образуют двумя прямой прямой угол. Луч света падает на одно из зеркал под углом $\alpha=\pi/6$ на расстоянии $a=20$ см от ребра угла. Плоскость падения перепределкирна ребра. Определите расстояние $x$ между падошим и выходящим (после двукратного отражения) лучами.

10. Точечный источник света помещен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F=10$ см на расстоянии $d=30$ см от линзы. Линза сместилась в направлении, перепределкирном свежею оптической оси, на расстояние $a=2$ см. На какое расстояние $x$ сместилось при этом изобравнение источника?