К центру тяжести

33

К центру тяжести

В первом случае
$$\frac{I_{(1)}}{I_0} = 1 + \frac{L_1}{L_2}.$$
Энергия системы в конце процесса в этом случае равна
$$E_{(1)} = \frac{L_2 I_1^2}{2} = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right) = E_0 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right),$$
откуда
$$\frac{E_{(1)}}{E_{(0)}} = 1 + \frac{L_1}{L_2}.$$
Во втором случае
$$\frac{I_{(2)}}{I_0} = 1 - \frac{L_1}{L_2}.$$
$$E_{(2)} = \frac{L_2 I_2^2}{2} = \frac{(L_2 - L_1)^2}{2 L_2} I_0^2,$$
$$\frac{E_{(2)}}{E_0} = \frac{(L_2 - L_1)^2}{L_2 (L_1 + L_2)}.$$
П. Зубков

К центру тяжести

Как ведет себя система одинаковых части, правила движения каждой из которых зависит лишь от небольшого числа оседей? Такие вопросы возникают во многих математических моделях физических, химических, биологических объектов, и ответы на них, как правило, получить очень трудно. В этой заметке мы решим одну задачу такого типа (М604 из Задачника «Кванта»), где правила движения частицы выражаются линейми и функциями, что позволяет получить простой ответ: частицы слияжются к общему центру тяжести.

Формулировка задачи
a) Андрей, Виктор, Сергей, плавающее под водой, одновременно выбирающие в точках $A_0, B_0, C_0$ и тут же нырнул снова, причем Андрей решил проплыть за минуту треть пути до Виктора, Виктор — треть пути до Сергея, Сергей — треть пути до Андрей. Через минут они выбираили вновь (точки $A_1, B_1, C_1$ — см. рис. 1) и решили повторить этот маневр — уже за полминуты; потом за четверть минуты и т. д.

Где и коеда они встретиются?
b) Внутри сферы радиуса 1 км расположен миллион точек, занумерованных числами от 1 до миллиона. Какую секунду одновременно каждой точке движется к следующей по номеру на 1/3 расстояния до этой точки; последняя точка точного так же движется к первой. Докажите, что через некоторое время все точки совершятся внутри некоторой сферы радиуса 1 см.

Решение задачи a)
Докажем, что все точки $A_k, B_k$ и $C_k$ стремятся в пределе к центру тяжести. Q треугольник — точке пересечения его медиан; в этом смысле можно сказать, что Андрей, Виктор и Сергей встретиются через $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2$ минуты в точке $Q$ (хотя, конечно, даже делфинны не смогли бы так быстро поворачивать и кувыркатся, как это придает делать нашим пловцам к концу второй минуты).

Прием $Q$ за начало координат и воспользовемся векторной записью преобразования $(A_k, B_k, C_k) \rightarrow (A_{k+1}, B_{k+1}, C_{k+1})$.

Как нетрудно видеть (рис. 2), для каждой $k = 0, 1, 2, \ldots$
$$\vec{Q}A_{k+1} = \frac{2\vec{Q}A_k + \vec{Q}B_k}{3},$$
$$\vec{Q}B_{k+1} = \frac{2\vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k}{3},$$
$$\vec{Q}C_{k+1} = \frac{2\vec{Q}C_k + \vec{Q}A_k}{3}.$$
Из этих формул следует, что точка $Q$ является общим центром тяжести всех треугольников $A_k B_k C_k$: $\vec{Q}A_k + \vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k = \vec{0}$ (рис. 3).

Более того, преобразование $L^2 = L \cdot L$, как видно из формул
$$\vec{Q}A_{k+2} = \frac{4\vec{Q}A_k + 4\vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k}{9} = -\frac{\vec{Q}C_k}{3},$$
$$\vec{Q}B_{k+2} = -\frac{\vec{Q}A_k}{3},$$
$$\vec{Q}C_{k+2} = -\frac{\vec{Q}B_k}{3},$$
— готовятся с коэффициентом $(-1/3)$ и центром $Q$ (см. рис. 1). Таким образом, если треугольник $A_0 B_0 C_0$ лежит в круге радиуса $R$ с центром в точке $Q$, то треугольник $A_{2k} B_{2k} C_{2k}$ и все следующие треугольники будут