12
Тупость и гениий
Всякий, кто занимается математикой — решая задачи, доказывая теоремы или формируя новые концепции, наверно, имея случай не раз порождается своей тупости. Думал, думал над задачей — не решил, а узнал решение — подумал: какойдурак! как я не сообщил? А то думал, думал — решил и рад, а все же, бывает, подумаешь: тупица! как я раныше не сообщил?
У ученых-математиков бывают:
думаешь, думаешь над теоремой, иногда долго,иной раз и не год, и не два, ищь доказательство и так, и с этого конца, и с другого, а не выходит, а вышло — удивляешься:дурак! как я раныше не сообщил? ведь по сути это совсем просто. А уж о новых концепциях и говорить не приходит: занимаешься какими-нибудь вопросами, а не приходит в голову посмотреть на них с более общей точки зрения или с другой, так сказать, стороны; не формулируют поэтому общие понятия, прояснющие круг вопросов. А потом, если — такое счастье! — сообщил, то удивляешься: как это раныше тебе в голову не пришло?
Ну, а если сообщил кто-тодурокй, то, как ни раныше услуну науки, а это берет: как это я, тупица, сам не допумался!
Понски решения нестандартной задачи, как и доказательства теоремы, состоит обычно в том, что приходит в голову одно решение или доказательство — неверное! потом — другой: «генциальная идея!» — неверно! треться попытка — неверно! еще бросок на задачу — промах… и если задача или теорема трудная, то так может длиться долго.
Помню, предложил я*) Иосиф Либерману одну теорему доказать была у меня хорошо гипотеза. Тогда он был студентом — талантливый был парень! — и стал крупным геометром, если бы не война: он погиб в августа 1941 г., а в июле в форме морского официера защитил диссертацию — уже на втором году аспирантуры — такой был талант. Так вот, предложил я ему доказать теорему. Встречаемся через некоторое время, он говорит: доказал, и рассказывает. А я егозапелл: в этом месте почему вы так утверждаете? Ошибка — ушел Иосиф. Опять встречался — исправил он ошибку, но дальше опять ошибки. Так я его почтицей год гонял. Но потом он еще подучил топологию и доказал не только мою теорему, но и более сильную, которую уже сам формулировал.
Таких историй должны possess the most significant. Вот, например, придумал я в 1937 году одну теорему, очень хорошо теорему, и доказал ее при некоторых дополнительных предложениях. Естественно, вставл вопрос доказать ее без этих предложений. Вопрос стоит до сих пор — 45 лет. Очень я старался доказать и другие очень старались, да не вышло.
И так во всех науках. Бывает фиолог над расшифровкой и толкованием текста — и так, и сяк…
А потом, когда сообщил, тоже, наверно, удивляется, вроде нас, математиков: какойдурак! как это я раныше не сообщил? оно ведь очень видно!
Словом, тот, кто думал, вдумывался, искал, тот знает, насколко туп и несообразительен бывают человек. Сообщительностью своей
*) Автор — видный советский геометр А. Д. Алексадров, академик АН СССР (Прим. ред.)
14
что аксиома паралельных не выполняет в этой модели, видно непосредственно: на рисунке 2 через точку С, не лежащую на «прямой» (то есть на хорде) AB, проходит бесконечно много «прямых» (хорд), не пересекающих (AB).
Позному, если в геометрии Лобачевского имеется противоречие, то это же противоречие (вернее, его перевод на «язык в круге») имеется в геометрии Евклида.
Далее, всякая теорема геометрии Лобачевского описывает в модели Клейна неокторые факты, имеющие место внутри круга. Именно факты, если мы берем не абстрактный круг, а реализный круг и реализные хорды и понимаем теоремы как утверждение об этих реальных вещеах, взятые, конечно, с той точностью, которая доступна для наших построений. Таким образом, геометрия Лобачевского имеет волне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.
Стою быть, геометрия Лобачевского настоящего непротиворечива, насколько непротиворечива геометрия Евклида, и имеет в такой же степени реальный, экспериментально установливаемый смысл.
От Евклида до Лобачевского
Сам Евклид (IV в. до н. э.) принимал в качестве аксиомы паралельных следующие предложения (у Евклида оно было «пятым постулатом»): Если прямая пересекает две прямые и образует внутренние односторонние углы в сумме меньшие двух прямых, то при необходимости этих двух прямых они пересекутся с той стороны, где углы меньшие двух прямых. Мы приведли эту формулировку Евклида только затем, чтобы можно было убедиться в ее сложности. Другие постулаты газдо проше и формулируют газдо короче, начиная с первого: Через всякие две точки можно проводить прямую.
Естественно возникали попытки освободиться от сложного пятого постулата, вывести его из других основных посылок геометрии. Я думаю, что сам Евклид предпринимал такие попытки и, во всяком случае, в его время уже были такие попытки. Известно упоминание у araбских авторов неwoordшего до нас сочининия Архимеда (III в. до н. э.) «О паралельных линях», где, надо полагать, пятый постулат выводился из каких-то более простых посылок.
15
Попытки доказать пятый поступатель продолжались с тех пор в течение 2000 лет. Их предпринимало множество учены. Вот неполный перечень: греки Птолемей (2 в. н. э., тот самый Птолемей, «которого система») и Прокл (5 в.), арабал-Xайсам (10 в.), перс (или таджик) Омар Хайям (11 в.— начало 12 в., тот самый Хайям, который известен как вликий позт), азербайджанцат-Туси (13 в.), немец Клавий-Шлюсель (1514; здесь и далее data работы) иальный Катальди (1603), Боррелли (1658) и Витале (1680), английин Валисс (1663), итальянц Саккери (1733), немец Ламберт (1766), французы Бертран (1778) и Лежандр (1794, 1823), русский Гурьев (1798). Все их попытки сводились к тому, что пятый поступатель выводился из какого-нибудь другого положения. При этом многое не заменали этого, считая, что доказательство им удалось. Другие, более pronikновенные и критические, явно формулировали то положение, из которого выводили пятый поступатель, как это сделал, например, Омар Хайям.
Напряжение понков доказательства с бурым развитием математики в 17—18 вв. возрастало.
Значительные условия сделали инальянский монах, преодаватель математики и грамматики Джироламо Саккери, труд которого с попыткой доказательства пятого поступателя появился в 1733 году — в год его смерти. Он назвается «Евклид, очищенный от всех пятен, или же геометрическая попытка установить первые начала все геометрии». Отправляясь от работ своих предшественников, Саккери пытается доказать пятый поступатель от противного — прияв предположение, равносильное отрицанию пятого поступателя, он выводил из него следствия, стремясь прийти к противению. Но так как отрицание пятого поступателя есть аксиома Лобачевского, то выводы, которые получали Саккери, были не более и не менее как теоремии геометрии Лобачевского. Иначе говоря, Саккери развивал новую геометрию, не понимая, однako, того, что делает.
К противоречию он не пришел, но все же заключит, что ему удалось доказать пятый поступатель, хотя, повидимому, он не был в этом вопросе. Он как бы убеждал сам себя, когда писал о гипотезе, равносильной отрицанию пятого поступления, что он «вырвал этуловредную гипотезу с корнем».
Из довольно многочисленных (55) появившихся в 18 в. сочинений по теории параллельных особенно выделется написанная в 1766 г. «Теория параллельных» И. Г. Ламберти, немецкого математика, физика и астронома. Ведя доказательство пятого поступателя от противного, Ламберти вывел из его отрицания много следствий. Он, можно сказать, в значительной мере поступил основы геометрии Лобачевского. В его выводах не было противоречия, и он не подумал, что нашел его, как это делали почти все его предшественники. Ламберти даже высказал мысль, что он «почти должен сделать вывод», что опровергаемая им гипотеза «имеет место на какой-то минимой сфере». Но все же он остался уверен, что геометрия, основанная на отрицании пятого поступления, невозможна. Его работа не давала, однako, доказательства этому убежданию. Поэтому, надо думать, он остался еще недоволен и не опубликовал ее. Она была издана только в 1786 г.— через 9 лет после его смерти и через 20 лет после того, как она была написана. В общем Ламберти очень близко подошел к открытию новой геометрии, но не сделал его.
Вплотную подошли к пониманию возможности неевклидовой геометрии немецкие математики Швейкарт (1818) и Тауринус (1825), но ясно выраженной мысли, что имеемая им теория будет столблологически законной, как и геометрия Евклида, они все же не высказали.
Гаусс, по его собственному свидетельству, занимался теорией параллельных с 1792 г. и, как видно из его переписки, постепенно приходил к убежданию, что доказательство пятого поступления невозможно. Так, в 1817 г. в письме к Оль-
16
берсу он писал: «Я приходу все более к убежению, что необходимо нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человекаским рассудком и для человекаского рассудка». Раз он пишет «прихожу все более», то значит еще не пришел окончательно. Далее он продолжает: «Может быть, в другой жизни мы придем к другим взглядам на природу пространства, которые нам теперь недоступны. До тех пор геометрию приходится ставить не в один ранг с аргметикой, существующей чисто априори, а скорее с механикой…» В то время он далек развил неевклидову геометрию, но только в 1824 г. в письме к Тауринусу он написал определенно, что нееквлидова геометрия, «в котором сумма углов треугольника меньше 180°, совершенно последовательна» и что он «развил ее для себя совершенно удовлетворительно». Однако только в 1831 г. он взялся за то, чтобы изложить, хотя бы кратко, свои выводы, но за всю свою жизнь так ничего и не опубликовал по поводу неевклидовой геометрии. В 1829 г. в письме к Бесселю он писал: «Я опасюсь крика безопас, если выскажу мои воззрения…»). Он богатся подровать свой научный авторитет.
Но когда Гауссс писал все это, уже нашелся человек, который не только совершенно удовлетворительно развил геометрию, отрицательно пятый постулат, и не только пришел к убежению, что эта геометрия совершенно последовательна, но, не убоявшись ничего крика, должен все это научному собранно. Это был Николай Иванович Лобачевский, который пришел к убежению о возможности неевклидовой геометрии еще в 1824 г. и представил доклад с изложением ее начал физико-математическому факультету Казанского университета 23 (11) февраля 1826 года; опубликовал он его в расширенном виде в работе «О началх геометрии» в ряде выпусков «Казанского вестника», научного из-зания Казанского университета, с февраля 1829 по августа 1830 г.
В 1835—38 г. Лобачевский публикует более развитое изложение своей теории «Новые начала геометрии с полной теории параллельных», в предисловии к которым пишет:
«Напрасное старение со времен Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставло меня подозревать, что в самых понятных ещё не заключается той истинны, которое хотел доказывать и которую проверить, подобно другим физическим законом, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения». Для Лобачевского вопрос об истинности той или иной геометрии был, стало бы, вопрос опыта; свою геометрию он рассматривал как возможность теории свойств реального пространства, то есть свойств структуры соответствующих отношений математических тел и явлений.
Почти одновременно с Лобачевским — в 1825 г.— к той же геометрии пришел молодой вгенерский математик Янош Больяи*). Свои выводы Янош Больяи изложил в 1832 г. в качестве приложения (Аппендикса) к учебнику геометрии своего отца Фаркаша Больяи. Фаркаш Больяи послал учебник Гауссу. Тот, одобрително отозввись о результатах Яноша, написал вместе с тем, что все это ему давно известно. Янош, понимавший значение своих открытий, решил, что Гауссс просто приписал их себе. Он надолго прекратил свои занятия неевклидовой геометрией. Но Лобачевский продолжал разрабатывать свою геометрию и публиковать работы с ее изложением вплоть до самого смерти.
Нельзя удивляться, что новая геометрия могла казаться невозможной. Посмотрите на рисунок 3: ясно, что прямая CM, если ее достаточно далеко проджить, обязаτεлено пересечет прямую AB. Допущение, будто через одну точку проходят две прямые, параллельные данной, совершенно противоречит
*) Более высоким образом Древней Греции Беотии, считались особо глубыми, так что названное «Беотие» было нарицательным.
17
наглядному представлению. Такое допущение кажется просто неелепым. Никакой неевклидовой геометрины быть не может! Тем более нужно отделить должное смелости мысли Лобачевского и Больяи, которые решились допустить «неелепость». Нелепость с точки зрения наглядного представления — да, но с точки зрения логики — другой дело. Как ни кажется наглядно неелепым допущение многих параллелей, логических оно допустимо. Нужна была большая смелость мысли, чтобы твордо убедиться в этом, хотя теперь, когда найden простой смелл неевклидовой геометрины, Никакой смелости мысли не нужно — достаточно самого небольшей способности к отвлечению мышлению.
От убеждания к доказательству
Итак, Лобачевский и Больяи публино, а Гаусс в письмах выразили убеждание в правомерности неевклидовой геометрии и далеко развили ее. Однако это убеждание основываясь только на том, что в полученных выводах не было противоречий. Но ведь можно было бы думать, что в дальнейших выводах противоречия все же появятся. Реальный смысл новой геометрии оставался совершенню неясным. И пока он не был найден, великое открытие все же внесло в воздействие — геометрия Лобачевского оставалась не более чем воображаемой.
В 1839—40 гг. появились две работы профессора Дерптского (ныне Тартуского) университета Ф. Миндинга, в которых он исследовал неекоторые специальные поверхности — поверхности постоянной отрицательной кривизны. В этих работах по существу заключался вывод, что геометрия на таких поверхности есть не что иное, как геометрия Лобачевского. Но этот вывод там не был явно высказан. Интересно, что двумя годами раны в том же журнале, где были напечатаны работы Миндинга, была опубликована одна из работ Лобачевского!
В 1854 г., при вступлении на должность профессора Геттингенского университета, Б. Риман, как это полагалось, проел пробную lekцию.
Лекция называлась «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии». Она содержала необычайное богатство плодовных идеи — от общей концепции математического пространства до предвидения того, что стало потом общей теорией относительнойности. Кроме того, в lekции была намечана общая теория неокоторого типа пространств (называемых теперь римановыми), которые включают, как простые частиные случаи, пространства Евклида, Лобачевского и так называемые сферические пространства. Риман дал чисто аналитическое определение этих пространств; это по существу ознакомало, что геометрия Лобачевского в такой же степени непротиворечива, как и анализ.
Но этогоник не понял, не заметил. Лекция Римана осталась не понятой. И только слушавший ее стать, 77-летний Гаусс ушел, как свидетельствуют, после lekции в глубокой задачивости. Лекция Римана не была сразу опубликована, ее издали только в 1868 г., через 2 года после его смерти. И тогда она сразу произвела величащее впечатание, вызвало бурное развитие на поверхности постоянной отрицательной кривизны.
Однако выводы Бельтрами были анализически, далеко от элементов геометрии, от Евклида. Лишь в 1871 г. Клейн заметил ту модель на круге, о которой шла речь в начале статьи. Позднее Пуанкаре нашел другую интересную модель, связанную с компликсными числами (см. «Квант», 1976, № 3, с. 7).
Так через 40 лет после опубликования первых работ Лобачевского и Больяи их убеждание было доказано и их геометрия получила всеобщие признание.
(Окончание в следующем номере)