Задачи М771—М775; Ф783—Ф787

26

Задачи

М771 — М775; Ф783 — Ф787

М771. В треугольнике ABC проведена bicсектираса AK. Известно, что центры окружностей: вписанной в треугольник ABK и описанной около треугольника ABC — совпадают. Найдите углы треугольника ABC.

М772. В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочого работы на одном станке стоит 1000 рублей. С каждим наименьшим затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трех из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может одновременно работать только на одном станке.

М773. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC и AC в точках M, N и P соответственно. Известно, что
$$\overrightarrow{AN} + \overrightarrow{BP} + \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}.$$
Докажите, что треугольник ABC правильный.
П. Гусятников, С. Резниценко

М774. Функция $f(x)$ определяная на отрезке [0; 1], такова, что
$$f(0) = f(1) = 0$$
и
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq f(x) + f(y)$$
для всех $x, y \in [0; 1]$. Докажите, что:
a) $f(x) \geq 0$ при всех $x \in [0, 1]$;
b) $f(x)$ имеет бесконечную много нуля на отрезке [0; 1];
в) если существует такое число $A \geq 0$, что для всех $x; \left[0; \frac{1}{2}\right]$ выполено неравенство
$$f(x) \leq A$$, то $f(x) \leq A$ для каждой $x \in [0; 1] \in \Gamma^*$ если функция $f(x)$ непрерывна хотя бы в одной точке $x_0$ отрезка [0; 1], то $f(x) = 0$ для всех $x \in [0; 1]$;
d) $^*$ существует функция $f(x)$, удовлетворяю-

27

шие условия (1), (2), не равные токдействию нулю.

П. Гусятников

М775. При каких натуральных $n \geqslant 3$ существует различные натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ такие, что $1 \leqslant a_k \leqslant n+1$ для любого $k=1, 2, \dots, n$ и все $n$ чисел $|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, \dots, |a_{n-1}-a_n|, |a_n-a_1|$ различны?

А. Анджан

Ф783. Горизонтальное расположенный невесомый стержень длины $3l$ с закрепленными на нем грузами с массами $m_1$ и $m_2$ удерживается в положении равновесия при помощи двух вертикальных нитей (рис. 1). Определить силу натяжения левой нитей в первый момент времени, если правую нить перезают.

С. Кротов

Ф784. На движущемся с постоянной скоростью $v$ тело начинает действовать постоянная сила $F$. Спустя время $t$ скорость тела стала равной $v/2$. За следующий такой же интервал времени скорость уменьшилась еще в два раза. Определить, чем будет равна скорость тела спустя интервал времени $3t$ с начала действия силы $F$.

К. Сердеев

Ф785. В стакане с водой плавает кусок льда. На поверхности воды наlint слой масла. Как изменится уровень жидкости в стакане, когда лед растает? Куда сместится при этом граница раздела воды и масла?

С. Казаков

Ф786*. В нейдельном одноатомном газе между молекулами действуют силы притяжения. Считая, что потенциальная энергия между молекуларного взаимодействия пропорциональна плотности газа, то есть $U = \alpha \frac{N}{V}$, где $N$ — число молекул газа, $V$ — объем, занимаемый газом. $\alpha$ — коэффициент пропорциональности ($\alpha < 0$), определять разность молярных теплоемкости газа при постоянном давлении ($c_p$) и при постоянном объеме ($c_V$).

В. Тугущев

Ф787. Напряжение источника меняется со временем по линейному закону. В начальной момент направление было равно нулю. С помощью ключа $K$ источник можно подключит к схеме, приведенной на рисунке 2. В какой момент нужно замкнуть ключ, чтобы ток в цепи был постоянным по величины? Сопротивление резистора $R$, емкость конденсатора $C$.

А. Зильберман