Равномерное движение

Квант 1983, №3 с. 26, 28, 29, 30 Тег CRQ9

М. И. БАШМАКОВ

Мы здесь рассматрием прямой нечёное равномерное движение, то есть движение по фиксированной прямой с постоянной скоростью. Выбрав направление на этой прямой, можно записать уравнение движения в виде

$s = vt,$

(1)

где $t$ — время движения, $s$ и $v$ — проекции векторов перемещения и скорости на выбранную ось. Тогда $s$ и $v$ могут принадлежать как положительные, так и отрицательные значения.

Средняя скорость

Формулу (1) часто записьюот в виде $v = s/t$ . Соотношение $v = s/t$ имеет смысл и для неравномерного движения (движения с переменной скоростью), но в этом случае $v$ является по определению средней скоростью движения.

В качестве разминки, поставляется, не составляя уравнения, ответить на следующие вопросы:

Одна машина шла первую половину пути со скоростью 30 km/час, а вторую — со скоростью 50 km/ч. Вторая машина шла весь путь со скоростью 40 km/ч. Какая из машин затратила на всю дорогу меньше времени?
Одна машина первую половину времени движения шла со скоростью 30 km/час, а вторую — со скоростью 50 km/ч. Вторая машина двигалась столько же времени, сколько ее скорость была все время 40 km/ч. Какая из машин проила большие расстояние?

(Ответы указаны в подписи к рисунку 1).

Возможные ошибки при ответах на вопросы о равномерном движении связываны с тем, что мы иногда путем характер зависимости между двумя из величины $s$ , $v$ и $t$ при фиксированной третьей.

При фиксированном перемещении зависимости между временем и скоростью — обратно пропорциональна. При этом, если перемещение $2s > 0$ состоит из двух одинаковых частков $s$ , которые проходятся с постоянными (но разными) скоростями, первый за время $t_1$ , второй за время $t_2$ , то средняя скорость $v = 2s/(t_1 + t_2)$ меньше среднего арифметического скорости на каждом из частков, равного

$\frac{v_1 + v_2}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{s}{t_1} + \frac{s}{t_2} \right) = \frac{s(t_1 + t_2)}{2t_1t_2}.$

(Действительно, разность

$\frac{s(t_1 + t_2)}{2t_1t_2} - \frac{2s}{t_1 + t_2} = \frac{s(t_1 - t_2)^2}{2t_1t_2(t_1 + t_2)}$

очевидно, положительная, то есть $v < \frac{v_1 + v_2}{2}$ ).

Так, в задаче 1 средняя скорость первого машины меньше, чем $(30 + +50)/2$ km/час = 40 km/ч, значит вторая машина (шедшая со скоростью 40 km/ч) придет быстрее.

При фиксированном времени движения зависимости между перемещением и скоростью — прямой пропорциональна. Поэтому если в течение двух одинаковых отрезков времени $t$ происходит равномерное движение с разными скоростями $v_1$ и $v_2$ , то средняя скорость $v$ на всем пути будет равна среднему арифметическому скорости на отдельных участках. (Действительно,

$v = \frac{s_1 + s_2}{2t} = \frac{1}{2} \left( \frac{s_1}{t} + \frac{s_2}{t} \right) = \frac{v_1 + v_2}{2}).$

Так, в задаче 2 средняя скорость первого машины равна скорости второй $(50 + 30)/2 = 40)$ и поэтому они за одинаковое время совершают одинаковое перемещение.

сноваъ его; кроме формулы (1), вам потребуется общая формула сложения скорости:

$v_k = v_{k\theta} + v_p,$

утверждаяшая, что скорость $v_k$ катара в реке равна сумме его скорости в стояней воды $v_{k\theta}$ и скорости реки $v_p$ .

В задаче с категром мы столкнулись с наложением двух равномерных движений — движения катара и движения воды в реке. С такой ситуацией связано много интересных и неожиданных задач. Попробуйте без вычислений решить такую задачу:

По движущемуся вверх эскалатору в направлении движения идет человек и считает проиденные ступеней. Скорость человека относительно неподвижного эскалтора равна $v$ . Как выглядит график зависимости числа $s$ проиденных им ступеней от скорости $v$ ?

Прежде чем рисовать график, ответьте для себя на вопрос: возвращает или убивает функция с ростом скорости $v$ ? Грубый эскиз графика изобран на рисунке 3.

Давайте изучим ситuation более подробно. Обозначим общее число ступеней (неподвижного) эскалатора через $s_0$ , скорость движения эскалатора через $v_3$ , скорость подъема человека через $v$ , число ступеней, проиденных человека, через $s$ . Эти величины связаны соотношением

$\frac{s}{v} = \frac{s_0 - s}{v_3}$

(мы приравняли время подъема человека и время подъема эскалатора).

Отсюда находится

$s = \frac{s_0 v}{v + v_3} = \frac{s_0 + s_0 v_3 - s_0 v_3}{v + v_3} = s_0 - \frac{s_0 v_3}{v + v_3}.$

Начертим график функции

$s = s_0 - \frac{s_0 v_3}{v + v_3},$

считая, что $v$ может принимать любые (в том числе и отрицательные) значения. График изобран на рисунке 4.

Глядя на график (и вспоминая условия задачи), ответьте на следующие вопросы:

a) Что происходит с $s$ при неограниченной возрастанию $v$ ?

b) Как можно обьяснить, что $s$ неограниченно возрастает, если $v$ приближается к $(-v_3)$ ? Представьте себе, что вы встали на первую ступенку движения вверх эскалтора и начали спускаться вниз с той же скоростью, что и сам эскалатор. Далеко ли вы уйдет? А сколько ступеней вы можете пройти?

г) Как изменится график функции (2), если одновременно заменить $v$ на $kv$ и $v_3$ на $kv_3$ ?

Ответ на последний вопрос — график не изменяется — означает, что число проиденных ступенек зависит только от относительной скорости человека и эскалтора.

В заключении этого раздела предлагаем еще две задачи.

Человек, поднимаясь по эскалатору, насчитал 100 ступеней, а двигаясь с вдвое большей скоростью,

насчитал 120 ступеней. Сколько ступеней на неподвижном экалаторе?

Человека, идущее вдоль трамвайных путей, каждые 7 минут обойти трамвай, а каждые 5 минут трамвай проходит навстречу. Как часто ходят трамвай?

Кусноно-линейное движение

Простота формулы $s=vt$ обусловлена тем, что за начало отсчета выбрана точка на прямой, в которой находится движущейся тело в момент времени $t=0$ . Если сдвинуть начало отсчета на $s_0$ (влево или вправо, в зависимости от знака), уравнение равномерного движения примет вид $s=s_0+vt$ . (3)

На графике (рис. 5) движение изображается прямой (пересекающей ось $s$ в точке $s_0$ ) наклон которого зависит от скорости $v$ . Положительный наклон (острый угол) соответствует положительным скоростям (то есть движению в положительной направлении оси $s$ ), отрицательный — движению в обратном направлении.

Формула (3) полезна в тех случаях, когда мы на едином графике изображаем кусноно-линейное движение, то есть движение, которое является равномерным (но с разными скоростями) на соседних отрезках времени. На графике такое движение изображается в виде ломанной линии, каждое звено которого задается функцией вида (3) на соответствующем отрезке времени (рис. 6, $a$ ). Если же изображить скорость такого движения как функцию времени $v=v(t)$ , то получим кусноно-постоянную (ступенчатую) функцию (рис. 6, $b$ ). Связь между графиками кусноно-постоянной функции скорости и кусноно-линейной функции пути хорошо видна на рисунке 6.

Мы теперь воспользуемся этим сообщениями, чтобы решить более трудную (олимпидную) задачу, на первый взгляд не имеющую отношения к равномерному движению.

По кругу выписано 10 чисел, сумма которых равна нулю. Мы начинаем с однозою из них, например, $a_1$ , и последовательно складываем их по кругу (скажем, по часовий стрелке).

Получим суммы $a_1, a_1+a_2, a_1+a_2+a_3, \dots, a_1+a_2+\dots+a_{10}=0$ . Докажите, что можно так выбрать начальное число, что все эти суммы будут неотрицательны.

Для решения представим себе, что $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ — скорости движения на десяти равных отрезках времени, которые примем за единицу.

Считая, что в начальной момент путь равен нулю, получим, что путь $s$ через единицу времени будет равен $a_1$ , через две единицы — $a_1+a_2$ , и т. д. График такой функции изображается ломаной, начинающийся и кончающее на оси $t$ , так как по условию $a_1+a_2+\dots+a_{10}=0$ (рис. 7, $a$ ). Можно считать, что движение повторяется периодически — через десять единиц времени скорость снова равна $a_1$ и т. д. График движения представится в виде периодических повторяющихся 10-звенной ломаной (рис. 7, $a$ ). Начало отсчета в другой точкеозначает

Перенос начала координат в одной из вершин ломаной. Что означает неотрицательность сумм? Она означает, что все вершины ломаной лежат выше оси времен (или на ней). Сначала мы выбрали начальную точку произвольно (рис. 7, а). Теперясно, что если перенести начало координат в вершину ломаной, для которого значение наименьшее, и начать

Эффект Мёссбауэра

(Начало см. на с. 7)

магнитные и электрические поля во многих соедининых. Это позволяет глубже понять механизм таких взаимодействий и сделать еще один шаг в познании внутренней структуры твердого тела.

В заключение рассмотрим еще одно интересное применение эффекта Мёссбауэра. Оказывается, при движении фотонов против сил тяготения произходит уменьшение их энергии, следовательно, частоты света (увеличение длины волны), то есть налидается так называемое «красное» смешение спектра. При движении фотонов «по полю» должны налидаться «филотовое» смешение. Используем эффекта Мёссбауэра позволяет осуществитьрезвычайно тонкий красный опыт по определению изменения энергии γ-фотонов при их движении в гравиатционном поле.

В опите Р. Паунда и Г. Ребки источник и поглотитель — железо $^{57}$ Fe — располагались в башне на высоте $H=22,6$ м друг от друга: источник наверху, а поглотитель с детектором у основания башни. Затем их меняли местами. Как показывает расчет, который мы здесь описаем, в этом случае относительное изменение частоты квантов $\approx 2,5 \times 10^{-15}$ . Эффект Мёссбауэра позволяет даже такое небольшое изменение частоты.

Можно с увеличностью сказать, что среди последних научных открытий эффект Мёссбауэра — одно из наиболее плодотворных.