39
У нас в гостях — математический радиокружок
С. Л. ТАБАЧНИКОВ
Сегодня в гостях у «Кваита» профессор Сцема и его постоянные помещики: мальчик Альфа и девочка Бета. Они участники радиопередачи «Математический радиокружок Сцема». Занятия этого необучного радиокружка прошедят раз в месяц в одну из среды в 16—00 по первой весоизозной радиопрограмме. А сейчас профессор Сцема, Альфа и Бета познакомят читателей «Кваита» с темой одного из занятий своего математического радиокружка.
Сигма. Мы начнем с задачи из «Кваита для младших школьников» (№ 1 за 1981 г.): В Советском Союзе населенние составляют 260 млн. человек. Казалось бы, на карте СССР с масштабом 1:1 000 000 (в одном сантиметре 10 километров) может помещиться в миллион раз меньше людей, чем на всей территории страны, то есть может помещиться 260 человек. Однако, из опыта известно, что и пяты десять человек это будет нелегко сделать. Почему?
Альфа. Да я эту задачу сразу решил! Ведь люди живут в многоэтажных домах, значит на единицу земной поверхности приходится не один, а несколько человек.
Бета. А по-моеу, Альфа, ты не прав. Возьмем, например, такое густо населенное здание, как здание школа. Первого сентября все, кто находится в этом здании, выходит во двор на линейку, посвященную началу учебного года. Также и жители других домов могут размещаться во дворах и на улицах — им даже не будет тено. А еще остатся степи, пустыни, тундра!
Сигма. Бета права. Тебе, Альфа, придется понскать другое obъяснение. А пока попробу сравнить площади квадратов со стороны 2 и 1.
Альфа. Ну как же — площадь первого будет в четыре раза больше, чем площадь второго. И вообще, при уменьшении размеров любой фигуры в N раз, ее площадь уменьшается в N² раз. Не зря площадь изменяется в квадратных единицах!
40
Бета. Теперь все ясно! Человек занимает на Земле определенную часть площади. При изображении на карте с масштабом 1:1 000 000 площади всех фигур уменьшают в раз, то есть, в раз. Именно на это число, а не на миллион и нужно разделить населенные страны. При этом получится около одной четырехсячной части человека и никакой парадокс не возникает.
Сигма. Очень хорошего, ребята, вы во всем разобрались. Мне остается лишь добавить, что при решении задачи вы воспользовались так называемыми сообщениями подобия. Тема нашего занятия как раз — сообщения подобия.
А теперь решим еще одну задачу. В два одинаковых заполненных водой ведра засыпают дробь: в первоое ведро крупную, а во второе мелкую. В каждое ведро насыпают столько дроби, сколько помещается. Из какого ведра выляется больше воды?
Альфа. Ну конечно, из второго, в него насыпают мелкую дробь!
Бета. Ну и что?
Альфа. Раз дроб мелкая, то и промежутки между отдельными дробниками будут маленькими. Поэтому мелкая дробь уляжется плотнее.
Бета. Хотя промежутки между крупными дробниками и большие, зато смих промежутков будет меньше. Так что еще не известно, какая дробь уляжется плотнее: мелкая или крупная.
Сигма. Действительно, надо выяснить, какая дробь уляжется плотнее: мелкая или крупная. Давайте для простоты предположим, что отношение диаметров дробинок равно двум. Теперь посмотрим на ведро с мелкой дробью в бинокль с двухкратным увеличением. Что мы увидим?
Альфа. Мы увидим ведро, заполненное крупной дробью. При двухкратном увеличении и объем ведра, и объем каждого дроби увеличится в 8 раз , а их отношение остается неизменным. Значит плотность мелкой и крупной дроби будет одинаковой.
Бета. Получается, что из ведр вычитет одинаковое количество воды. Вот никака бы не подумала!
Сигма. Тем не менее, это правильный ответ. И получить его нам помогли сообщения подобия. Хочу только внести необольшее уточнение: наш ответ верен, если размеры дробинок намного меньше размеров ведра. Если же дробинки крупные (или ведро совсем маленькое), то наши рассудения теряют силу.
Причина в том, что мы пренебрегли нарушением правилного расположения дробинок влизи стенок ведра. А если дробинки больше, то влиянием стенок ведра пренебречь уже нельзя.
Бета. Профессор Сигма, а какие еще задачи можно решать с помощью сообщения подобия?
Сигма. Сообщения подобия оказылись очень полезными в биологии. А впервые их применил к изучению строения животных великий итальянский ученый XVI века Галилео Галилей. Галилей занимал вопрос, как могло бы выглядеть очень крупное сухопутное животное, например гигантская собака. В одной из книг Галилей можно даже найти рисунки костей такой воображаемой собаки.
Альфа. А очень здесь думать? Увеличить скелет общий собаки раз в 10 и все!
Сигма. Нет, все не так просто. Прочность костей пропорциональна площади их поперечного сечения. При увеличении размеров в 10 раз эта площадь увеличится в 100 раз. Значит, кости гигантской собаки смогут выдержать стократную нагрузку. Но в том то и дело, что нагрузка возвращает не в 100, а в 1000 раз. Ведь нагрузка пропорциональна массе животного, то есть его объему. Obъем же увеличится в 1000 раз. Вот и получается,