Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

58

тело вниз, то оно опустится на расстояние $h_1=20$ см. Если же сообщить телам ту же скорость, только первое тело влево, то второе тело поднимется на высоту $h_2=10$ см. Определите коэффициент треня между первым телом и поверхностью, если отношение масс тела $m_1/m_2=5$.

4. Брусок массой $M=1$ кг совершает гармоничное колбания на гладкой горизонтальной плоскости (рис. 3). В момент прохождения бруском положения равновесия на него вертикально падает кускок пластлина массы $m=0,21$ кг и приплпает к нему. Во сколько раз изменится амплитуда колбаний бруска?

5. В цилиндре под поршнем массы $M=20$ кг находится $m=1$ г геля при температуре $T=400$ K (рис. 4). Удлиние пружины $A$ составляется $x=20$ cm, а энергия ее деформации $E=60$ Дж. Определите высоту поршня над домом цилиндра. Давлением газа вне цилиндра претенбрец.

6. Два одинаковых загруженных шарика, масса и заряд каждого из которых равны $m=10$ г и $q=5 \cdot 10^{-7}$ Кл, соединены двумя изолирующими нитями длины $l=10$ cm и $2l$ (рис. 5). Систему удерживают за середину длиной нити, а затем точку подвеса $O$ на чинают поднимать вверх сускорением $\vec{a}$, равным по моделиускорению свободного падения $g$. Определите натяжение короткой нити, соединяющей шарики, во время их подъема.

7. В одномном электрическом поле, вектор направления которого направлен вертикально вниз и по модели равен $E=10$ кВ/м, находится загруженный шарик $A$, подвешенный на тонкой изолирующей нити длиной $l=1$ м к точке $O$ (рис. 6). Заряд шарика $q=10^{-6}$ Кл, масса $m=10$ г. Шарику сообщили начальную скорость $\vec{v}_0$ ($v_0=1$ м/c) в направлении, перендикулярном вектору $\vec{E}$. Найдите натяжение

Diagram

Puc. 4.

Puc. 5.

Puc. 6.

Puc. 7.

Puc. 8.

Puc. 9.

нити в момент достижения шариком крайнего положения.

8. Альфа-частица влетает по нормали в области поперечного однородного магнитного поля с индукцией $B=0,1$ Тл (рис. 7). Размер области $h=0,1$ м. Найдите скорость частицы, если после прохождения магнитного поля она отклонилась на угол $\varphi=30^\circ$ от первого начального направления. Отношение заряда к массе $\alpha$-частицы $q/m=0,5 \cdot 10^8$ Кл/кг.

9. На горизонтальных проводящих стержнях лежит металлическая перемыкача массы $m=50$ г (рис. 8). Коэффициент треня между стержнями и перемычкой $\mu=0,15$. Стержни замкнуты на резистор с сопротивлением $R=5$ Ом. Система находится в магнитном поле, индукция которого направлена вверх, а ее модель меняется по закону $B=At$, где $A=5$ Тл/c. Определите момент времени, в которой перемыкача начинает движаться по стержню. Геометрические размеры: $l=1$ м, $h=0,3$ м. Сопротивлением перемычки и подводящих стержней претенбрец.

10. Система состоит из трубь длиной $b$, тонкой лины $J$ и небольшой муфты $A$ массой $m=2$ кг, соединенной с линейной пружиной жесткости $k=500$ Н/м (рис. 9). Отношение фокусного расстояния линзы к длине трубки $F/b=0,4$,лина недеформированной пружины $b/2$. Систему вращают в горизонтальной плоскости вокруг точки $O$ с угловой скоростью $\omega$, при которой изобравение муфты оказывается в точке $O$. Найдите $\omega$.

Публикацию подготовили
Д. Ф. Калиниценко, А. И. Руденко,
Н. В. Шолохов

Ленинградский политехнический институт
им. М. И. Калиница

Matematika
Писменный экзамен
На выполнение работы было предоставлено 3 часа.

Вариант 1

1. Пусть $0<a<b<1$. Упростите выражение $1 - (\log_a b + \log_b a + 2)(\log_a b - \log_b a) \cdot \log_b a$ и определите его знак.

2. Решите уравнение
   $\cos 2x + 2 \sin x \cdot \sin 2x = 2 \cos x$.

3. Для функций $f(x) = \lg \left(\frac{2-x^2}{\sqrt{4x+5}} - 1\right)$ найдите область определения и точки экстремума.

4. Основанием параметры случайной треугольник со стороны 1. Основание $K$ высоты параметра лежит на расстояние $\sqrt{\frac{4}{3}}$ от центра $O$ этого треугольника, причем

59

Луч $OK$ прохит через середину одной из его сторон. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду, если ее высота $\sqrt{\frac{4}{3}}$.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\log_3(x^2-1) = 1 + \log_3(x+1).$$

2. Решите уравнение
   $$4-3x=\sqrt{(x-1)(2-x)}.$$

3. Для вскройка $x \in R$ значение функции $f(x)$ определяется как набольшее значение функции $g(y)=1-x^2+4xy^3-y^4$ на промежутке $[-1; 0]$, то есть
   $$f(x)=\max(1-x^2+4xy^3-y^4).$$
   $y \in [-1; 0]$

Покажите, что на промежутке [3; 8] функция $f$ является многочленом. Найдите этот многочлен. Найдите также $f'(-1)$.

4. Квадрат $ABCD$, сторона которого равна 1, служит основанием пирамиды с вершиной в точке $S$. Другранные углы, образуемые грамими $ASB, BSC, CSD$ и $DSA$ с основанием, относится как числа 1, 2, 7, 2. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Физика

Задание устного экзамена
Физико-механический и радиоизчисленный факультеты

1. Для процесса с идеальным одноатомным газом, изобравеного на рисунке и представляющего линейную зависимость давления от объема, найдите: a) работу, совершенную газом при расшириении от состояния 1 до состояния 2; 6) изменение внутренней энергии; в) количество теплоты, полученное газом.

2. Внутри шара, равномерно заряженного по объему с постоянной плотностью $\rho=9 \times 10^{-8}$ Кл/$\mathrm{m}^3$ и диэлектрический пропищемство $\varepsilon=1$, имеет сферическая плотность, в которой заряды отсутствуют. Центр полости смещен относительно центра шара на расстояние $a=25$ мм. Найдите модель и направление направленности поля внутри полости, если известно, что направленность равномерно заряженного шара (при $r<R$) описывается формулой
   $$\vec{E}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r},$$ где $\vec{r}$ — вектор, направленный по радиусу от центра и равны по модулю расстоянию от центра шара, $R$ — радиус шара. Электрическая постоянная $\varepsilon_0=8.85 \times 10^{-12} \mathrm{F/m}$.

3. Частца с удаленным зарядом $q/m=10^{-5}$ Кл/кг движется прямолинейно под действием электрического поля напряжности $E=200(1-2x)$ В/m, где $x$ — расстояние от точки, в которой частца первого полюсалась. Найдите: a) расстояние, проиденное частей до точки, где она остановилась; 6) ускорение частцы в этой точке.

4. По медному проводу течение ток плотности $j=1,0$ А/$\mathrm{mm}^2$. Считая, что на каждый atom меди прихождения один свободный электрон, оцените, какой путь проидет электрон, переместившись на расстояние $d=10$ мм. Плотность меди $q=8,9 \cdot 10^3$ кг/$\mathrm{m}^8$, молярная масса $\mu=64$ кг/кмоль.

5. Из точки $A$, лежащей на оси прямого соленода, вылетает электрон со скоростью $v=5 \cdot 10^7$ м/c под углом $\alpha=30^\circ$ к оси. Индукция магнитного поля $B=31,4$ мTл. Найдите расстояние от оси до точки попадания электрона на экран, расположенный перпендикулярно к оси на расстоянии $l=10$ см от точки $A$.

Общественные факультеты

1. Частца движется в плоскости $XOY$ с постояннымускорением $\vec{a}=(a=10 \mathrm{m/c}^2)$, направление которого противоположно положительному направлению оси $OY$. Уравнение траектории частцы имеет вид $y=kx-bx^2$, где $k=3$ и $b=2 \mathrm{m}^{-1}$. Найдите скорость частцы в начале координат.

2. Некоторые масса молекулярного водорода занимает объем $V_1=1 \mathrm{m}^3$ при температуре $T_1=250$ К и давлении $p_1=2$ атм. Какое давление будет иметь та же масса водорода при температуре $T_2=5000$ К в объеме $V_2=10 \mathrm{m}^3$, если при столбьей температуре молекуля воды водорода полностью диссцируют на atoms?

3. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластинный подана неокоторая разность потенциалов. Его энергия равна $W=2 \cdot 10^{-5}$ Дж. После того как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик из конденсатора вынули. Работа, которой при этом было совершить противодействие электрическому поля, равна $A=7 \cdot 10^{-5}$ Дж. Найдите диэлектрическую пропищемость диэлектрика.

4. Через сколько времени от начала движения точки, совершающая гармоничное колбание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колбания $T=24$ с, начальная фаза равна нулю.

5. Точечный источник света и его изобравения, полученные путем однократного отражения света от двух плоских зерна, образуют треугольник с углом $\alpha$ и источника. Определите угол между зернами.

Публикацию подготовили
В. П. Попов, С. П. Преображенный,
В. Н. Романов

60

Московский инженерно-физический институт
Математика
Вариант 1

1. $] - 1; \log_2 6]$.
2. $\frac{2k - 3}{3} S \text{ при } \frac{3}{2} < k \leqslant \frac{5}{2}, \frac{2}{3} S \text{ при } k > \frac{5}{2}$.
   Указание. По условию задачи скорость первого пешекода больше скорости второго пешекода; отсюда следует $k > \frac{3}{2}$. Первый пешекод может достигнуть города $B$ позже (или в момент) встречи влосипедства соответим пешекодом, а может — и равше.
3. $\frac{1}{3} d^3 \frac{\sin \varphi \cdot \cos^2 \varphi \cdot \sin \alpha \cdot \sin 2\alpha}{\sin 3\alpha}$, если проекция вершины $S$ на плоскость основания принадлежит ему; $\frac{1}{3} d^3 \sin \varphi \cdot \cos^2 \varphi \cdot \sin 2\alpha$ в противном случае. Заметание. Решение не изменится, если $|AS| \neq |BS|$.
4. $x = -\arccos \frac{4}{5} + (-1)^k \arcsin \frac{1-a}{5} + \pi k (k \in Z)$, при $a \in [-4; 1] \cup \{6\}$, для остальных $a$ функция $f$ не имеет критических точки (в частности, если $a \in ] 1; 6[$, функция не определяна ни при каком $x \in R$).
5. $Q = -qR_1/R_2$.
6. При $R > r > 0$
   $$\begin{cases} E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \\ \varphi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{2}{R} \right). \end{cases}$$
   При $r \geqslant R$
   $$\begin{cases} E = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \\ \varphi = -\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}. \end{cases}$$
   Соответствие графики приведены на рисунке 1.
7. $q_M = q \frac{Q}{Q - q}$.
8. $q_2 = 4\pi\varepsilon_0 \varphi r^3/R^2$.

61

Вариант 2

1. $x = \pi^2 \left(k + \frac{1}{3}\right)^2 (k = 0, 1, 2, \dots)$.

2. 77 и 86. Указание. Если $A = 10a + b$, то $5 \leq b \leq 9$.

3. $] 2a + 3; \frac{1}{3} (7a + 13)]$ при $a > -4$, $\emptyset$ при $a \leq -4$. Указание. Данное неравенство равносильно системе

$$\begin{cases} \log_2 \frac{x-a+1}{x-3-2a} \geq 2 \\ x-3-2a > 0. \end{cases}$$

4. $$\frac{d^2 \sin^2 \alpha \cdot \sin \frac{\beta}{2}}{12 \cos^3 \frac{\beta}{2}} \sqrt{9 + 16 \text{ctg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2}} \text{ при } \beta \leq \frac{\pi}{2}, \frac{1}{6} d^2 \sin^2 \alpha \cdot \sin \beta \sqrt{9 + 16 \text{ctg}^2 \alpha \cdot \cos^2 \frac{\beta}{2}} \text{ при } \beta > \frac{\pi}{2}.$$ Указание. Поскольку у призмы есть плоскость симметрины, содержащая $(BB_1), |BA| = |BC|$.

Физика

1. Запишем второй закон Ньютона для первого груза в момент прохождения стержнем вертикального положения:

$$m_1 (v^2/l) = m_1 g - N.$$

Здесь $v$ — скорость груза, $m_1 g$ — сила тяжестки, $N$ — сила, с которой стержень действует на груз (по модулю она равна силе $F$ действия груза на стержень). Для нахождения скорости $v$ используем закон сохранения энергии для системы из двух груzes, соединенных невероимм стержнем:

$$(m_2 - m_1) g l = (m_1 + m_2) (v^2/2).$$

Из полученных уравнений находим искому силу $F$:

$$F = N = m_1 g (3m_1 - m_2) / (m_1 + m_2) = (1/3) m_1 g = 2 H.$$

2. Запишем законы сохранения энергии и импульса для системы горка — шайба:

$$mg (H - h) = \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2},$$

$$mv - MV = 0.$$

Отсюда найдем относительной скорость движения шайбы и горки:

$$v_{\text{отн}} = v - V = \sqrt{2g (H - h) (1 + n)}.$$

Время падения шайбы с высоты $h$ равно $t = \sqrt{2h/g}$, а расстояние между шайбой и горкой —

$$l = v_{\text{отн}} t = 2 \sqrt{(H - h) h (1 + n)} = 1,6 \text{ м}.$$

3. В случае, когда второе тело только только в результате второе тело поднимается, начальная энергия системы равна только кинетической энергии $(m_1 + m_2) (v^2/2)$, а конечная — потенциальной энергии второго тела $m_2 gh_1$, начальная энергия системы равна только кинетической энергии $(m_1 + m_2) (v^2/2)$, а конечная — потенциальной энергии второго тела $m_2 gh_1$.

Откуда $cos \alpha = 1 - mv^2/2 (2(mg + qE) l)$.

Тогда для наяжения нити получаем $F_H = mg + qE - mv^2/2 (2l) = 0,105 \text{ H}$.

8. На альфа-частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца $F = qvB$, которая сообщает частице центрастремительного ускорения $v^2/R$:

$$m (v^2/R) = qvB.$$

Радиус $R$ окружности, по которой действуется частица, связан с размером области поля $h$ соответствием $R = h/\sin \varphi$. Таким образом, скорость частицы

$$v = (q/m) (Bh/\sin \varphi) = 10^6 \text{ м/c}.$$

9. Перемычка начинает двигаться по стержню в тот момент времени $t$, когда магнитная силаanet равной по модулю силу третья:

$$IlB = \mu mg.$$

62

Ток, текущий по перемычке, связан с возникающей электродвижущей силой индукции законом Ома:
$$I = \frac{\mathcal{E}_u}{R} = lhA/R.$$
Отсюда найдем
$$t = \mu mgR / (hl^2A^2) = 0,05 \text{ с}.$$
10. Согласно формуле линзы,
$$\frac{1}{l} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F}.$$
Длину пружины $l$ найдем из второго закона Ньютона для муфты:
$$m\omega^2(l+b) = k(l-l_0).$$
Из этих двух уравнений получаем
$$\omega = \left((3F/b-1)k/(2m)\right)^{1/2} = 5 \text{ с}^{-1}.$$
Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Matematika
Вариант 1

1. $-\log_a b < 0$.
2. $x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} l(k, l \in Z)$.
3. $] - \frac{5}{4}; -1 [\cup] -1; 1 - \sqrt{2} [, x = -\frac{2}{3} - \text{точка минимума. Указание. } x^4 - 4x^2 - 4x - 1 = (x+1)^2(x^2 - 2x - 1)$.
4. $\frac{\sqrt{3}}{9}$. Указание. $V = \frac{1}{3} Sr$, где $V$ — объем примиды, $S$ — площадь ее полной поверхности, $r$ — искомый радиус.

Вариант 2

1. {4}.
2. $\left\{\frac{6}{5}\right\}$.
3. $f(x) = 1 - x^2$ на $]0; +\infty [, f'(-1) = -2$. Указание. Расмотите три случая в зависимости от того, лежит ли единственная точка экстремума (точка максимума) $y_0 = 3x$ функции $g(y)$ на $[-1; 0]$, на $]-\infty; -1 [$ или на $]0; +\infty [$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}$. Указание. Обозначим через $K$ и $L$ середины, соответственно, сторон $AB$ и $CD$, через $O$ — основание высоты примиды, через $M$ — основание высоты треугольника $ASD$, проведенной из $S$. Тогда ($KSL$) — плоскость симметрики примиды и $O \in (KL)$, $S\widehat{KL} = \alpha, S\widehat{LK} = 7\alpha, S\widehat{MO} = 2\alpha$. Выразите $|SO|$ двумя способами — из $\Delta SMO$ и из $\Delta SOL$; из полученного уравнения найдите $\alpha$. Обратите внимание на то, что заранее неизвестно, находится ли $O$ внутри примиды.

Физика
Физико-механический и радиофизический факультеты

1. a) $A = (p_1 - p_2)(V_2 - V_1)/2 = 450$ кДж;

6. $\Delta U = 3(p_2V_2 - p_1V_1) = 0$; b) $Q = A + \Delta U = A = 450$ кДж.

2. $\vec{E} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{a}$ (рис. 2); $E = \frac{\rho a}{3\varepsilon_0}\approx 85$ В/м.

Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Указание. В произвольной точке $A$ внутри полости электрическое поле является суперпозицией двух полей: поля $\vec{E} = \frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}$, распределенного с плотностью $\rho$ по всему шару, и поля $\vec{E'} = \frac{-\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r'}$, распределенного с плотностью $-\rho$ по сферической полости.
3. $x = 1$ м; $a_x = E_xq/m = -2 \cdot 10^{-3}$ м/c². Указание. До расстояния 0,5 м от начала координат частица движения вускорющем поле, а затем, до расстояния 1 м, — в горможшем поле (рис. 3).
4. $l = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \frac{deN_A\varrho}{j\mu} \approx 1,5 \cdot 10^7$ м, где $k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/K — постоянная Больцмана, $T = 300$ K — комнатная температура, $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг — масса электрона, $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл — его заряд, $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$ — число Авогадро. Указание. Для оценки можно считать, что средняя скорость теплового движения электронов (которая на несколько порядков больше средней скорости направленного движения электронов в электрическом поле) равна средней квадратичной скорости теплового движения молекул идеального газа, то есть $\sqrt{\frac{3kT}{m}}$.
5. Двигяясь по винтовой линии, электрон сделает два полных витка и попадет как раз в центр экрана.

63

Общественные факультеты

1. $v_0 = \sqrt{(1+k^2)a/(2b)} = 5$ м/с.
2. $p_2 = 2p_1 \frac{V_1}{V_2} \frac{T_2}{T_1} = 8$ атм.
3. $\varepsilon = 1 + A/W = 4,5$.
4. $t = T/12 = 2$с. Указание. Точка коллебляется по закону $x = x_M \sin \frac{2\pi}{T} t$.
5. $\beta = \pi - \alpha$ (рис. 4).

Задания с устного экзамена МФТИ
(см. «Квант» №2 2)

1. Нет, оно делится на 9.
2. Предположим, что $(x, y)$ — целочисленное решение уравнения. Заметим, что число 1982 четное, но на 4 не делится. Для того чтобы $x^2 - y^2$ делилось на 2, числа $x$ и $y$ должны иметь одинаковую четность. Но тогда $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ делится на 4.
3. Полусумма $\frac{p_1 + p_2}{2} = n$ — целое число, лежащое между числами $p_1$ и $p_2$, которые по условию является последовательными нечетными простыми. Поэтому число $n$ должно быть четным.
4. Если бы число $n + 1$ было составным, то оно делилось бы на некоторое число $k \neq 1$, меньшее $n$. Но тогда и число $m = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n + 1$ должно делиться на $k$, что невозможно, так как на $k$ делится $m - 1 = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$, а значит, $m$ при делении на $k$ дает остаток 1.
5. Из условия следует, что оба числа $2^n - 1$ и $2^n + 1$ больше трех. Покажем, что одно из них обязательно делится на 3, поэтому является составным. Действительно, одно из трех последовательных чисел $2^n - 1, 2^n, 2^n + 1$ делится на 3, причем $2^n$ этим свойством не обладает.
6. Не может, так как при делении числа $k^2$, где $k \in N$, на 3, в остатке получится либо 0, либо 1. Действительно, число $k$ может быть записано в следующем виде: $k = 3m + r$, где $r$ — остаток при делении $k$ на 3. Если $r = 0$, то $k^2$ делится на 3. Если $r = 1$, то $k^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3l + 1$, $l \in N$. Аналогично проверяется, что если $r = 2$, то $k^2 = 3q + 1$, $q \in N$.
7. Разобъем указанного сумму на два слагаемых: $6n^2 - 3n + 3$ и $n^3 - n$. Первое слагаемое делится на 3, а второе $n^3 - n = (n - 1)n(n + 1)$ также делится на 3 (как произведение трех последовательных чисел).
8. Запишем число $p$ в виде $p = 12q + r$, где $r$ — остаток от деления $p$ на 12. Если $p$ — простое число, больше 3, то $r$ не может быть четным и не может делиться на 3 (в противном случае само число $p$ было бы четным или делилось бы 3). Таким образом, остаток $r$ может принимать только значения 1, 5, 7, 11. Следовательно, любое простое число, больше 3, может быть отнесено к одному из двух множества: множества $A$ чисел, дающих при делении на 12 остаток 1 или 11, или множества $B$ — с остатком 5 или 7. Из трех простых чисел, больше 3, по крайней мере два принадлежать к одному из множества $A$ или $B$. Если остатки при делении на 12 этих двух чисел одинаковы, то их разность делится на 12. Если их остатки различны, то сумма этих остатков равна 1 + 11 или 5 + 7, то есть равна 12, поэтому сумма чисел делится на 12.
9. Это число делится на 111 = 3 · 37.
10. Возвода члены исходного неравенства в квадрат, получаем 1982² < n < 1983². Искомое количество натуральных чисел $n$ равно 1983² - 1982² - 1 = 1983 + 1982 - 1 = 3964.
11. Представим исходное выражение в виде $\frac{2m + 3m^2 + m^3}{6}$ и показем, что числитель этой дроби делится на 6 при любом целом $m$. Сначала докажем, что он делится на 2, для чего достаточно рассмотреть сумму $3m^2 + m^3 = m^2(3 + m)$ и заметить, что если $m$ четное, то на 2 делится $m^2$, если $m$ — нечетное, то четным является $3 + m$. Покажем теперь, что сумма $2m + 3m^2 + m^3$ всегда делится на 3. Для этого достаточно показать, что на 3 делится сумма $m^3 + 2m = m(m^2 + 2)$. Это утверждение верно, если $m$ делится на 3. Если $m$ на 3 не делится, то число $m^2$ при делении на 3 дает остаток 1 (действительно, если $m = 3k$, то $m$ делится на 3, если $m = 3k + 1$, то $m^2 = 9m^2 + 6m + 1 = 3l + 1$, $l \in N$, если же $m = 3k + 2$, то аналогично $m^2 = 3q + 1$, $q \in N$). Поскольку $m^2$ дает остаток 1 при делении на 3, $m^2 + 2$ кратно 3.
12. Пусть $A$ и $B$ — соответственно, искомое число и число, получаем при умножении $A$ на 9. Первая цифра числа $A$, оченьindo, равна 1, и поэтому 9 — последняя цифра этого числа. Обозначим буква $x, y, z$, соответственно, вторую и четвертуую цифры числа $A$ и запишем результат умножения:
    $$\frac{1xyz9}{9zyx1}$$

Цифра $x$ не может быть больше единиццы, так как в противном случае число $p$ было бы четным или делилось бы 3. Заменяя $z$ на 9 в записи числа $A$, в результате умножения получаем $x = 9$. Итак, цифра $x$ может быть только нулем, то есть
$$\frac{10yz9}{9zy01}$$

Так какчетвертая цифра числа $B$ равна нулю, то число 9z должно оказаться двойной, и поэтому $z = 8$. Отсюда следует, что $y \neq 0$ и поскольку числа $B$ делится на 9, сумма его цифр делится на 9, и значит, $y = 9$, $A = 10989$.
13. Найдем такое целое неотрицательное $n_1$, что $2^{n_1} \leq A < 2^{n_1} + 1$; пусть $A_1 = A - 2^{n_1}$. Если $A_1 \neq 0$, найдем целое неотрицательное $n_2$ такое, что $2^{n_2} \leq A < 2^{n_2} + 1$. Обозначим $A_2 = A_1 - 2^{n_2}$. Заменяем, что $A_1 < 2^{n_1}$ и поэтому $n_2 < n_1$. Рассудядя аналогично, за конечное число $k$ шагов (не более чем за $n_1 + 1$) получим $A_{n_k} = 0$. Отсюда
$$A = 2^{n_1} + 2^{n_2} + \dots + 2^{n_k}$$

14. Может. Например, положим $a = \sqrt{2}$, $b = \log_2 9$, тогда $a^b = 3$. Докажем, что $\log_2 9$ — irrationalное число. Пусть это не так, тогда существуют такие натуральные $m$ и $n$, что