Решения задач М770, М775—М779; Ф788— Ф792

47

Решение задач

M770, M775—M779; Ф788—Ф792

Первое решение. Можно считать, что длина стороны основания равна 1. Пусть $x \geq y \geq z$ — длины ребер PA, PB и PC. Ясно, что $x+y \geq x+Z \geq y+z \geq 1$.

По теореме косинусов (см. рис. 1)

$$x^2+1=y^2+ax,$$
$$y^2+1=z^2+ay,$$
$$z^2+1=x^2+az,$$

где $a=2\cos \alpha (0<a<2)$. Отсюда следует, что

$$\begin{cases} x^2-y^2=y^2-z^2+a(x-y), \\ y^2-z^2=z^2-x^2+a(y-z), \\ z^2-x^2=x^2-y^2+a(z-x), \end{cases}$$

$(x+y-a)(x-y)=(y-z)(y+z),$
$(y+z-a)(y-z)=(z-x)(z+x),$
$(z+x-a)(z-x)=(x-y)(x+y). Легко видеть, что если какие-либо два из чисел$x, y, z$равны, то равны и все три числа. Предположим, что$x \neq y, y \neq z, x \neq z$. Переменная уравнения последней системы, получим после сокращений$$(x+y-a)(y+z-a)(z+x-a)=(y+z)(z+x)(x+y).$$Поскольку права часть (*) положительная, должна быть положительная и левая часть. При этом, если все три сомножителя положительных, то равенство (*) невозможно. Следовательно,$y+z-a<0; y+z-a<0, a+x-y-a>0$. Кроме того,$(x+z)+(y+z)>2>2a$. Поэтому$(y+z-a) \times (x+z-a)=(y+z)(x+z)-(x+z+y+z)a+a^2=(x+z) \times (y+z)+a(a-(h+z+y+z))<(x+z)(y+z)+a(a-2)<(x+z)(y+z).

Позтому левая часть произведение (*) меньше правой. Противоречие.

Второе решение. Построим на плоскости угол $a$. На одной из его стороны отрезок $|OK|=1$, а на другой — отложим отрезки $OP=x, |OQ|=y, |OR|=z$. Получившиеся треугольники конгружены граями парамиды, причем $|PK|=y, |QK|=z, |RK|=x$.

Из треугольника RQK получаем $x=|RK|<|QR|+|QK|=y-z+z=y$, то есть $x<y$ — противоречие!

С. А. ВалерIAN

M775. При каких натуральных $n \geq 3$ существует различные натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ или $a_n-a_1$ различны?

Ответ: при $n=4k$ или $n=4k-1, k \in N$. Расмотрим сумму $S=|a_1-a_2|+|a_2-a_3|+\dots+|a_n-a_1|$. По условию все $n$ составляющих ее слагаемых различны и заключены между числами 1 и $n$, следовательно $S=1+2+\dots+n=n(n+1)/2$. С другой стороны, если заменить модили разностей чисел $a_i$ в этой сумме на сами разности с соответствующими знаками и приведенными подобные, каждое из чисел $a_1, \dots, a_n$ будет входить в сумму с коэффициентом 2, —2 или 0 (так как любое из них содержитсяровно в двух модилях). Следовательно, $S$ — четное число. Но, поскольку $n+1$ — числа разной четности, число $n(n+1)/2$ будет четным тогда и только тогда, когда $n$ или $n+1$ делится на 4, то есть $n=4k$ или $n=4k-1, k \in N$.

В общих случаях нужно чисел быть указан: см. рис. 1 для $n=4k$ и рис. 2 для $n=4k-1$. Для удобства на общих рисунках числа $a_i$ расположены по окружности; на рисунке $1a_1=4k+1, a_2=1, a_3=4k, \dots, a_n=2k+1$ (не используется $k+1$), на рисунке $2a_1=4k, a_2=1, a_3=4k-1, \dots, a_n=2k$ (не используется $3k$). Заметим, что на общих рисунках при движении по часовой стрелке начинается от $a_1$, числа, записанные внутри окружностей,

48

Рис. 2.

М776. На диагоналях AC и CE правильно шестиугольника ABCDEF взяты, точки M и N соответственно, такие, что
$$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|} = \lambda.$$
Известно, что точки B, M и N лежат на одной прямой. Най-dите λ.

М777. Дано уравнение $x^3 - 3xy^2 + y^2 = n$. Докажите, что
a) если натуральное n такое, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по меньшей мере три целочисленных решения;
b) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решения.

возрастают, а записанные снаружи — убывают, причем «внутренние» числа меньше «внешних». Отсюда легко вывести, что указанные наборы удовлетворяют условиям задачи.

А. В. Анджан

♦ Ответ: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Пусть $L$ — точка пересечения диагоналей AC и BF (см. рисунок). Диагоналки BF и CE параллельны, поэтому треугольники BLM и NCM подобны; следовательно,
$$\frac{|BL|}{|NC|} = \frac{|LM|}{|CM|}.$$
Выразим длины отрезков в этом равенстве через $\lambda$, считая длину диагонали AC равной 1.
Из подобия треугольников ABL и CFL следует, что $|BL|:|LF| = |AB|:|CF| = 1:2$. Следовательно, $|BL| = 1/3$, так как $|BF| = |AC| = 1$. Аналогично, $|AL| = 1/3$. Ясно, что $|CN| = |AM| = \lambda$, $|CM| = 1 - \lambda$, а $|LM| = |AM| - |AL| = \lambda - \frac{1}{3}$. Таким образом,
$$\frac{1/3}{\lambda} = \frac{\lambda - 1/3}{1 - \lambda},$$
то есть $\lambda^2 = 1/3$ и $\lambda = 1/\sqrt{3}$.

А. П. Савин

♦ a) Обозначим левую часть уравнения через $P(x, y)$. Ее можно переписать так:
$$P(x, y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 = (y - x)^3 + 3(y - x)x^2 - x^3 = -y^3 + 3y(x - y)^2 + (x - y)^3.$$
Следовательно, $P(x, y) = P(y - x, -x) = P(-y, x - y)$. Поэтому, если пара целых чисел $(x, y)$ является решением нашего уравнения, то ему удовлетворяют также еще две пары $(y - x, -x)$ и $(-y, x - y)$. Все эти пары различны, либо в противном случае $x = y = 0$, что невозможно при $n \neq 0$.

б) Чтобы убедиться, что уравнение $x^3 - 3xy^2 + y^3 = 2891$ не имеет целочисленных решений, достаточно доказать, что левая часть ни при каких целых $x$ и $y$ не дает при делении на 9 в остатке 2, поскольку $2891 = 9 \cdot 321 + 2$. Для доказательства воспользовемся таблицей, в которой для всехможных остатков от деления числа $a$ на 9 приведены остатки для чисел $3a$ и $a^3$.

| $a$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $3a$ | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 | 0 | 3 | 6 |
| $a^3$ | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 | 0 | 1 | 8 |

Из второй и третьей строк таблицы видно, что остаток 2 в левой части может получаться тогда, и только тогда, когда остатки от деления $x^3$, $3xy^2$ и $y^3$ на 9 соответствовно

49

М778*. Дан неравноведренный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1, 2, 3$), $M_i$ — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данной треугольник, и $S_i$ — точка, симметричная $T_i$ относительно биссектрисы угла $A_i$ треугольника.

Докажите, что прямые $M_1S_1$, $M_2S_2$ и $M_3S_3$ имеют общую точку.

Стороны треугольника $M_1M_2M_3$ соответственно параллельны сторонам треугольника $A_1A_2A_3$. Мы докажем, что и стороны треугольника $S_1S_2S_3$ параллельны сторонам $A_1A_2A_3$. Отсюда вытекает, что $\triangle S_1S_2S_3$ готовится в него параллельным переносом. Второй случай отпадает, либо окружность, описанная около треугольника $M_1M_2M_3$, больше описанной окружности треугольника $S_1S_2S_3$. Следовательно, прямые, соединяющие соответствие вершины треугольников $S_1S_2S_3$ и $M_1M_2M_3$, должны пересечься в одной точке — центре готовится.

Покажем, например, что прямые $S_1S_2$ и $A_1A_2$ параллельны (см. рисунок). При симметричном относительной биссектрисы угла $A_1$ точка $S_1$ перейдет в $T_1$, а $T_3$ — в $T_2$,

Diagram

позному дуги $S_1T_3$ и $T_1T_2$ вписанной окружности треугольника $A_1A_2A_3$ равны. Аналогично, при симметричном относительной биссектрисы угла $A_2$ дуга $T_1T_2$ перейдет в дугу $T_3S_2$. Следовательно, дуги $S_1T_3$ и $T_3S_2$ равны, и позному точки $S_1$ и $S_2$ находится на одинаковом расстоянии от прямой $A_1A_2$, то есть $S_1S_2 \parallel A_1A_2$. Аналогично доказывается, что и две другие стороны треугольника $S_1S_2S_3$ параллельны соответствующим сторонам треугольника $A_1A_2A_3$.

А. П. Савин

М779*. Расматриваются последовательности $\{x_n\}$ положительных чисел, удовлетворяющие условиям

$$1 = x_0 \geqslant x_1 \geqslant x_2 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$$

а) Докажите, что для любой такой последовательности $\{x_n\}$ существует $n$, при котором

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_n^2}{x_n} \geqslant 3,999.$$

б) Найдите также последовательность $\{x_n\}$, удовлетворяющую указанному условиям, для которой при любом $n$

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_n^2}{x_n} < 4.$$

a) Легко видеть, что справедливо следующие неравенства: $\frac{x_k^2}{x_k} \geqslant 4(x_k-1-x_k)$. Действительно, умножив обе части на (положительное) число $x_k$ и пересечя все члены влево, получаем очевидное соответствие: $x_k^2 - 4x_k-1x_k + 4x_k^2 = (x_k-1-2x_k)^2 \geqslant 0$.

Сложив доказанные неравенства для всех $k$ от 1 до $n$, мы получим, что

$$\frac{x_0^2}{x_1} + \frac{x_1^2}{x_2} + \dots + \frac{x_n^2}{x_n} \geqslant 4(x_0-x_n) = 4(1-x_n)$$

Если последовательность $\{x_n\}$ стремится к нулю при $n \to \infty$, то, как следует из (*), доказываемое неравенство выполняется при всех достаточно больших $n$.

Если же последовательность не стремится к нулю, то по теореме Вейерштраса о существовании предела у ограниченной спизу монотного убивающей последовательности

$$\lim_{n \to \infty} x_n = a > 0.$$

Не тогда предел последовательности $x_n^2-1/x_n$ будет отличаться от $a$ меньше, чем на $a/2$, и следовательно, само

50

будет больше, чем $a/2$. Поэтому в левой части доказываемого неравенства можно набрать столько слагаемых, что сумма станет больше 4 (и вообше, любого заданного числа).

6. Ответ: искомая последовательность $\{x_n\}$ — это геометрическая прогрессия со значателем $1/2$; $x_n = 1/2^n$, $n = 0, 1, 2, \dots$. Для этой последовательности сумма в левой части равна

$$2 + 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^{n-2}} = 4 - \frac{1}{2^{n-2}} < 4.$$

Замечание. Последовательность из пункта 6) единственная. Действительно, как мы видели в решении пункта a), она должна обязаться стремиться к 0. Если она не совпадает с геометрической прогрессией $\{1/2^n\}$, то $x_{k-1} \neq 2x_k$ хотя бы при одном $k$, поэтому величина $\delta = \frac{x_k^2 - 1}{x_k} - 4(x_{k-1} - x_k) = \frac{(x_{k-1} - 2x_k)^2}{x_k}$ положительная. Но разность между левой и правой части неравенства (*) при $n \geqslant k$ не меньше $\delta$. Следовательно, при достаточно большом $n$ его левая часть будет больше 4.

A. П. Савин

Ф788. Длиная ладкая труба радиуса $R$ наклона под углом $\alpha$ к горизонту (рис. 1). Из точки A по внутренней поверхности трубы пуская отверх небольное тело. Вектор наcalный скорости тела составляет угол $\varphi$ с прямой AB (см. рис. 1). При какой минимальной наcalной скорости тела будет движется не отрываясь от поверхности трубы?

Сложное движение тела внутри трубы в левой момент времени можно представить как суперпозицию двух независимых движений — движения вдоль этих труб и движения по окружности в плоскости, перpendикулярной оси трубы (см. рис. 1). Отрыв тела от поверхности трубы скажется только на втором движении — тело не будет движаться по окружности. Поэтому мы рассмотрим только это движение.

На тело, движущемся по окружности, действует сила $N$ нормальной реакции со стороны стенок трубы (вектор $\vec{N}$ лежит в плоскости, перpendикулярной оси трубы) и «сила тяжесте» $mg' = mg \cos \alpha$. Запишем условие тела по окружности:

$$mg' \cos \beta + N = \frac{mv^2}{R},$$

где $\beta$ — угол, который составляет радиус-вектор той точки окружности, в котором в данной момент находится тело, с вертикалью》 $Y'$ (рис. 2). Чтобы тело не отрывалось от трубы, должно выполнять условие:

$$N = m \frac{v^2}{R} - mg' \cos \beta \geqslant 0 \Rightarrow v^2 \geqslant mg'R \cos \beta.$$

Связь между скоростью $v$, с которой в данной момент движется тело по окружности, и наcalной скоростью $v_0$ найдем, воспользовавшись законом сохранения энергии: при любом значении угла $\beta$ должно выполнять соответствующее соотношение:

$$m \frac{v^2}{2} + mg'R \cos \beta = m \frac{(v_0 \sin \varphi)^2}{2} + mg'R.$$

Отсюда

$$v^2 = v_0^2 \sin^2 \varphi + 2g'R - 2g'R \cos \beta.$$

Подставив это выражение в (*), найдем, при каких значениях $v_0$ тело не отрывется от трубы:

$$v_0^2 \geqslant 3 \frac{g'R}{\sin^2 \varphi} \cos \beta - 2 \frac{g'R}{\sin \varphi}.$$

Поскольку это условие должно выполнять при любом значении $\beta \in [0, 2\pi]$, окончательное имеем:

$$v_0^2 \geqslant \frac{Rg'}{\sin^2 \varphi} = \frac{Rg \cos \alpha}{\sin^2 \varphi}.$$

C. С. Кротов

51

Ф789. Выточенную на токарном станке фцурру с плоским основанием поставили на доносуда и начали наливать в сосуду воды. На рисунке 1 приведен график зависимости силы F, с которой фцурра давит на дно, от высоты H уровня воды в сосуде (вода под фцурру не подтекает). Определите по графику площадь основания фцурры, ее объем и плотность материалов, из которого она сделана. Нарисуйте (приближенно) эту фцурру. На какой высоте площадь горизонтального сечения фцурры равна площади ее основания?

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф790. Брусок массы m прикреплен с помощью пружины жесткости k к стене. На расстоянии d от бруска лежит второй брусок такой же массы. Какую минимальную скорость нужно сообщить правому бруску (см. рисунок), чтобы после соудареня брусков лежвой брусок вернуляя в исходное положение? Козффициент треня брусков по верхнюю не зависят от скорость при высоте H уровня воды в сосуде объем погруженной в воду части фцурры равен V. Сила, действующая на фцурру со стороны воды, равна

$$f = \rho_B g H - \rho_B g H_S,$$

где $S_0$ — площадь основания фцурры. Запишем условие равновесия фцурры:

$$F'(H) - Mg + \rho_B g V - \rho_B g H_S = 0,$$

где M — масса фцурры, $F'(H)$ — абсолотное значение силы нормальной реакции со стороны дна сосуда при данном уровне воды в сосуде. Согласно III закону Ньютона, $F'(H) = F(H)$; следовательно,

$$F(H) = Mg - \rho_B g V + \rho_B g H_S.$$

Ясно, что после того как фцурра будет полностью покрыта водой, график станейным. По этому участиг графика определям $S_0$ (выберем точки $H_1 = 4$ см и $H_2 = 5$ см):

$$S_0 = \frac{1}{\rho_B g} \cdot \frac{\Delta F}{\Delta H} = \frac{1}{10^3 \cdot 9,8} \cdot \frac{0,1}{0,01} \mathrm{m}^2 \approx 10^{-3} \mathrm{m}^2.$$

Тепер можно определить объем фцурры:

$$V_0 = \frac{Mg - F(H) + \rho_B g H_S}{\rho_B g} = \frac{F(0) - F(H) + \rho_B g H_S}{\rho_B g}$$

(мы учили, что при $H = 0$ $F(0) = Mg$). Взяв точку, лежащую на линейном участиг графика,— например, точку, соответствующую $H_2 = 5$ см,— найдем:

$$V_0 \approx \frac{0,25 - 0,4 + 10^3 \cdot 9,8 \cdot 0,05 \cdot 10^{-3}}{10^3 \cdot 9,8} \mathrm{m}^3 \approx 3,5 \cdot 10^{-5} \mathrm{m}^3.$$

Плотность материалов, из которого сделана фцурра, равна

$$\rho = \frac{M}{V_0} = \frac{F(0)}{g V_0} \approx 7 \cdot 10^2 \mathrm{kg/m}^3.$$

Для исследования формы фцурры найдем малое приращение силы $\Delta F$, обусловленное малым приращением высоты $\Delta H$ уровня воды:

$$\Delta F = -\rho_B g \cdot \Delta V + \rho_B g S_0 \cdot \Delta H = \rho_B g (S_0 - S(H)) \Delta H$$

(мы учили, что малое приращение объема равно $\Delta V = S(H) \cdot \Delta H$). Отсюда видно, что там, где F растет с ростом $H (\Delta F > 0)$, $S(H) < S_0$; и наоборот, при $\Delta F < 0$ $S(H) > S_0$. В точках кривой, которые соответствуют плошадям сечения, равным $S_0$, $\Delta F = 0$, то есть в этих точках касательная к кривой горизонтальная. Это условие выполняется в точках $H_3 \approx 1,7$ см и $H_4 \approx 2,2$ см и около основания фцурры. (Читатель, знакомые с дифференцированным, могут произвести более подробный анализ формы фцурры, взяв первую и вторую произвольные функции $F(H)$.)

На рисунке 2 изображена (приближенно) эта фцурра.

Д. В. Белов

Пусть искомая минимальная скорость равна v. Тогда, согласно закону сохранения энергии,

$$\frac{mv^2}{2} = \mu mgd + 2\mu mgx,$$

то есть все начальная энергия системы, равная кинетической энергии правого кубика, переходит в конечном итеге в телло — она расходуется на преодоление силы треня на пути $(d + 2x)$, где x — максимальное значение пружины. В тот момент, когда оба кубика неподвижны, а пружина максимально сжата,

$$\frac{mv^2}{2} = \mu mgd + \frac{kx^2}{2} + \mu mgx.$$

52

рости и равен ц; соударение брусков ситать абсолотно упругим.

Graph of a beam with weight $m$ and length $d$

Ф791. В цилиндрическом соусе под поршнем находится 1 моль идеального одноатомного газа. Масса поршня равна $M$, площадь — $S$. Какое количество теплоты надо подводить к газу в единицу времени, чтобы поршень двигаляя равномерно вверх со скоростью $v$? Атмосфере давление равно $p_0$. Тренце между поршнем и стенками сосуда отсутствует.

Из уравнения (1) и (2) находим максимальное значение прижинны:

$$x = 2\mu g \frac{m}{k}.$$

Подставив найденное значение $x$ в (1), находим минимальное скорость $v$:

$$v = \mu g \sqrt{2} \sqrt{\frac{d}{\mu g}} + \frac{4m}{k}.$$

В. К. Петерсон

На поршень в любой момент времени действуют силы тяжестки $Mg$, сила $p_0S$ атмосферного давления и сила $pS$ давления газа. Согласно П закону Ньютона при равномерном движении поршня

$$pS = Mg + p_0S.$$

Следовательно, давление газа в цилиндре постоянно.

Пусть в единицу времени к газу подводят количество теплоты $q$. Тогда, согласно закону сохранения энергии,

$$q \cdot \Delta t = \frac{3}{2} R \frac{m}{\mu} \Delta T + p \cdot \Delta V.$$

Здесь $\frac{3}{2}R \frac{m}{\mu} \Delta T$ — изменение внутренней энергии газа, $p \cdot \Delta V$ — работа, совершаемая газом ($\Delta V = Sv \cdot \Delta t$ — изменение объема $\Delta V$ газа за время $\Delta t$). Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что

$$p \cdot \Delta V = \frac{m}{\mu} R \cdot \Delta T.$$

Таким образом

$$q \cdot \Delta t = \frac{3}{2} p \cdot \Delta V + p \cdot \Delta V = \frac{5}{2} p \cdot \Delta V = \frac{5}{2} pSv \cdot \Delta t.$$

Отсюда

$$q = \frac{5}{2} pSv = \frac{5}{2} (Mg + p_0S)v.$$

Д. В. Подлеский

*Ф792. Между Москов и Ленинградом протянута двухпроводная телефонная линия. Сопротивление однозо метра проводки равно $r = 0,05$ Ом. Из-за несовершенства изоляции сопротивление между проводами составляет $R = 10^7$ Ом на каждой метр линии. К концам линии в Москве подключают источник с напряжением $U = 100$ В. Что показет волтметр, если его подключают а) к концам линии в Ленинграде? б) в середине линии?

Прием расстояние между Москови и Ленинградом равным $6 \cdot 10^5$ м. Разобъем линии на множество звеньев; каждое звено представим в виде эквивалентной схемы из трех резисторов (рис. 1). Если одно звено соответствует

Рис. 1.

1 м длины линии, то последовательные резисторы имеют сопротивление $r = 0,05$ Ом, а параллельный — $R = 10^7$ Ом. Ясно, что два резистора, подключаемые последовательно, можно заменить одним, сопротивление которого равно $2r = 0,1$ Ом.

Число звеньев такой цепочки очень велико. Будем считать эту цепочку бесконечной, а потом — получив решение — обсудим правомерность этого приближения.

Найдем вначале сопротивление $R_{06ш}$ такой цепи. Для этого добавим еще одно звено впереди цепочки и потре-

53

буем, чтобы полное сопротивление такой удлинитель цепи (рис. 2) опять составило $R_{06\mu}$:

$$\frac{R \cdot R_{06\mu}}{R + R_{06\mu}} + 2r = R_{06\mu}.$$

Отсюда находим $R_{06\mu}$:

$$R_{06\mu} = r + \sqrt{r^2 + 2rR} = 0,05 + \sqrt{(0,05)^2 + 10^6} \approx 10^3 \text{ Ом}.$$

Если ко входным зажимам схемы на рисунке 2 подключит напряжение $U$, то после этого добавочного звена напряжение уменьшится на величины

$$\Delta U = 2rI = 2r \frac{U}{R_{06\mu}}.$$

Это означает, что после одной ячейки напряжение становится меньше в $k = \frac{U}{U - \Delta U} = \frac{1}{1 - 2r/R_{06\mu}} \approx 1,0001$ раз, и каждая следующее ячейка уменьшается на столько же раз. Значит, после $n$ ячейек напряжение на оставшейся части цепи будет равным

$$U_n = \frac{U}{k^n}.$$

При нашем разбиении число ячейек равно $N = \frac{6 \cdot 10^5 \text{ М}}{1 \text{ М}} = 6 \cdot 10^5$; значит напряжение на конце линни составляет

$$U_N = \frac{U}{k^N} = \frac{100}{(1 + 0,0001)^{6 \cdot 10^5}} \text{ В}.$$

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

$$(1 + 0,0001)^{6 \cdot 10^5} = [(1 + 0,0001)^{10000}]^{60} \approx e^{60} \approx 1,14 \cdot 10^{26}$$

(выражение в квадратных скобках — это приближение значения числа $e \approx 2,718$ — основания натуральных логарифмов).

Итак, напряжение на конце линни составляет

$$U_N \approx \frac{100}{1,14 \cdot 10^{26}} \text{ В} \approx 10^{-24} \text{ В}.$$

Такую величины просто невозможно изменить, волтметр показет 0.

Напряжение последнее линни —

$$U_{N/2} = \frac{100}{e^{30}} \text{ В} \approx 10^{-11} \text{ В}.$$

Что изменится, если взять ячейку «длинной» не 1 м, а 1 см или 1 км (или 100 км)? В нашем случае «умельчение» ячейк, конечно, допустимо, но явно не имеет смысла; а вот увеличить их размеры нужно осторожно — на длине линни 10 км (10 000 ячейек по 1 м) напряжение падает в $e$ раз, и ясно, что «длина» ячейки должна быть, во всяком случае, во много раз меньше, чем 10 км.

Считая цепь бесконечной, мы как бы добавили к концу ее еще очень много ячейек. Ясно, что расчет $R_{06\mu}$ был выполн корректным (напряжение на конце цепи во много раз меньше входного, и при подключении дополнительных резисторов $R_{06\mu}$ практически не менее). А вот величины нахождения мы оценили не очень. Подумайте сами, каким должно быть сопротивление волтметра, чтобы наш способ решения давал точный результат.

3. А. Рафаилов