Московский инженерно-физический институт

57

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите неравенство
   $$\frac{1}{\frac{x}{4^2}+5} \leq \frac{1}{2x+1-1}.$$

2. Города $A$ и $B$ расположены на прямолинейном шоссе. Из города $A$ в город $B$ одновременно вышили два пешекода, а из города $B$ в город $A$ в тот же момент времени выхал величины. Проевая $k$-ю часть пути от $B$ до $A$, величины встретил первого пешекода. Затем, проевая $\frac{2}{3}$ всего пути, величины встретил второго пешекода. На каком расстоянии от них в момент их встречи находится первой пешекод? Скорости пешекодов и величины постояны, $|AB|=S$.

3. Основанием параметры $SABCD$ служит прямогольник $ABCD$, длина диагонали $AC$ которого равна $d$, а $CAD=\varphi$. Плоскости противоположных боковых граней $ASB$ и $CSD$ составляют с плоскостью основания параметры углы величины $a$ и $2a$ соответственно. Определите объем параметры, если известно, что $|AS|=|BS|$.

4. Найдите критические точки функции $f(x)=3\sin x+4\cos x+4+(1-a)x+\sqrt{a^2-7a+6}$.

Вариант 2

1. Найдите $f'(x)$ и критические точки функции
   $$f(x)=\cos \sqrt{x}+\sqrt{3}(\sin \sqrt{x}+\sqrt{2}).$$

2. Сумма цифр двузначного натурального числа $A$ равна 14. Если к этому числу прибавить 46, получится число, произведение цифр которого равно 6. Найдите число $A$.

3. Решите неравенство
   $$2\log_4(x-a+1)+\log_2(x-3-2a) \ge 2.$$

4. В прямой треугольной примме $ABCA_1B_1C_1(AA_1)\parallel(BB_1)\parallel(CC_1),|AB_1|=d$ и $AB_1B=a$. На прямой, являющейся пересечением плоскости $ABC$ и плоскости симметрины, содержащей прямую $BB_1$, взята точка $O$, которая удалена на одинаковое расстояние от точек $A$, $B$ и $C$. Через точку $O$ параллельно прямой $A_1C_1$ проведена плоскость, пересекающая отрезок $BB_1$ в точке $D$, причем $|B_1D|:|DB|=1:2$. Определите площадь сечения прямых этой плоскостью, если известно, что $ABC=\beta$.

Физика

Задание устного экзамена

1. На концах невесомого стержня длиной $2l$, который может свободно врашаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, укреплены два груза с массами $m_1=0,6$ кг и $m_2=2m_1$. В первоначальном положении стержень расположаются горизонтально, а затем был отпущен без начальной скорости. Найдите силу, с которой первый груз действует на стержень в тот момент, когда стержень оказывается в вертикальном положении.

2. Гладкая горка массы $M$ находится на гладком горизонтальном полу. На горку положили и отпустили берез толчка шайбу массой $m$. Отношение масс $n=m/M=0,6$. Указанные на рисунке 1 размеры: $H=1,3$ м и $h=0,5$ м. Каким будет расстояние от шайбы до горки в момент падения шайбы на пол?

3. Два тела прикреплены к концам нерастворимой нити, перекинуто через легкий блок (рис. 2). Первое лежит на шероховатой поверхности, второе высит на нити. Если телам сообщить неокоторую скорость, только второе