[О бумажных звёздочках]

20

99/70 приближает $\sqrt{2}$ с точностью лучшей, чем 0,0001.

Пример 2. Расстоянием перiodичную цепную дробь
[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …].

Коротко ее можно записать так:
[2; $\overline{1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...}$].

Найдем число, которое она соответствует. Если это число обозначит через $\alpha$, то выполянется равенство (почему?)

$$\alpha = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|2+a|}$$

или, после преобразования,

$$\alpha = \frac{21+8\alpha}{8+3\alpha}$$

Отсюда следует, что $\alpha^2 = 7$, и, так как $\alpha > 2$, получаем $\alpha = \sqrt{7}$.

Легко видеть, что этим способом можно найти значение любой периодической цепной дроби.

Найлучшие приближения и цепные дроби

Найлучшим приближением к числу $\alpha$ называется дробь $\frac{p}{q}$ ($q > 0$) такая, что

$$|q' \alpha - p'| > |q \alpha - p|$$

для всех $1 \leq q' < q$ и всех $p'$. Справедливая

Теорема. Всякое найлучшее приближение к $\alpha$ есть подходящая дробь $\alpha$; при $k > 1$ верно и обратное, то есть любая подходящая дробь $\frac{p_k}{q_k}$ при $k > 1$ доставляет найлучшее приближение к числу $\alpha$.

Доказательство этой теоремы несложно, и мы предоставляем его читателю. (Если же трудно окажать непреодолимыми, то можно обратиться к книге С. Ленга «Введение в теорию диофантовых приближений» (M., Мир, 1970).

Эквивалентность чисел

Два числа $\alpha$ и $\beta$ называются эквивалентными, если

$$\alpha = \frac{a\beta + b}{c\beta + d},$$

где $a, b, c, d$ — целые и $ad - bc = 1$ или — 1.

Обозначим через $\sigma$ и $\sigma_k$ (где $k$ — целое) операции, определяемые следующим образом:

$$\sigma \alpha = \frac{1}{\alpha}, \quad \sigma_k \alpha = k + \alpha.$$

Ясно, что, применяя $\sigma$ и $\sigma_k$ к числу $\alpha$, мы всегда получаем эквивалентное число. Ясно также, что применение операций вида

$$\sigma \sigma_k \alpha = \frac{1}{\alpha + k}, \quad \sigma_k \sigma_\alpha = k + \frac{1}{\alpha} = \frac{k\alpha + 1}{\alpha}$$

также дает пример эквивалентных числу $\alpha$ чисел.

Задание

7. Докажите, что если $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны, то найдет цель числа $k_1, k_2, \dots, k_j$ также, что $\beta = \sigma_k1 \sigma_k2 \dots \sigma_kj \alpha$.

8. Пусть числа $\alpha$ и $\beta$ имеют одинаковое разложение в цепную дробь, начиная с некоторых номеров $k$ и $S$, то есть

$$\alpha = r_0 + \frac{1}{|r_1|} + \frac{1}{|r_2|} + \dots + \frac{1}{|r_k|} + \frac{1}{|d_1|} + \frac{1}{|d_2|} + \dots,$$

$$\beta = h_0 + \frac{1}{|h_1|} + \frac{1}{|h_2|} + \dots + \frac{1}{|h_s|} + \frac{1}{|d_1|} + \frac{1}{|d_2|} + \dots$$

Докажите, что тогда числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны.

9. Докажите, что если числа $\alpha$ и $\beta$ эквивалентны, то их цепные дроби имеют вид (3).

(Продолжение в следующем номере)

Наша обложка

Бумажные звездочки, показанные на первой странице обложки, — не просто декоративный сюжет к Первоーマйском празднику. Они связаны с математикой, причем с развитиями ее разделами. С одной стороны — это модель из звездчатых многогранников, о которых уже писалось в «Кванте» (1973, № 5, с. 26), и поэтому они относятся к теории симметрии в пространстве (геометрия, теория групп). С другой стороны, эти звездочки соприкасаются с теории узлов (см. «Кванте», 1975, № 7, с. 6 или 1981, № 3, с. 8) и с так называемой теории

кос. В теории кос алгебраических методами изучаются приемы сплетения кос извервок или полосок, а наши звездочки как раз и сплетены из бумажных полосок. О том, как это делается, мы рассакjem в одном из ближайших номеров журнала.

О. М.