Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

53

Практикум абитурента

Ниже публикуются материалы вступительных экзаменов вузы в 1982 году.

Ленинградский государственный университет
им. А. А. Жданова

Matematika
Письменный экзамен
Вариант 1
(mатематiko-механический факультет и факультет прикладной математики — процессов управления)

1. При каких $a$ системы уравнения
   $$\begin{cases} y = \sin(a + \pi x) + \sin(a - \pi x) \\ 3 \sin a = \frac{1}{1 + y^2} \left( \frac{3}{2} + x + \frac{1}{2x^2} \right) \end{cases}$$
   имеет единственное решение в области $x \in \left[ 1; \frac{3}{2} \right], y \in \left[ -\infty; 0 \right]$?

2. Решите уравнение
   $$2(\sin 3x + \cos x) = (\sin x + \cos x)^2 + (\sin 2x + \cos 2x)^2.$$

3. Решите неравенство
   $$\cos x + \sqrt{2 + \cos x} \leq 0.$$

4. В выпуклом пятугольнике $ABCDE$ с единными сторонами середины $P, Q$ сторон $AB, CD$ и $S, T$ сторон $BC, DE$ соединены отрезками $PQ$ и $ST$. Пусть $M$ и $N$ — соединены отрезков $PQ$ и $ST$. Найдите длину отрезка $MN$.

5. Дан куб $ABCDA'B'C'D'$ с ребрами длины $a$. На ребре $AA'$ взята точка $E$ так, что $|AE| = \frac{1}{4} a$. Найдите объем пирамиды, у которой вершина совпадает с точкой $A'$, а основанием служит сечение, проходящие через точки $D, E$ и середину ребра $BB'$.

Вариант 2
(физическая факультет)

1. Стрелок из лука стоит на берегу над отрезным объёмом, высота которого равна $H$. Вектор начальной скорости стрелы составляет угол $a$ с горизонтом и по вершине равен $v$. Через какое время $T$ после начала полета стрела оказется на высоте $h$ над водой? Размерами стрелы и ростом стрелка пренебречь.

2. При каком $x$ функция
   $$f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{4} + x}}} + \sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{3 + \sqrt{4} - x}}}$$

принимает наиболее значение?

3. Укажите отрицательные корни уравнения
   $$\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin 2x} + \frac{1}{\sin 4x} = 0,$$
   удовлетворяющие неравенству
   $$x^3 + 5x^2 - 3x - 3 > 0.$$

4. Вычислите величины tg 37°30′.

5. В правильной четырехугольной прямиле стороны основания равны $a$, боковое ребро образует с плоскостью основания угол $a$. В эту прямую вписан куб так, что четыре его вершины лежат на апофах прямиды, а основание принадлежит основанию прямиды. Найдите объем куба.

Вариант 3
(химический факультет)

1. Смешав по 2 см$^3$ трех веществ, получили 16 г смеси. Известно, что 4 г второго вещества занимают объем на 0,5 см$^3$ больший, чем 4 г третьего вещества. Найдите плотность третbero вещества, если известно, что масса второго вещества в смеси вдвое больше массы первого.

2. Высота прямого треугольника, опущенная на гипотенузу, равна $h$. Какую наименьшую длину может иметь медана, делящая пополам больший катет?

3. Решите уравнение
   $$8 \sin^2 x + \sin 2x = 5.$$

4. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 3^x - 2^{y^2} = 77 \\ \frac{x}{3} - \frac{y^2}{2} = 7. \end{cases}$$

5. Решите уравнение
   $$13^{\frac{x}{13}} + 13^{\frac{x}{13}} - 1 + \dots = 15^{2x} + 15^{2x} - 1 + \dots$$

Вариант 4
(экономический факультет и факультет психологии)

1. При свечи имеют одинаковую длину, но разную толщину. Первая свеча былааженна на один час раныше других, зажженных одновременно. В некоторых моментах первая и вторая свеча стали одинаковой длины, а через два часа после этого одинаковой длины стали первая и третья. За сколько часов сторонапервая свеча, если вторая стороназа 8 часов, а третья — за 12 часов? Предполагается, что скорости сторонасвечей не зависит от продолжительной горения.

54

2. Решите систему уравнения
   $$\begin{cases} \log_{|xy|} (x^2-y^2) = 1 \\ \log_{|xy|} (x-y) = 0. \end{cases}$$

3. Выразите величины lg 640 через величины $a = \lg 62,5$.

4. Найти количество корней уравнения $3x^4 + 8x^3 - 6x^2 - 24x - 10 = 0$ на промежутке [0; 3].

5. Найменный из углов прямогольного треугольника равен $a$. Через середину меньше катаета и середину гипotenузы проведен круг, касательный к гипotenузе. Найти отношение площадей круга и треугольника.

Физика
Писменный экзамен
Физический факультет
Вариант 1

1. Клиин, наклонная поверхность которого образует угол $\alpha$ с горизонтом, может перемещаться поступательно по горизонтальной поверхности (рис. 1). С какой силой $F$ следует тяннуть за нить в горизонтальном направлении, чтобы брусок перемещался вверх по клину? С какими ускорениями будут движаться при этом брусок и клин? Масса клина $M$, масса бруска $m$. Тренем, массой нити и массой блока претензь.
2. Нагреваяся или охлаждается газ, расширяющийся по закону $pV^2 = const$?
3. Собрана электрическая схема, показанная на рисунке 2. Как изменится показание волтметра, если ключ $K$ разомкнут? Сопротивление волтметра считать бесконечно большим.
4. На пути плоской монохроматической волны поставлен экран, в точке $A$ которого помещен индикатор, регистрации энергии излучения, приносимую в единицу времени на единицу площади экрана. Во сколько раз изменится показание прибора, если перед экраном на расстоянии $L$ от него помещить собирающий линзу так, чтобы точка $A$ лежала на ее главной оптической оси (рис. 3)? Постройте графики зависимости искомой величины от $L$ при фиксированном фокусном расстоянии линзы $F$ и от $F$ при фиксированном $L$. Потерями энергии в лице претензь.
5. Теоретический вопрос. Трансформатор. Передача и распределение электрозергини.

Вариант 2

1. Шар массы $m$ налетает со скоростью $v$ на неподвижный шар массы $M$ по линии, соединяющей их центры. После удаляемого скорости первого шара становится вдвоем меньше по сравнению с первоначальным. Найти отношение суммарной кинетической энергии обиххаров после удаляка к первоначальной кинетической энергии налетационного шара.
2. Один mole одноатомного идеального газа изхорическая охлаждается так, что его давление уменьшается в $n$ раз. Затем газ изобарическая расширяется так, что его объем возрастает в $n$ раз. Определите число $n$, если известно, что сообщенное газу при этих переходах суммарное количество теплоты в два раза меньше его первоначальной внутренней энергии.
3. Собрана электрическая схема, изобраенная на рисунке 4. Как изменится показание амperметра, если ключ $K$ замкнут, то есть соединить накоротко точки $A$ и $B$?
4. Луччи от Солнца падают на небольшое плоское зеркало прямогольной формы и после отражения попадают на экран, куда не падают приемые солнечные лучи. Какую форму имеет освещенное пятно на экран?
5. Теоретический вопрос. Понятие о волновых и квантовых свойствах света.
   Задание устного экзамена
   Matематик-механический факультет, факультет прикладной математики — процессов управления, химический и геологический факультеты
6. По деревянным скодям, образующим угол $\alpha$ с горизонтом, вставивот за вервку ящик. Чему равен коэффициент треня ящика о сходии, если наименьшее усилие, необходимое для этого, получается, когда вервка образует угол $\beta$ с вертикалью?
7. На тело массы $m$ в течение времени $t$ действует постоянная сила $F$, направленная горизонтально. Коэффициент треня тела о горизонтальном поверхности, на которой оно лежит, равен $\mu$. Какой путь пройдет тело до остановки?
8. Две звезды с массами $m_1$ и $m_2$ движут так, что расстояние между их центрами остается неизменным. Определите характер движения звезд (траекторию, скорость, ускорение), пребеггая их взаимодействием с другими небесными телами.
9. Воздум массой $m=2\mathrm{kg}$ находится в цилиндре, закрытом подвижным поршнем. Какая работа будет совершена при изобарном нагревании воздуха на $\Delta T=100$ K?
10. Один mole водорода нагревается при постоянном давлении. Какое количество теплоты необходимо сообщить водороду, чтобы его объем удировался? Какая работа будет при этом совершена газом?