На пальцах и в уме

40

На пальцах и в уме

Р. Ш. ДАНЕЛия

В детстве для сложения чисел мы все пользовались вычислительной машиной, устройной самой природой — десятью пальцами. Оказывался, этим же «прибором» можно пользоваться и при умножении чисел. Покажем, как «на пальцах» перемножить любые два числа от 6 до 10 включительно. Для этого пропумерем пальцы рук: миннец — 6, безымянный — 7, средний — 8, указательный — 9, большой — 10. Допустим, надо найти произведение 7×8. Для этого на левой руке загнем пальцы 6, 7, на правой — 6, 7, 8, затем количество загнутых пальцев обеих рук умножим на десять и прибавим произведение количества разрядных пальцев руки на количество разрядных пальцев левой: 5·10+2·3=56.

Поппражнявшись немного или научив этому нехитрому искусству младшего брата, еще плюхо знающего таблицу умножения, вы задно можете проверить, что этот способ умножения всегда дает правильный результат. Почему?

Искомое число — это произведение ab, где 6≤a≤10, 6≤b≤10. Ясно, что на левой руке загнуто a—5 пальцев, а на правой b—5. Таким образом, количество разрядных пальцев равно a+b—10. На левой руке загнуто 10—a, на правой 10—b пальцев. Их произведение равно (10—a)(10—b).

Согласно высказанному, надо найти сумму:

(a+b—10)·10+(10—a)(10—b).

Раскрыв скобки, мы убедимся, что сумма действительного равна a·b, то есть

41

$$a \cdot b = (a + b - 10) \cdot 10 + (10 - a) \cdot (10 - b).$$

Таким образом, используемый нами метод умножения на пальцах обоснован.

---

Поглядев внимательно на то же действие (1), легко понять, что вместо числа 10 можно поставить любое число $m$, то есть

$$ab = (a + b - m)m + (m - a)(m - b).$$

Проверьте это! С помощью этого то жества можно быстро найти произведение двух таких чисел, у которых одно и то же число десяток, сотен, …

Рассмотрим примеры.

1. Вычислим произведение 16 · 17. В то жестве (2) возьмем $m = 20$. Тогда

$$16 \cdot 17 = (33 - 20) \cdot 20 + 4 \cdot 3 = 272.$$

2. Найдем произведение 42 · 44. Возьмем $m = 50$. Тогда

$$42 \cdot 44 = (86 - 50) \cdot 50 + 8 \cdot 6 = 1848.$$

Конечно, для $m$ можно быть и другие значения. Например, будет неплохо, если мы в качестве $m$ возьмем 40.

В этом случае мы имеем

$$42 \cdot 44 = (86 - 40) \cdot 40 + 2 \cdot 4 = 1848.$$

3. Чтобы найти произведение 121 · 103, в то жестве (2) возьмем $m = 100$. Тогда

$$121 \cdot 103 = (224 - 100) \cdot 100 + 21 \cdot 3 = 12463.$$

---

Возможно, вы знаете правило возвления в квадрат двухчанных чисел, оканичивающих на 5. Для того чтобы найти $(10x + 5)^2$, достаточно цифру $x$ умножить на число, следующее за ним, и к получению произведение прибавить 25. Например,

$$35^2 = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 25 = 145.$$

Это правило является следствием равенства

$$(10x + 5)^2 = 10x(x + 1) + 25,$$

которое, в свою очередь, — частный случай тожества (2).

---

Наконец, рассмотрим случай, когда $a = 10x + y$, $b = 10x + z$. Тогда мы имеем

$$(10x + y)(10x + z) = x(10x + y + z)10 + yz.$$

Если $y + z = 10$, мы получим тожество, подобное тожеству (3):

$$(10x + y)(10x + z) = 100x(x + 1) + yz.$$

На основе этого можно формулировать следующее правило: чтобы найти произведение двух чисел, число десятков которых одно и то же, а сумма единиц равна 10, необходимо число десятков умножить на последующее число и к получению числу приписать произведение единиц (если одно однозначно, перед ним приписывается 0). Например:

1. $48 \cdot 42; 4 \cdot 5 = 20, 8 \cdot 2 = 16; 48 \cdot 42 = 2016;$
2. $99 \cdot 91; 9 \cdot 10 = 90, 9 \cdot 1 = 09; 99 \cdot 91 = 9009;$
3. $102 \cdot 108; 10 \cdot 11 = 110, 2 \cdot 8 = 16, 102 \cdot 108 = 11016.$

Попражнявшись в этих примах умножения, вы научитесь быстро умножать в уме многое число. А если вы придумаете другие примеры, сокращающее умножение, — напишите нам.