Московский институт стали и сплавов

57

Вариант 2

1. Докажите точность
   $$\sin \alpha - \sin (\alpha + \beta) + \sin \beta = 4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\beta}{2}.$$
2. Решите уравнение
   $$|3x - 2| + x = 11.$$
3. В правильную четырехугольную парамиду вписан шар, радиус которого равен $r$. Найдите объем парамиды, если боковая грань составляет с плоскостью основания угол ф.
4. Сумма первых $n$ членов последовательности вычисляется по формуле $S_n = \frac{2n^2 + n}{2}$. Докажите, что последовательность является арифметической прогрессей и найдите ее двадцатый член.
5. Найдите точки экстремума функции $y = 4x \cdot e^x - 4e^x - x^2 + 2$.

Задание устного экзамена

1. Вычислите tg 510°.
2. При каких значениях числа $x$ числа $\frac{1}{x+2}, \frac{1}{x+1}, \frac{1}{x-1}$ являются первыми треями членами арифметической прогрессии? Найдите пятидесный член этой прогрессии.
3. Решите уравнение
   a) $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$;
   b) $x + \sqrt{4x-3} = 6$;
   b) $3 \cos 2x + 8 \sin^2 x = 7 \sin x$.
4. При каких значениях $a$ уравнение
   $$ax^2 - (4a+1)x + 5a + 2 = 0$$
   имеет единственный корень?
5. Построите график функции
   a) $y = \log_2(4^x)$;
   b) $y = |\lg|x - 1|$;
   b) $y = 2 \sin |x - \frac{\pi}{4}|$.
6. Является ли функция
   $$y = \frac{1}{5} x^5 + \frac{2}{3} x^3 + 5x - \frac{1}{15}$$
   возрастющей?
7. Найдите точки экстремума функции
   $$y = 2x\sqrt{x} + 3x - 12\sqrt{x} + 1$$.
8. Является ли точки $A$ (1; 2; 4), $B$ (2; 4; 3), $C$ (3; 3; 2), $D$ (4; 5; 1) вершинами параллелограмма?

Физика
Задание устного экзамена

1. Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте $h$ от поверхности Земли (радус Земли $R_3$),Prevышает период обращения спутника на околоземной орбите ($h=0$)?
2. Сферические сосуды объемов $V_1 = 200$ см$^3$ и $V_2 = 100$ см$^3$, наполненные кислородом при температуре $t = 27^\circ C$ под давлением $p_0 = 760$ мм pt. ст., соединены трубкой, внутри которой находится теплопозилированная пористая перегородка, обеспечивающая одинаковость давления в сосудах. Затем первый сосуд нагревается до температуры $t_1 = 100^\circ C$, а второй — охлаждается до $t_2 = 0^\circ C$. Пренебрегая тепловым расшириением сосудов, определяйте установившееся в системе давления.
3. При резистора, обладающей сопротивлениями $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = 6$ Ом и $R_3 = 1,5$ Ом, соединены по типу «звезды» и включены в цель построенного электрического тока, создавшего батареей с напряжением $U = 6$ В. Пренебрегая сопротивлением подводящих проводов, найдите силу полного тока, протекающего через батарею, и силы токов в каждой резисторе. Какие еще параметры цепи можно определить?
4. Водолаз ростом $a = 1,5$ м, стоящий на горизонтальном дне водоема, видит отраженную от поверхности воды часть дна, расположенную от него на расстоянии большем $s = 15$ м. На какой глубине находится водолаз, если показатель предомления воды $n = 1,33$?

Публикация подготовили
В. А. Винокуров, С. И. Мецков, А. А. Симонов

Московский институт
стали и сплавов

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$9^{x-1} = 8 \cdot 3^{x-2} + 1$$.
2. Решите неравенство
   $$1 - \lg x > \lg (x-3)$$.
3. Решите уравнение
   $$\text{ctg} x - \text{tg} x = 4 \cos 2x$$.
4. Треугольник $ABC$ врашает вокруг оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через вершину $A$ параллельно биссертрисе угла $ABC$. Найдите объем и площадь полной поверхности тела врашения, если $|AB| = 3, |AC| = 5, |BC| = 6$.
5. В замкнутую фигуру, ограниченную графиком функции $y = 27 - 6x - x^2$ и осью абсцисс, вписан прямоугольник набольшей площади так, что две вершины прямого угла на графике функции, а две другие — на оси абсцисс. Найдите координаты вершин и площадь прямого угла на графике функции.

Вариант 2
(примерный вариант на предстоящих экзаменах в 1983 г.)

1. Вычислите без таблиц
   $$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}: ((\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}))$$.
2. Решите уравнение
   $$2x + \sqrt{3x - 2} = 3.$$

58

3. Найдите число цельх решений неравенства
   $$5 + \frac{17}{x-2} < \frac{2}{x+3}.$$

4. Решите уравнение
   $$\log_5 x + \log_5 (x-4) = 1.$$

5. В равноведренной трапеции даны длины оснований 21 и 9 длина и высоты 8. Найдите радиус описанной окружности.

6. Найдите сумму квадратов наибольшего и наименьшего значений функции $y = x^3 - 3x^2 + 3x + 2$ на отрезке [-2; 2].

7. Определите число решений уравнения $(1 + \cos x) \text{ ctg } x = \sin 2x$.
   на промежутке $] - \frac{3}{2}\pi; \frac{\pi}{3}$.

8. Сумма треугольной прямоугольника 8. Найдите сумму первых 11 членов этой прогрессии.

9. Найдите $f'(\frac{\pi}{4})$, если $f(x) = \sqrt{2} \sin^3 x$.

10. В треугольной прямоугольнике $ABCD$ грани $ABC$ и $BCD$ — правильные треугольники. Угол между этих гранями равен $\phi$. При каком значении $\phi$ полная поверхность прямых будет наибольшей? В ответе напишите не $\phi$, а $\frac{1}{\cos \phi}$.

Физика

В 1982 году вступительное экзамены по физике в МИСИС проводились в письменной форме. Каждый абитурент предлагался отдельный вариант, содержащий десять задач по различным разделам физики. Результаты работ обработывались на ЭВМ.

Вариант

1. Материальная точка движения прямолинейного из точки $A$ в точку $B$. Первую половину пути точка движения со скоростью $v_1 = 20$ м/c, а вторую половину — со скоростью $v_2 = 30$ м/c. Определите среднюю скорость $v$ движения точки на участке $AB$.

2. Два бруска с массами $m_1 = 1$ кг и $m_2 = 2$ кг соответственно нахождения горизонтальной поверхности и связанных между собой несовомой и нерастяжимой нитью, способной выдержать максимальное разрывное число $F = 5$ Н. Определите максимальное силу $F_M$, с которой можно тянуть за брусок массы $m_2$ вдоль прямой, являющейся продолжением нити, что эта нить не оборвалась. (Тренне между брусками и поверхностью отсутствует.)

3. Небольшое плоское тело начинает движаться вверх по накладной плоскости с начальной скоростью $v_0 = 10$ м/c. Определите расстояние $l$, которое пройдёт тело по накладной плоскости до полной остановки, если угол накладна плоскости к горизонту $\alpha = 30^\circ$, а коэффициент трення между телом и поверхностью накладной плоскости $\mu = 0,6$.

4. В узкой стеклянной трубке, один конец которой запаян, находится воздух, запертый столиком рути닐 длиной $l = 20$ см. Когда трубка стоит вертикально открыть конец вверх, то объем воздуха под стольником рути닐 равен $V_1 = 1,5$ см$^3$. Какой объем $V_2$ займет запертый воздух при горизонтальном положении трубки, если атмосферное давление $p_a = 750$ мм рт. ст., а температура воздуха постоянна?

5. Свинцовая пуля, летящая со скоростью $v = 300$ м/c, ударяется о стальную плиту и оставливается. На сколько градусов $\Delta t$ увеличивается при этом температура пуля, если $\alpha = 40\%$ ее кинетической энергии пошло в момент удара на нагревание плиты и окружащего воздуха?

6. Два точечных заряда $q_1 = 3,2 \cdot 10^{-10}$ Кл и $q_2 = 8 \cdot 10^{-12}$ Кл находится в вакууме на расстоянии $r_1 = 72$ см. Какую работу $A$ надо совершить, чтобы слизить их до расстояния $r_2 = 32$ см?

7. Плоский воздушный конденсатор, имеющий расстояние между обкладками $d_1 = 1$ см, заряды до разности потенциальов $U_1 = 100$ В, а затем отключили от сети. Определите разность потенциальов $U_2$ между обкладками конденсатора, если их развинули до расстояния $d_2 = 2$ см.

8. Нагреватель электрического чайника состоит из двух спиралей одинакового сопротивления. При параллельном соединении спиралей и включении их в сеть вода в чайнике закипает через $t_1 = 3$ мин. Через какое время $t_2$ закипит вода, имеющая ту же массу и такую же начальную температуру, если спирали нагревателя соединить последовательно и включить в ту же сеть?

9. На горизонтальное.do резервуара опирается вертикальной стержень длиной $l = 2$ м, полностью покрытый водой с показателем прополимения $n_B = 1,33$. Определите длину тени $x$ от стержня на дне резервуара, если на поверхности воды падают лучи Солнца под углом $\alpha = 30^\circ$.

10. Поверхность калия обладает потоком монохроматического света с длиной волны $\lambda = 0,331 \cdot 10^{-6}$ м. Определите скорость $v$ электронов, вырываемых с поверхностями калия, если работа выхода электрона $A_B = 2,2$ эВ.

Публикацию подготовили
В. Г. Разумейко, А. Г. Токаев

59

Интерференция волн

1. $d_{\min} = \frac{c}{4\sqrt{n-1}} = 2$ см.
2. $l \sim \cos^2 \left( \frac{2\pi}{l} \Delta L \right)$, где $l = \frac{cL^2}{2\sqrt{h_2-h_1}} \times \frac{1}{(2h_0+h_1+h_2)} = 180$ м — расстояние, на котором фаза колебаний изменяется на $2\pi$ (расстояние $h_0$ можно найти из рисунка 1:
   $$h_0 = R_3(1-\cos \alpha) \approx \frac{R_3\alpha^2}{2} \approx \frac{R_3}{2}\left(\frac{L}{2R_3}\right)^2 \approx 80 \text{ км}.$$
   Рис. 1.
3. $U \sim \cos \frac{\pi L \sin \omega t}{\lambda} \sim \cos \frac{\pi L \omega t}{\lambda} \sim \cos \frac{2\pi}{T} t$, где $T = \frac{2\lambda}{L\omega} \approx 2,3$ мин ($\omega$ — угловая скорость вращения Земли).

Ленинградский государственный университет им. А. А. Жданова

Математика
Вариант 1

1. $a \in \left[ \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5}{6} \pi + 2\pi k \right] (k \in \mathbb{Z})$. Решение. Данная система равносильна системе
   $$\begin{cases} y = 2 \sin a \cdot \cos \pi x \\ (4 \sin^2 a \cdot \cos^2 \pi x + 1) \sin a = \\ = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{2} + x + \frac{1}{2x^2} \right). \end{cases}$$
   Поскольку $\cos \pi x \leq 0$ при $x \in \left[ 1; \frac{3}{2} \right]$, система (1) имеет в рассматриваемой области единственное решение тогда и только тогда, когда $\sin a > 0$ и второе уравнение системы имеет единственное решение на промежутке $[1; \frac{3}{2}]$.

При возрастинии $x$ от 1 до $\frac{3}{2}$ функция, стояшая в левой части этого уравнения, убивает от $\sin a + 4 \sin^3 a$ до $\sin a$, а функция, стояшая в его правой части, возрастиет от 1 до $1 \frac{2}{27}$. Поэтому исследуемое уравнение имеет на $[1; \frac{3}{2}]$ единственное решение тогда и только тогда, когда $4 \sin^3 a + \sin a \geqslant 1$ (рис. 2). Функция $4z^3 + z - 1$

Рис. 2.
возрастиет на $R$ и обращается в 0 при $z = \frac{1}{2}$. Следовательно, $4 \sin^3 a + \sin a \geqslant 1 \Leftrightarrow \sin a \geqslant \frac{1}{2}$.
2. $x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3} \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
3. $x = \pi + 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$. Указание. Уравнение равносильно системы
$$\begin{cases} 2 + \cos x \leq \cos^2 x \\ \cos x \leq 0. \end{cases}$$
4. $\frac{1}{4}$. Указание. $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}$. Выразите $\overrightarrow{AN}$ и $\overrightarrow{AM}$ через $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DE}$.
5. $\frac{1}{4} a^3$. Указание. Пусть $F$ — середина ребра $BB'$, $S$ — четвертая вершина сечения. Пирамида $A'DEFS$ является объедининием двух парами одинакового объема с вершиной $S$ — парами $SA'ED$ и парами $SA'EF$.

Вариант 2

1. $T = \frac{1}{g} (v \sin a + \sqrt{v^2 \sin^2 a - 2g(h - H)})$ при $h < H$, $T = 0$ при $h = H$ и $a \leqslant 0$, $T = \frac{1}{g} (v \sin a \pm v \sin a)$ при $h = H$ и $a > 0$, $T = \frac{1}{g} (v \sin a \pm \sqrt{v^2 \sin^2 a - 2g(h - H)})$ при $H < h < H + \frac{1}{2g} v^2 \sin^2 a$ и $a > 0; T = \frac{1}{g} v \sin a$ при $h = H + \frac{1}{2g} v^2 \sin^2 a$ и $a > 0;$ при $h > H$, $a \leqslant 0$ и при $h > H + \frac{1}{2g} v^2 \sin^2 a$, $a > 0$ решений нет. Указание. В системе координат, показанной на рисунке 3, стрела в момент $t$ будет

60

находиться в точке с координатами $(vt \cdot \cos \alpha; vt \cdot \sin \alpha - \frac{1}{2} gt^2)$. Искомое время $T$ есть неотрицательный корень уравнения $vT \cdot \sin \alpha - \frac{T}{2} gT^2 = h - H$.

2. 0. Указание. $f'$ — нечетная функция.

3. $x = \frac{2\pi}{7} k (k = -1, -2, -3, -4, -5, -6)$.

4. $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{-1 + 2\sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$. Указание. $tg \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}$.

5. $\frac{a^3 tg^3 \alpha}{(1 + tg \alpha)^3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}$. Указание. Достаточно нарисовать сечение парамиды плоскостю SOCK (S — вершина парамиды, O — основание ее высоты, K — середина одной из сторон основания).

Вариант 3.

1. $4 \frac{\Gamma}{CM^3}$.

2. $\frac{3}{2} h$.

3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, x_2 = -\arctg \frac{5}{3} + \pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

4. $\{ (4; \sqrt{2}), (4; -\sqrt{2}) \}$.

5. $\left\{ \log_{\frac{13}{\sqrt{13}}} \frac{1350}{1183} \right\}$.

Вариант 4

1. 16 ч.

2. $\left\{ \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \right), \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) \right\}$.

3. $\frac{11 - 3a}{2}$.

4. 1. Указание. Постройте график.

5. $\frac{\pi}{8} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin^3 \alpha}$.

Физика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. На рисунке 4 показаны силы, действующие на брусок (красным цветом) и на клин (синним цветом). Обозначив проекции ускорения бруска $\vec{a}_6$ на горизонтальное и вертикальноеное направление через $a_x$ и $a_y$, а проекцию ускорения клина $\vec{a}_k$ на горизонтальное направление через $a$, получим

$$F \cos \alpha - N \sin \alpha = ma_x,$$
$$F \sin \alpha + N \cos \alpha - mg = ma_y,$$
$$F - F \cos \alpha + N \sin \alpha = Ma.$$

При этом

$$a_y = (a_x - a) tg \alpha.$$

Решая совместно систему четырех уравнений, найдем

$$a = \frac{F(1 - \cos \alpha) + mg \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{M + m \sin^2 \alpha},$$

$$a_x = \frac{F(m \sin^2 \alpha + M \cos \alpha) - Mmg \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{m(M + m \sin^2 \alpha)},$$

$$a_y = \frac{F \cos \alpha (M + m (1 - \cos \alpha)) - mg (M + m) \sin \alpha \cdot \cos \alpha}{m(M + m \sin^2 \alpha)} tg \alpha.$$

Для того чтобы брусок перемещался по наклонной поверхности клина вверх, нужно выполнение следующих условий:

$$a_x \geqslant a, N \geqslant 0.$$

Отсюда, использую предыдущие соотношения, приdem к неравенству

$$\frac{m(M + m) \sin \alpha}{M + m (1 - \cos \alpha)} g \leqslant F \leqslant \frac{M \cos \alpha}{(1 - \cos \alpha) \sin \alpha} g.$$

Нетрудно убедиться в том, что полученные выражения дают правильные значения в предельных случаях: a) $M \rightarrow \infty$, b) $a \rightarrow 0$ и b) $a \rightarrow \pi/2$, когда задача становится тривиальной и ответ может быть написан неопределенно.

2. Онозначного ответа дать нельзя, так как данные задачи для этого не достаточно.

a) Если предложить, что газ идеальный и масса его не меняется, то температура газа должна уменьшаться. Это непредсказывано следует из уравнения состояния и заданого закона расшириния газа.

b) Если газ идеальный, но масса его меняется, то возможно варенение состояния $pV = mRT/\mu$, получим

$$\frac{mVRT}{\mu} = \text{const.}$$

Отсюда видно, что $T$ зависит от величины $mV$. Если $mV$ растет, то $T$ убивает и наоборот. Если же $mV$ остается постоянной, то и температура не меняется.

b) Если газ не является идеальным, то при постоянной массе он может нагреваться.

61

Действительно, пусть уравнение состояния одного моля газа имеет вид $p(V-b) = RT$, где $b$ — некоторая постоянная, связанная с собственными размерами молекул газа. Тогда подстановка $p = RT/(V-b)$ в закон распределения газа дает

$$\frac{RTV^2}{V-b} = \text{const},$$

откуда следует, что температура газа будет расти, если $V^2/(V-b)$ при расширенении убывает. Нетрудно показать, что так будет при $V < 2b$ (отметим, что $V$ всегда больше $b$).

3. Вольтметр, подключенный к закимам второго источника, показывает напряжение

$$U_2 = \mathcal{E}_2 - Ir_2,$$

где $I = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R}$.

Если ток $I$ в цепи меньше тока короткого замыкания второго элемента $I_2 = \mathcal{E}_2/r_2$, то $U_2 > 0$ и при размыкании ключа волтметр показет ЭДС второго элемента $\mathcal{E}_2$. Если $I > I_2$, то $U_2 < 0$. Это значит, что при размыкании ключа волтметр дает отброс в противоположную сторону. При этом прибор с нулем посредние шкалы показет напряжение, равное $\mathcal{E}_2$. Если при замкнутом ключе волтметр показывает нуль (в этом случае $I = I_2$), то при размыкании ключа волтметр с нулем посредние шкалы показет $\mathcal{E}_2$, только дает отбросы в разных напряжениях.

4. В приближениях геометрической оптики искомая величины

$$\alpha = \frac{F^2}{(L-F)^2},$$

независимо от того, какая из величины $F$ и $L$ больше. Графики зависимости $\alpha = \alpha(L)$ и $\alpha = \alpha(F)$ имеют вид, показанный на рисунке 5.

Рис. 5.

В действительности линза фокусирует параллельные лучи не в точку, а дает так называемое диффрационное пятно. Поэтому, если размеры индикатора меньше размеров диффрационного пятна на экране при $L \rightarrow F$, то разрывов на графиках не будет. Если же размеры индикатора больше размеров диффрационного пятна, то для ответа на вопрос необходимо знать, как работает индикатор в случае, когда освещена только часть его поверхности.

Вариант 2

1. a) Рассмотрим случай, когда после удаления шар продолжает движется в том же направлении, что и до удала. По закону сохранения импульса имеем $mv = mv/2 + MV$, и поскольку скорость шара массы $M$ после удаления $V \geq v/2$, то $m \geq M$. Очевидно, что при $m = M$ удал абсолотно неупругий и после удала шары движется вместе со скоростью $v/2$. Отношение кинетической энергии после удала к первоначальной равно

$$\alpha = \frac{m(v/2)^2/2 + MV^2/2}{mv^2/2} = \frac{1}{4} \left( 1 + \frac{m}{M} \right).$$

Максимальное значение $\alpha = 1$ достигается при абсолотно упругом удале, откуда получаем, что $m \leq 3M$. Минимальный значение $\alpha$ соответствует расстоянный выше абсолотно неупругий удале, при котором $\alpha = 1/2$. Итак, расстоянный случай возможен, когда $M \leq m \leq 3M$; при этом $1/2 \leq \alpha \leq 1$.

6. Пусть после удала шар массы $m$ движется в противоположном направлении. Тогда $mv = -mv/2 + MV$, откуда $V = 3mv/(2M)$ и $\alpha = \frac{1}{4} \left( 1 + 9 \frac{m}{M} \right)$.

Очевидно, что $m > 0$, поэтому $\alpha > 1/4$. При $m = M/3$ (абсолотно упругий удале) $\alpha = 1$. Итак, $1/4 < \alpha \leq 1$ при $0 < m \leq M/3$.

2. Ответ: $n = 4$. Указание. Из условия задачи вытекает, что температура газа в конечном состоянии такая же, как и в начальном. Следовательно, такой же остается и внутренняя энергия газа, а все подведенное количество теллоты идет на совершение работы по распределению газа.

3. Качественный понятие, что показания амператора могут и увеличиться, и уменьшиться. Например, при $\mathcal{E}_2 \approx 0$ ток в цепи возрастет, так как при замыкании ключа просто закорачивается часть цепи. При $\mathcal{E}_1 \approx 0$ ток в цепи после замыкания ключа практически образуется в нуль.

Теперь получим аккуратное решение. До замыкания ключа ток в цепи равен

$$I = \frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R},$$

а после замыкания —

$$I' = \frac{\mathcal{E}_1}{r_1 + R}.$$

Пусть ток $I$ меньше тока короткого замыкания второго элемента $I_2 = \mathcal{E}_2/r_2$:

$$\frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R} < \frac{\mathcal{E}_2}{r_2}.$$

Тогда нетрудно показать, что $\mathcal{E}_2 > \frac{\mathcal{E}_1}{r_1 + R}$, или $\frac{\mathcal{E}_1 + \mathcal{E}_2}{r_1 + r_2 + R} > \frac{\mathcal{E}_1}{r_1 + R}$, то есть ток в цепи после замыкания ключа уменьшится. При обратном неравенстве, когда $I > I_2$, ток в цепи увеличится. Если же выполняется равенство $I = I_2$, ток в цепи не изменится.

4. Зеркало играет двойную роль. Во-первых, оно ограничивает пучок солнечных лучей, образующих пятна на экране (подносно диффрационное пятна, то для ответа на вопрос неисуществен). Поэтому достаточно расстоянного пятна изменение направления лучей при их отражении неисуществен. Поэтому достаточно расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неисуществен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Поэтому необходимо расстоянного пятна изменение лучей при их отражении неиспользовен. Therefore, it is necessary to provide information to the user, who is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is interested in the form of a response, and the user is tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the user, tendered to the

62

Рис. 6.

и дает изображение отверстия, если экран близко. Рассмотрим подробно оба случая.
a) Пусть экран расположен близко к отверстию. В первом приближении Солнце можно считать точным источником S (рис. 6). Овсешенное пятно на экране — это центральная проекция отверстия на плоскость экрана. Центр проекции S расположен очень далеко, поэтому все лучи практические параллельны, а форма и размер освенено погтна совпадают с формуй и размерами отверстия. При наклоне нормали к плоскости экрана на угол β (относительно направления на Солнце) размер пятна в соответствиишем направлении увеличивается: $d' = d/\cos \beta$. При наклоне нормали к плоскости отверстия на угол γ размер пятна уменьшается: $d' = d \cos \gamma$. В обшем случае $d' = d \cos \gamma/\cos \beta$. Из-за конечности углового диаметра Солнца ($\alpha \approx 0,01$) границы теня от краев отверстия будут размыты. Ширина полутеня (рис. 7) $d'' = \alpha L$. Поэтому сказано выше справедливо при условии $aL \ll d$.

Рис. 7.

Подставляя $\alpha = 0,01$, получаем $L \ll 100d$. Если размер зеркала $d \sim 10$ см, то $L \ll 10$ м. Итак, этот случай реализуется, если расстояние до экрана от зеркала $L \ll 10$ м.
6) Пусть экран находится дальше от отверстия. Тогда отверстие в первом приближении можно считать точным, его форма поля не играет. Овсешенное пятно на экране — это изображение Солнца в так называемой камереобскруре. Она представляет собойечение кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом $\alpha$ при вершине, равным угловому диаметру Солнца. Если экран перепендикурен к оси конуса лучей, то пятно представляет собой круг диаметра $d' = \alpha L$. При наклоне экрана на угол $\beta$ этот круг превращается в элипис с большой осью $d'' = d'/\cos \beta = \alpha L/\cos \beta$. С увеличением размеров отверстия освенено правдает, но одновременно края его становятся более размытыми. Это размещение диаметра отверстия $d$. Поэтому этот случай реализуется, когда $d \ll \alpha L$, то есть $L \gg 100d$. Для экрана $c d \sim 10$ см $L \gg 10$ м.

Задачи устного экрана

1. $\mu = \text{ctg}(\alpha + \beta), \alpha + \beta < \pi/2$.

2. $s = \frac{F(F - \mu mg)}{2\mu m^2} t^2, F > \mu mg$.

3. Звезды движутся по окружности с общим центром в центре масс системы; центр масс может перемещаться с постоянной скоростью. Если расстояние между звездами $l$, то радиус окружности
   $$r_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}, r_2 = \frac{m_1 l}{m_1 + m_2}.$$
   Перiod обращения
   $$T = 2\pi \sqrt{\frac{l^3}{G(m_1 + m_2)}}$$
   одинаков у обених звезд. Скорости движения по окружности
   $$v_1 = \frac{2\pi r_1}{T}, v_2 = \frac{2\pi r_2}{T};$$
   ускорения —
   $$a_1 = \frac{v_1^2}{r_1}, a_2 = \frac{v_2^2}{r_2}.$$

4. $A = m/\mu R\Delta T$.

5. $Q = C_p T = (C_V + R) T, A = RT$, где $T$ — первоначальная температура газа.

6. $C_4 = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$; возможно еще физические непрерывные случаи: $C_3 = 0$ и $C_3 \rightarrow \infty$.

7. $Q_1 = \frac{CU^2}{4} \frac{R_1}{R_1 + R_2}; Q_2 = \frac{CU^2}{4} \frac{R_2}{R_1 + R_2}$.

8. $R_{\text{ш}} = 20 \text{ Ом}$.

9. При небольшей глубине погружения кажущая скорость в $n$ раз меньше истинной ($n$ — показатель преломления воды).

10. Увеличить в 9 раз.

Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

Matematika
Вариант 1

1. $a_1 = 2, q = 4$ или $a_1 = 512, q = \frac{1}{4}$.
2. $x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi l(k, l \in \mathbb{Z})$.
3. {1}.
4. ] — 2; — 1] $\cup [0; + \infty[$.
5. $\frac{4}{27} R^3$. Указание. Выразите объем призмы через $x = |SN|$ (обозначения см. на рис. 8).

Рис. 8.

Вариант 2

1. 10 км/ч, 30 км/ч.
2. $x = \frac{\pi}{4} k (k \in \mathbb{Z})$.