О математике гармонических колебаний

9

О математике гармоничческих колебаний

Кандидат физико-математических наук
А. П. ВЕСЕЛОВ

Колебания и волны являются основным, по представлению физика-теоретика, средством познания реального мира. Колебаться может все — любые предметы, между и газы; свет, звук, нервиные импульсы в конечном итоге является видами колебаний.

Академик С. П. Новиков

Мягкиеовые часы, океанские волны, качели, смена дня и ночи, сезонные изменения в природе — каждый из вас может добавить к этому списку массу других примеров колебательных явлений. Подобно многим эволюционным процессам *), они допускают описание на математическом языке дифференциальных уравнений. Среды дифференциальных уравнений, описывающих колебания той или иной

*)См. статью В. И. Арнольда в «Кванте» № 2 этого года.

инной системы, простейшим (а поэтому и важнейшим) является уравнение линейного осциллятора (от латинского oscillatio — колебания) (или гармоничского осциллятора, или гармоничских колебаний, или малых колебаний матрика):

$$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

Здесь $\ddot{x}$ обозначает вторую произведение $\ddot{x} = x''(t)$ по времени $t$ от функции $x = x(t)$, описывающей отклонение системы от положения равновесия, а $\omega^2$ — некоторый (разумется, положительный) параметр.

Мы рассекjem здесь, откуда и как получается уравнение линейного осциллятора — хотя десятиклассики уже знают об этом из курса физики («Физика 10», п. 4) — а затем займемся его исследованием с математической точки зрения.

Где появляется уравнение линейного осциллятора?

Где только это уравнение не появляется! Посудите сами.

1. Малые колебания матрика. Пусть на тонкой нерastяжимой нити длины $l$ подвешен грузик массы $m$, размерами которого (a со-

10

ответствие и сопротивление воздуха) можно пренебречь. Такая система называется математическим матриком. Рассмотрим его качания при небольших отклонениях нити от вертикали, то есть малых α (рис. 1). Обозначим через x длину дуги BA: x=lα (α — величина угла BOA в радианах). Тогда, разлагая силу тяжестии P=mg на две составляющие T и F (см. рис. 1), находим, что величина F равна mgsin α, а уравнение движения по закону Ньютона дает

$$m l \ddot{\alpha} = - mg \sin \alpha,$$

или

$$\ddot{\alpha} = - \frac{g}{l} \sin \alpha.$$

Получим (нелинейное) уравнение относительно отклонения α=α(t). Воспользовемся теперь малостью α, пределом lim (sin α/α)=1 и заменим в правой части sin α на α, то есть проведем линейизацию. В результате получим (линейное) уравнение вида (*) с ω=\sqrt{g/l}.

2. Тело наружное (рис. 2). При отклонении от положения равновесия на некоторое x тело испытывает по закону Гука со стороныружины силу F=-kx, где k — величина, называемая жесткостьюружины. Уравнение движения совпадает с () при ω=\sqrt{k/m}. Конечно же, и здесь выражение для силы (а значит, и уравнение ()) будет точным лишь для не очень больших отклонений от положения равновесия.

3. Колбательный контур (рис. 3), состоящий из конденсатора емкости C и индуктивности L. Заряд конденсатора q меняется при отсутствии активного сопротивления по закону L\ddot{q}+\frac{1}{C}q=0 («Физика 10», п. 15), что отвечает уравнению (*) для ω=1/\sqrt{LC}.

4. Сообщающееся сосуды. Если в трубке, имеющей форму буквы U (рис. 4), уровень жидкости (например, ртути) отклонить на некоторую величину от положения равновесия, то жидкость начинает поочередно подниматься (и опускаться) в каждом из вертикальных участков трубки. Если начальное отклонение мало (как и трене), отклонение x=x(t) уровня жидкости подчиняется уравнению (*).

5. Ареометр (рис. 5). Если этот прибор, использующий для измерения плотности жидкости, отклонить немного в глубину от положения равновесия, то он, вседствие закона Архимеда, начинает колбататься вверхиз. Эти колбания тоже достаточно точно описываются уравнения (*) (во всяком случае, пока не начинает сказаться трене).

Управление (для любительей физики). Найдите вывод уравнения (*) для предоследнего примера (4), выразив ω через подходящие параметры.

Что общего во всех приведенных примерах? Состояние системы описывается одним параметром x, который меняется около своего положения равновесия x=0; на системе действия сила F(x), зависит только от параметра x. В пренебрежении потенциал энергии изменение параметра, согласно второму закону Ньютона, имеет вид $\ddot{x}=F(x)$. При этом F(0)=0, поскольку x=0 — положение равновесия. Если у функции F(x) существует

11

СТВУЕТ НЕНУЛЕВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ В НУЛЕ: $F'(0) = \lim_{x \to 0} (F(x)/x) = a$, то для малых $x$ мы можем заменить правую часть $(F(x))$ на $ax$. При этом $a$ обязательно должно быть отрицательным, иначе никакие колебания в окрестности нуля невозможны! Таким образом, мы приходим к линейному уравнению (*), где $\omega = \sqrt{-a} = \sqrt{-F'(0)}$.

Указанная процедура линейизации, конечное же, приводит к неэквивалентному дифференциальному уравнению, которое тем не менееправильно описывает качественный картину движения влизации положенияравновесия. Этот обязывается универсально уравнением линейного осциллятора (*), а также его называние.

Существование и единственное решение

Как нетрудно проверить, уравнение (*) удовлетворяет функциях $x = \cos \omega t$ и $x = \sin \omega t$, а следовательно, и их линейные комбинации, то есть выражения вида

$$x(t) = a \cos \omega t + b \sin \omega t$$

(проверьте это!) *. Покажем, что другие решения у этого уравнения нет.

Воспользовемся тем, что в процессе движения сохраняется следующее величины

$$E = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \text{const}$$

(закон сохранения энергии).

В самом деле, $\dot{E} = \dot{x} \dot{x} + \omega^2 x \dot{x} = \dot{x} (\dot{x} + \omega^2 \dot{x}) = 0$, откуда следует, что $E = \text{const}$.

Рассмотрим теперь произведение уравнения (): $x = x_1(t)$ и его начальные данные $a = x_1(0)$ и $\beta = \dot{x}_1(0)$. Подберем коэффициенты $a$ и $b$ в выражении $x_2 = a \cos \omega t + b \sin \omega t$, так что $x_2(0) = a$, $x_2(0) = \beta$. Для этого достаточно положить $a = a$, $b = \beta/\omega$. Составим теперь разность $x(t) = x_1(t) - x_2(t)$, которое будет решением () (проверьте это). Ее начальные данные будут нулевыми: $x(0) = \dot{x}(0) = 0$. В силу закона сохранения энергии

$$E = \frac{1}{2} (\dot{x}^2 + \omega^2 x^2) = \frac{1}{2} (\dot{x}^2(0) + \omega^2 x^2(0)) = 0,$$

откуда $\dot{x}(t) \equiv x(t) \equiv 0$, то есть

$$x_1(t) \equiv x_2(t) \equiv \alpha \cos \omega t + \frac{\beta}{\omega} \sin \omega t.$$

Мы показали, что любое решение $x_1(t)$ имеет вид (**), где $a$ и $b$ однозначно определяются начальными данными: В процессе доказательства мы получили и формулу для решения через начальные данные.

Бег по кругу на фазовой плоскости

Обратим внимание на следующие обстоятельства, достойное удивления. В уравнения () совершенное неожиданным образом оказывается запрятано число $n$, хотя ни о какой окружности в постановке задачи речи не было. В самом деле, все решения уравнения () (за исключением $x(t) \equiv 0$) оказываись периодически функциями времени, причем произведение периода их на $\omega$ равно $2\pi$. Раз уж возникло число $n$, то попробуем поискать и окружность.

Где ее искать? Мы будем ее искать на фазовой плоскости, то есть на плоскости с координатами $(u; v)$, где $u = x$, $v = \dot{x}$. Точки $(u; v)$ этой плоскости называются фазовыми точками; они описывают состояние системы: координата $u = x$ указывает отклонение системы от положения равновесия, а координата $v = \dot{x}$ — скорость ее движения в данной момент времени. С течение времени положение фазовой точки $(u; v) = (x(t); \dot{x}(t))$ меняется, и она описывает некоторую линию на фазовой плоскости, называемую фазовой траекторией. Какую?

12

Догадливый читатель наверняка подумал — не окружность ли?

Не будем опережать события. Пока у нас есть лишь эллипс — линия уровня энергии $E = \text{const}$, то есть линия

$$\omega^2 u^2 + v^2 = 2E$$

(1)

(на двойку мы умножили, чтобы не возиться с ненужными дробями), показанная на рисунке 6. В силу закона сохранения энергии фазовая точка $N(t) = (x(t); \dot{x}(t))$, имеющая в момент времени $t$ энергию $E$, будет всегда оставаться на эллипсе (1), то есть будет дивигаться по эллипсу.

Построим на его горизонтальной оси как на диаметре окружность и проведем через фазовую точку $N(t)$ прямую, параллельную оси $Ov$, до пересечения с окружностью в точке $M(t)$. Тогда координата по оси $x$ точки $N(t)$ будет совпадать с координатой по оси $x$ точки $M(t)$, то есть будет равна $x(t)$.

Преобразуем выражение (**) для $x(t)$, получясь формулими дополнительного аргумента:

$$x(t) = a \cos \omega t + b \sin \omega t = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\omega t + \varphi),$$

где $\varphi$ определяется из условия

$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \sin \varphi = \frac{-b}{\sqrt{a^2 + b^2}}.$$

Обозначив $A = \sqrt{a^2 + b^2}$, можно заметить, что $A = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + \beta^2/\omega^2} = \frac{1}{\omega} \sqrt{\beta^2 + \omega^2 a^2} = \frac{1}{\omega} \sqrt{\dot{x}^2(0) + \omega^2 x^2(0)} = \sqrt{2E/\omega}$.

Поэтому $x(t)$ можно записать в виде

$$x(t) = \frac{2E}{\omega} \cos(\omega t + \varphi).$$

Величина $A = \sqrt{2E/\omega}$, характеризующая раз-

max гармоничских колебаний, называется амплитудой, $\omega$ — циклической частотой, $T = 2\pi/\omega$ — периодом, $\varphi$ — фазой.

Тепер легко установить, что точка $M(t)$ будет врашаться равномерно с угловой скоростью $\omega$ по окружности с центром $O$ радиуса $A$. Действительно, если через $\varphi$ обозначит угол $uOM$ в момент времени $t=0$, то угол $uOM(t)$ равен $\omega t + \varphi$ в силу того, что проекция на ось $Ou$ точки $M(t)$ задана формулой (4). Мы установили, что гармоничские колебания представляют собой проекцию на прямую равномерно врашения по окружности, радиус которого равен амплитуде колебании, а угловая скорость врашения равна циклической частоте.

Эквивалентный взгладкость в том, что гармоничское колебание есть одна из координат равномерно врашающегося вектора (в данном случае $-\vec{OM}$). Длина этого вектора совпадает с амплитудой, а начальное положение определяется фазой. Такое представление колебания называется его векторной диаграммой и часто бывают полезны. Попробуйте с его помощью решить следующие задачи.

Задание 1. Докажите, что сумма двух ненулевых гармоничских колебаний есть гармоничское колебание тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую частоту (или, как говоря, координатой по оси $x$ точки $M(t)$, то есть будет равна $x(t)$).

Задание 2. Докажите, что сумма трех гармоничских колебаний одинаковой амплитуды и частоты, фазы которых суть $\varphi$, $\varphi + (2\pi/3)$ и $\varphi + (4\pi/3)$, равна нулю.

Посленее обстоятельство играет важную роль при использовании трехфазного тока, поскольку именно такие колебания дает трехфазный генератор переменного тока. Кстати, на векторной диаграмме вы найдете общие, почему относение стандартных направлений

13

Женей 220 волт и 127 волт приблизительно равно $\sqrt{3}$.

Заддача 3. Сколько корней на отрезке [0, 2] имеет уравнение

$$\cos x + \frac{1}{2} \cos(x+a_1) + \frac{1}{4} \cos(x+a_2) + \dots + \frac{1}{2^n} \cos(x+a_n) = 0$$

($a_1, \dots, a_n$ — произвольные параметры)?

Итогом нашего исследования уравнения (*) является рисунок 7. Такие рисунки математики называют фазовыми портретами или фазовыми диаграммами дифференциального уравнения. На нашей диаграмме видно, что каждая фазовая точка берет по своему эллипсу (отвечающему ее уровню энергии), при этом отклонение от положения равновесия $x(t)$ меняется periodически, также как и скорость $\dot{x}(t)$, достигающая свои максимальных значений в положении равновесия. Обратим внимание на следующие замечательное свойство гармоничческого осциллятора: период его колебаний не зависит от амплитуды! Это свойство является исключительно, что можно видеть уже на примере математического матрика, к которым мы и перейдем.

О математике математического матрика

Остановимся на теории математического матрика, отказавшись теперь от предположения малости колебаний (но по-прежнему считая, что трения нет). Уравнение движения в этом случае нам уже известно:

$$\ddot{x} + \omega^2 \sin x = 0.$$

Хотя по виду уравнения () не сильно отличается от уравнения () линейного осциллятора, оно уже не нейнено, и решить его совсем не так просто. Более того, выписать его решение с помощью известных в школе функций вообше нельзя, — для этого требуется специальные функции, называемые эллиптическими. Как быть?

Получить представление о решении уравнения (*) и о поведении математического матрика можно с помощью его фазового портрета (рис. 8), который строится с помощью закона сохранения энергии. Расмотрим этот портрет.

При жирные точки на оси $Ox$ отвечают положения равновесия — устойчивому (начало координат) и неустойчивому

Рис. 8.

(точка $A$ ($\pi; 0$)), то есть крайнему нижнему и крайнему верхнему положениями матрика. Расширяющиеся овалы около точки $O$ устойчивого равновесия отвечают различным режимам колебания матрика (с различной амплитудой); в близи точки $O$ они на глаза не отличны от эллипсов — фазовых траекторий уравнения (*)). Обход такого овала (большого или малого) отвеяет целому колебанию матрика, его пересечения с осью $Ox$ — проход через источное положение равновесия с максимальной скоростью, пересечения с осью $Ox$ — крайнее отклонение матрика (нулевая скорость). Волистые траектории в нижней и верхней части рисунка — это неравномерные выражения матрика, получающие, когда на дальнейший толок настоящего сленен, что матник достигает верхнего положения равновесия с ненулевой скоростью, проскаивает его и продолжает врашаться, достигает экстремальных значений скорости при прохождение положения равновесия. Красным цветом показаны траектории, отделяющие колебательные движения от врашательных. Эти траектории отвечают движения с уровнем энергии $E_0$, равным потенциальной энергии матрика в верхнем (неустойчивом) положении равновесия $A(\pi; 0)$. При таком движении матрикой проходит нижнее положение равновесия $B(0; v_0)$ с максимальной скоростью $v_0 = \sqrt{2E_0/m}$ и, постепенно замедляясь, подходит к верхнему положению равновесия; можно доказать, что он достигает (с нелевой скоростью) лишь за бесконечный промежуток времени.

Заключение

Мы немного познакомились со свойств линейного и нелинейного осцилляторов. Пожалуйста, самое удивительное в осцилляторе — это его многоологические и универсальные требования: трудно перечислять все те простые и разнообразные физические системы, которые описывают уравнения () и (***). Осциллятор входит в многоные системы. Например,

(Окончание см. на с. 43)