Парадокс спутника

Парадокс спутника

Кандидат физико-mатематических наук
Ю. Г. ПАВЛЕНКО

При движении искусственных спутников Земли в верхних слоях атмосферы они испытывают тормозящей действие воздуха. До запусков ИСЗ сведения о плотности atmosферы на высотах до 200 км были получены благодаря полетам геофизических ракет. Позднее анализ движения ИСЗ позволил уточнить эти данные (они приведены в «таблице» на развороте).

Сила сопротивления, действующая на спутник в верхних слоях atmosферы, обусловлена стольновыми

с молекулами воздуха. Эта сила направлена противоположно скорости, и ее можно записать в виде
$$\vec{F}_c = -k\vec{v},$$
где коэффициент $k$ положительный и, вообще говоря, сам зависит от скорости. Он тем больше, чем больше площадь поперечного секения тела $S$ и плотность atmosферы $\rho$.

Сравним величиныускорении, сообщаемых спутнику силой сопротивления и силой притяжения. Предположим, что спутник массы $m=100$ кг имеет форму шара с сечением $S=1$ м$^2$ и движется по круговой орбите на высоте $h=160$ km со скоростью $v=8$ km/c. Для приближенных расчетов можно считать, что $k=S/v$. В этом случае абсцилтоное значениеускорения, обусловлено силой сопротивления,
$$a_c = \frac{kv}{m} \approx \frac{S_0v^2}{m} \approx 6.4 \cdot 10^{-4} \text{ m/c}^2.$$
Сила притяжения $F = G \frac{Mm}{(R+h)^2}$, действующая на спутник со стороны Земли ($M=5976 \cdot 10^{21}$ кг — масса Земли, $R=6371$ km — ее средний радиус), сообщает емуускорение, направленное к центру Земли и равное
$$a_n = G \frac{M}{(R+h)^2} \approx 9.33 \text{ m/c}^2.$$
Как видно, «тормозное»ускорение составляетprimерно одну пятнадцатисчную часть от центростремительного. И тем не менее влиние atmosферы на высоте 160 km оказывается настолько существенно, что, совершив один-два оборота, спутник начинает быстро спинаться.

Первый советский ИСЗ имел форму шара диаметром 58 см и массу 83,6 кг. Ракета-носитель была значительно большие по размерам. Казалось бы, поскольку ракета испытывает большие сопротивление (у нее больше $S$), после выхода на орбиту она должна отставать от спутника. Однако наблюдается показали, что ракета носитель значително опережала спутник. Попробуем разобраться в этом «парадоксе».

Движение спутников в настоящие время расчитывают на ЭВМ, исходя из законов Ньютона. Для решения этой задачи в случае, когда сила сопротивления зависит от скорости тела, школьных знаний математики недостаточно. МыObсящим «парадоксе» спутника на основе энергетических сообщений. Если бы сопротивление отсутствовало, то полная механическая энергия спутника $E$

оставалась бы постоянной:
$$E = \frac{mv^2}{2} + \left(-G \frac{Mm}{r}\right) = \text{const}$$
(здеся $\left(-G \frac{Mm}{r}\right)$ — потенциальная энергия спутника, находящаяся на