Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченко

52

Киевский государственный университет им. Т. Г. Шевченko

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1
(механико-математический факультет)

1. Найдите наименьшее значение функции $y=3x+e^{-2x}$.
2. Решите уравнение
   $$\sqrt{1+\sin^2x}+2\cos \frac{x}{2}=0.$$
3. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна $a$, а радиус шара, вписанного в пирамиду, равен $r$.
4. Укажите, сколько решений имеет система уравнения
   $$\begin{cases} x^2+y^2=8, \\ (y-a)(y-a\sqrt{2})=0 \end{cases}$$
   в зависимости от параметра $a$.
5. Укажите все значения параметра $a$, для каждой из которых является правильным утверждение: если $-\frac{\pi}{2}<a<0$ и $-\frac{\pi}{2}<\beta<0$, причем $\sin \frac{\alpha}{2}=a\cos \beta$, то $-\frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<0$.

Вариант 2
(физический факультет)

1. Найдите наименьшее и наиболее значения функции $y=2x^2-2x-1$ на промежутке [0; 2].
2. Решите уравнение
   $$2\cos^2x-3\sin x=0.$$
3. Сумма трех чисел, образующих арифметический прогрессio, равна 30. Если вычесть из первого числа 5, из второго 4, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессio. Найдите эти числа.
4. Решите неравенство
   $$\log_2^2x-\log_{1/2}x<12-3\sqrt{\log_2^2x+\log_2\frac{x}{4}}.$$
5. Вершина угла $ABC$, величина которого меньше 180°, находится на окружности $l_1$, а одна из его стороны через центр окружности. Okружность $l_2$ вписана в угол $ABC$ и внешне касается окружности $l_1$. Найдите, при каком значении угла $ABC$ радиус окружности $l_2$ в 24 раза больше радиуса окружности $l_1$.

Вариант 3
(радиофизический факультет)

1. Решите уравнение
   $$4\cos^2x+4\sin x=1.$$

2. Найдите наименьшее и наиболее значения функции
   $$y=-2x^3+3x^2+12x+5$$
   на промежутке [-2; 1].

3. Решите неравенство
   $$\frac{2\cdot4^{x+1}-5\cdot9^x}{9^{x+1}-7\cdot4^x}<1.$$

53

4. Укажите все значения параметра $a$, при которых система
   $$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x \leq 1, \\ x - y + a = 0 \end{cases}$$
   имеет единственное решение.
5. Высота конуса равна диаметру его основания, а объем конуса равен $v$. Найдите объем шара, описанного около конуса.

Вариант 4
(геологическая факультет)

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 8, \\ \frac{5}{x} - \frac{2}{y} = 1. \end{cases}$$
2. Решите уравнение
   $$9\cos x - 10 \cdot 3^{-\frac{1}{2} + \cos x} + 3 = 0.$$
3. Решите неравенство
   $$\log_2(x+1)^2 + 1 < 0.$$
4. Укажите, в какой точке функция $y = \log_{1/2}(3-2x-x^2)$ принимает наименьшее значение. Найдите это значение.
5. Отношение площади боковой поверхности правлевой четырехугольной прямиды к плошадии ее основания равно $\sqrt{3}$. Найдите угол между противоположными боковыми ребрами прямиды.

Вариант 5
(геологическая факультет)

1. Решите уравнение
   $$\sqrt{3} \sin 3x + \cos 3x = 0.$$
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
   $$y = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + 3.$$
3. Вычислите
   $$\log_{\sqrt{2}}(4\sqrt{2} \cdot 3^{\log_{1/3}\sqrt{8}}).$$
4. Решите неравенство
   $$\sqrt{1-x} > 2x + 8.$$
5. Площадь боковой поверхности конуса равна $s$, а площадь его полной поверхности равна $p$. Определите угол между высотой и образующей конуса.
   Задание устного экзамена
6. Объясните, почему при преобразовании объективной дроби в десятичную всегда получается либо конечная десятичная дробь, либо перiodическая.
7. Освым сечением конуса является правлевой треугольник. В конус входящего образуют радиусы $r_n$ ($n=1, 2, 3, \dots$) шаров $S_n$?

6. Какую последовательность образуют объемы этих шаров?
   b) Какую часть объема конуса составляет суммарный объем всех шаров вместе?

3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2xz + 3yz + z^2 = 11z, \\ 3xz + yz - z^2 = 2z, \\ xz - 2yz + 2z^2 = 3z. \end{cases}$$
4. Укажите, как должны быть связываны между собой числа $a$ и $b$, чтобы неравенство
   $$\sqrt{x-a} > \sqrt{2x-b}$$ имело решение. В том случае, когда решения существенно они образуют? При каких $a$ и $b$ это множество есть промежуток [1; 5]?
5. Решите неравенство
   $$\sqrt{25-x^2} \leq \frac{12}{x}.$$
6. Приведите пример функции, которая имеет:
   a) бесконечно много осей симметрины, но не имеет центра симметрины;
   b) бесконечно много центров симметрины, но не имеет оси симметрины.
7. Основания трапеции равны $a$ и $b$ ($a < b$). Диагонали трапеции делят ее на четые треугольника. Площадь наименьшего из них (по плошадии) равна $S$. Укажите, какой это треугольник. Каковы площади других треугольников?
8. Радиус окружности $l_1$ равен $r$. Выясните, существует ли такая концентрическая с $l_1$ окружность $l_2$, чтобы в колюцо, образованное этими окружностями, можно было вписать $n$ окружностей, каждая из которых касалась бы двух соседних ($n$ — данное натуральное число, $n \geq 3$). Определите радиус окружности $l_2$.
9. Площаду угол при вершине правлевой $n$-угольной прямиды равен $a$. Определите, под каким углом наklонены к плоскости основания боковые грани прямиды.
10. Доказите, что график каждой兢тичной функции $y=ax^2+bx+c$ ($a \neq 0$) имеет ось симметрины.
11. Два шара радиусов $r_1$ и $r_2$ ($r_1 < r_2$) касаются между собой и всех образующих конуса. Определите угол при вершине осевого сечения конуса.
12. Решите неравенство
    $$\left| \log_2 \frac{x}{3} \right|^{x^2-5x-6} \leq 1.$$
13. Найдите наименьшее и наиболее значения функции $y=|x^2-4x|-1$ на промежутке $[-\frac{1}{2}; 3].$
14. Решите уравнение
    $$\frac{4\sin x}{(x-3)^2} + |\sin x| = 0.$$
15. Сумма первых девятнадцатей членоварифметической прогрессии равна 76. Найдите десятий член этой прогрессии. Можно ли определить еще какой-нибудь член этой прогрессии?
16. Постройте график функции
    $$y = \begin{cases} \frac{x}{1+x}, & \text{ если } x \leq 0, \\ \log_{1/2}(x+1), & \text{ если } x > 0. \end{cases}$$
17. Укажите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее на промежутке [0; 1] значения функции $y=2+ax^2-x^3$ достигается в точке $x=1$.

Физика
Задание устного экзамена
Физический факультет

1. Наблюдатель изменил, что за $t=2$ с тело в свободном падении пролетело расстояние $s=100$ м. Как долго падало тело из начального состояния покоя до момента начала наблюдения и какой путь прошло при этом?