А так ли хорошо знакомо вам электрическое поле?

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

32

1. Приведите пример, когда при сближении двух разноментонозаряженных тел сilia пригяжения между ними уменшается до нуля.

2. Какова направность электрического поля в точке, одинаково удаленной от зарядов, образующих электрический диполь?

3. Покажите, не произвольная вычисление, что направность поля электрического диполя тем меньше, чем меньше расстояние между зарядами, образующими диполь.

4. Как будет вести себя положительное заряжение шар в каждой из электрических полей, изобразенных на рисунке?

5. Заряженный проводник, взятый в виде листа, свернул в шлиндр. Изменилась ли направность электрического поля у поверхности проводника?

6. Заряд (-q) находится в центре полей металлических сферы, которая несеет заряд (+2q). Изображение с помощью силовых линей результирующее электрическое поле.

7. На расстоянии r от проводящей независимой плоскости находится заряд (+q). С какой силой будет взят действовать заряд и плоскость?

8. Может ли существовать в пустоте показанное на рисунке электрическое поле?

34

AC и BD в точках Y и Z (см. рис. 1). Треугольники XAY и XCY имеют общие основание XY, а сумма их высот, опущенных на это основание, равна расстоянию h между прямыми AB и CD, поэтому

$$S_{XAC} = S_{XAY} + S_{XCY} = \frac{1}{2} XY \cdot h,$$

где буквой S, как обычно, обозначены площами. Точно так же

$$S_{XBD} = \frac{1}{2} XZ \cdot h.$$

Следовательно, треугольники XAC и XBD равновелки тогда и только тогда, когда X — середина отрезка YZ. Но множество середин всехозможных отрезков, параллельных AB, с концами на прямых AC и BD, оченьно, и есть прямы, соединяющиеся отрезков AB и CD (и, кстати, проходящая через P).

Отметим, что $S_{XAC} = S_{XBD}$ и для точек X на прямой, параллельной AB и проходящей через P; для точек, не лежащих на указанных двух прямых, эти площади различны.

Перейдем к доказательству утверждения задачи. Пусть $A_1A_2...A_6$ — данные шестиугольник, $M_1, M_2, ..., M_6$ — середины его сторон, P, Q, R — точки пересечения (больших) диагоналей $A_1A_4$, $A_2A_5$, $A_3A_6$, O — точка пересечения «средних линий» $M_1M_4$ и $M_2M_5$ (обозначения см. на рисунке 2). По доказанному утверждению $S_{OA_1A_4} = S_{OA_2A_5}$ (так как O лежит на $M_1M_4$) и $S_{OA_2A_5} = S_{OA_3A_6}$ (так как O лежит на $M_2M_5$), следовательно, $S_{OA_1A_4} = S_{OA_3A_6}$. Кроме того, точка O принадлежит объединению углов $A_1PA_2$ и $A_4PA_5$ и в то же время объединению углов $A_2QA_3$ и $A_5QA_6$, а пересечение этих двух пар углов — треугольник PQR (рис. 3), который содержится в одном из углов $A_3RA_4$ или $A_6RA_1$. Снова пользоваться нашим утверждением, заключаем, что третья «средняя линия» $M_3M_6$ тоже проходит через O.

Упомянем еще три решения этой задачи. Первое из них аналогично приведенном нами и опирается на то, что множество точек X трапеци ABCD с основанием AB и CD, для которых треугольники AXD и BXC равновелки, есть отрезок, соединяющий оснований (ср. с доказанным выше вспомогательным утверждением). Кроме того, надо использовать еще один факт, интересный и сам по себе: если в шестиугольнике $A_1A_2...A_6$ противоположные стороны параллельны, то треугольники $A_1A_3A_5$ и $A_2A_4A_6$ равновелки. Другое решение основано на специально подобранном параллельном проектировании. Именно, как можно показать, всегда существует такая проекция, при которой diagonал данного шестиугольника становится равным (достаточно добиться того, чтобы две его «средние линия» стали перпендикулярными сторонами, которые они соединяют). Легко видеть, что в таком случае «средние линия» будут бискетрисами треугольника, ограниченного большими diagonалами, и, следовательно, пересечаются в одной точке. При этом шестиугольник оказывается в окружность с центром в точке пересечения «средних линий». Наконец, утверждение задачи можно вывести из общего условия пересечения в одной точке трех прямы, проведенных из вершин треугольника (в данном случае треугольника PQR — см. рис. 2), — так называемой теоремия Чевы (см., например, задачу 34 в статье М. В. Балка и В. Г. Болтянского «Центр тяжестей obлегчатей решения» в «Кванте» № 4 за 1984 г.).

35

М964. Докажите, что в последовательности $(a_n)$ различных натуральных чисел, удовлетворяющих условию $a_n < 100n$, найдется число, в десятичной записи которого
a) встречается цифра 1;
b) встречается 1986 единиц подряд.

М965. Дано шесть чисел $a_1, a_2, ..., a_6$. Чтобы подсчитать в «лоб» сумму их попарных произведений $a_1a_2+a_1a_3+...+a_5a_6$, нужно затратить 15 умножений и 14 сложений. Покажите, как можно найти сразу: сумму этих чисел, сумму их произведений по два, по три, по четыре и по пяте, затратив всего 15 сложений и 14 умножений.

a) Достаточно показать, что если в десятичной записи различных натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$, не встречается цифра 1, то число $a_n/n$ может быть сколь угодно большим (в частности, $a_n/n > 100$ при некотором $n$).

Заметим, что среди первых $9^k$ чисел нашей последовательности найдется такое $a_n$, запись которого состоит не менее чем из $k+1$ цифр, то есть $a_n \geq 10^k$. В самом деле, количество натуральных чисел, записываемых не более чем $k$ цифрами, отличными от 1, равно $9^k-1$ (в каждом из $k$ разрядов такого числа стоит одна из 9 цифр 0, 2, 3, …, 9, а число 0 исключается; мы подразумеваем, что числа, имеющие меньше $k$ знаков, дополнены нулями в старших разрядах до $k$-значных). Поскольку $n \leq 9^k$, справедливо неравенство $a_n/n \geq (10/9)^k$, а его правая часть неограниченно растет с ростом $k$.

6. Совершенно так же, как в пункте a), доказывается, что если в записи чисел $a_1, a_2, ..., a_n$, числа $S_n^k$ — сумму их произведений по $k$ штук. Тогда мы можем последовательно найти

$$S_2^1 = x_1 + x_2, \quad S_2^2 = x_1x_2,$$

затем

$$S_3^1 = S_2^1 + x_3, \quad S_3^2 = S_2^2 + S_1^2 \cdot x_3, \quad S_3^3 = S_2^2x_3,$$

затем $S_n^k (1 \leq k \leq 4), \quad S_5^k (1 \leq k \leq 5)$ и, наконец, $S_6^k (1 \leq k \leq 5)$, пользоваться формулами

$$S_n^1 = S_n^{1-1} + x_n, \quad S_n^k = S_n^{k-1} + S_n^{k-1}x_n$$

($1 < k < n$), $S_n^n = S_n^{n-1}x_n$.

Для вычисления всех $S_n^k (1 \leq k \leq n)$ потребуется $n-1$ сложений и $n-1$ умножений. Таким образом, чтобы сделать это вплоть до $n=6$, нужно $1+2+3+4+5=15$ сложений и столько же умножений. Посленое умножение $S_6^k = S_5^kx_6$ можно сэкономить, поскольку считать произведение всех 6 чисел.

Эту последовательность операций иллюстрирует схема на полях (голубые стрелки — сложения, красные — умножения).

Коротко это решение можно обьясить так. Нам нужно найти коэффициенты многочлена $(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_6)$ при $x, x^2, ..., x^5$, а мы последовательно находим произведение $x+a_1$ на $x+a_2$, затем на $x+a_3$, …, на $x+a_6$.

Аналогично можно доказать, что все суммы произведений $n$ чисел по $k (k=1, 2, ..., n)$ можно найти за $1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2$ сложений и столько же умножений. Интересно вычисить, можно ли обойтись для этого меньшим числом операций.

Н. В. Васильев

36

Ф973. Тело начинает движаться примолнено из точки А и через время T попадает в точку В a) с максимальной возможности скорость; б) с минимальной возможности скорость; расстояние |AB| равно l. Начти скорости тела в этих двух случаях, если скорость в точке A v₀=0 и ускорение тела -a<a<a₀.

а) Чтобы прийти в точку B с максимальной скоростью, нужно двигать следующим образом. До некоторого момента времени t₀ нужно двигаться с ускорением -a₀, затем до конца с ускорением a₀. Точка t₀ находится из условия, что проходимый путь равен l:

$$l = -\frac{a_0 t_0^2}{2} - a_0 t_0 (t - t_0) + \frac{a_0 (T - t_0)^2}{2} \Rightarrow t_0^2 - 2 T t_0 + \frac{T^2}{2} = \frac{l}{a_0}, t_0 = T - \sqrt{\frac{T^2}{2} + \frac{l}{a_0}}$$

(знак в решении квадратного уравнения выбирается из условия t₀<T). Скорость в момент времени t обозначаем через V(t). График функции V(t) показан на рисунке 1 красной линии. Пусть U(t) — скорость при другом режиме движения, удовлетворяющим нашим условиям, таком, что U(T) > V(T). Показем, что тогда U(t) ≥ V(t) при любом t (см. рис. 1). Предположим, что U(t₁) < V(t₁) при некотором t₁ (эта возможность показана на рис. 1 пунктом). Если t₁ ≥ t₀, то среднее ускорение на отрезке t₁ ≤ t ≤ T больше a₀ (черная линия на рис. 1 наклонена круче, чем красная), а если t₁ ≤ t₀, то среднее ускорение на отрезке 0 ≤ t ≤ t₁ меньше -a₀. Итак, если U(T) > V(T), то U(t) ≥ V(t) при любом t и тело, движущемся со скоростью U(t), прошет за время T отрезок, больший l. Значит, V(T) — максимальное скорость. Находим ее:

$$V(T) = -a_0 t_0 + a_0 (T - t_0) = a_0 (T - 2 t_0) = a_0 \left( -T + 2 \sqrt{\frac{T^2}{2} + \frac{l}{a_0}} \right) = \sqrt{2 a_0^2 T^2 + 4 a_0 l} - a_0 T.$$

6. Аналогично: чтобы прийти в точку B с минимальной скоростью, нужно до некоторого момента времени двигаться с ускорением a₀, затем до конца с ускорением -a₀. Точка t₀ находится из условия, что проходимый путь равен l:

$$l = \frac{a_0 t_0^2}{2} + a_0 t_0 (T - t_0) - \frac{a_0 (T - t_0)^2}{2} \Rightarrow t_0 = T - \sqrt{\frac{T^2}{2} - \frac{l}{a_0}}$$

(graphic скорости v(t) в зависимости от времени t показан на рисунке 2). Скорость в момент времени T равна a₀ t₀ - a₀ (T - t₀) = a₀ (2 t₀ - T) = a₀ \left( T - 2 \sqrt{\frac{T^2}{2} - \frac{l}{a_0}} \right) = a_0 T - \sqrt{2 a_0^2 T^2 - 4 a_0 l}.

Доказательство того, что эта скорость минимальная, аналогично предыдущему доказательству: если u(t) — другой режим движения и u(T) < v(T), то u(t) ≤ v(t) при любом t.

Причем а) может оказаться, что t₀ < 0: это будет при l > \frac{a_0 T^2}{2}; тогда решения нет. Тогда не имеет решения и часть 6 (под корнем отрицательное выражение).

Д. А. Акопян

37

Ф974. Определите период малых колебаний системы, изображенной на рисунке: масса груза m, упругость пружины k, ∠AOB=α. Стержень и блок ситать гладким, пружину — неевесомой. Причина закрепления в точке A. Изменится ли период колебаний, если в точке O также закреплить груз m?

Предположим, что груз сместился в малое расстояние x. Посмотрим, как изменится при этом сила натяжения нити.

Поскольку пружина неевесомая, в любой момент времени (см. рисунок)

$$F_y = T \cos \alpha,$$
то есть $k(\Delta l + \Delta l') = T \cos \alpha'$,
где $\Delta l' = |OO'|, \alpha' = \angle AO'B$. Как видно из рисунка, $|OO'| = x/\cos \alpha$ и $\alpha' = \alpha + \Delta \alpha$, где $\Delta \alpha = \frac{x \mathrm{tg} \alpha}{l - x}$.
Так как $\cos(\alpha + \Delta \alpha) = \cos \alpha \cos \Delta \alpha - \sin \alpha \sin \Delta \alpha \approx \cos \alpha - \Delta \alpha \cdot \sin \alpha = \cos \alpha - \frac{x}{l - x} \sin \alpha \mathrm{tg} \alpha$,
при малом смешении груза визна

$$T = \frac{k(\Delta l + \frac{x}{\cos \alpha})}{\cos \alpha - \frac{x}{l - x} \sin \alpha \mathrm{tg} \alpha} = \frac{k(\Delta l \cos \alpha + x)}{\cos^2 \alpha - \frac{x}{l - x} \sin^2 \alpha} \approx \frac{k(\Delta l \cos \alpha + x)}{\cos^2 \alpha}$$

(мы пренебрегли вторым слагаемым в знаменателе, так как $\frac{x}{l - x} \to 0$ при $x \to 0$).

Тепер запишем уравнение движения груза:

$$ma = mg - T = mg - \frac{k \Delta l}{\cos \alpha} - \frac{kx}{\cos^2 \alpha} = -\frac{kx}{\cos^2 \alpha}$$

Это уравнение описывает гармоничное формулу для периода колебаний груза на пружине.

Из решения понятно, что если в точке O закреплить груз, то период колебаний уvelчится, так как в этом случае при том же значении α величины T будет меньше; ускорение груза, закрепленного в точке A, уvelчится — период колебаний уменшится.

Л. Г. Маркович

В объете проводящей пластины имеет огромное количество свободных электронов. При движении пластины внутри конденсатора на свободные электроны действуют три силы: сила Лоренца со стороны магнитного поля $evB$, направленная вниз; сила $eE$ со стороны зарядов, находящся на поверхности движения пластины, направленная вверх; сила со стороны зарядов на пластинах конденсатора $eE_0$, направленная вниз. Сумма всех этих трех сил внутри проводника должна быть равна нулю, то есть

$$vB - E + E_0 = 0.$$

При этом заряд на конденсаторе емкостью C должен быть равен заряду на пластинах площью S:

$$Q = CU = \frac{\varepsilon_0 S}{d} E_0 d = \varepsilon_0 E_0 S.$$

38

Работа по перенесению единного положительного заряда по замкнутому контруру в электрическом поле зарядов всегда равна нулю; значит,

$$E_0 d - Ed/2 + U = 0.$$

(3)

Чтобы найти значение $U = \frac{\varepsilon_0 E_0 S}{C}$, найдем значение $E_0$ из системы уравнения (1)—(3). Будем считать для общности, что толщина пластины не $d/2$, а $d'$; тогда

$$E_0 d - Ed' + \frac{\varepsilon_0 E_0 S}{C} = 0,$$

(4)

и из (1) и (4) находим $E_0 = \frac{vBd'}{\varepsilon_0 S/C} + d - d'$.

При $d' = 0$ $E_0 = 0$, а значит, и $U = 0$.

При $d' = \frac{d}{2}$ $E_0 = \frac{vB}{1 + \frac{2\varepsilon_0 S}{Cd}}$ и $U = \frac{\varepsilon_0 vBS}{C + \frac{2\varepsilon_0 S}{d}}$.

При $d' = d$ поля $E_0$ не будет, $E = vB$, а напряжение на конденсаторе $C$ всегда будет $U = vBd$ независяимо от его emкости.

E. A. Ромищевский

Ф976. Моль идеального одноатомного газа переводится из начального состояния в конечное, как показано на рисунке. Определите подведенное заузтелло, если разность начального и конечной температуры равна $\Delta t = 100^\circ C$.

Ф977. На стене, плоскость которой отклонена от вертикали на $4,87^\circ$ (см. рисунок), укреплен зеркало. С какого максимального расстояния человека, рост которого 170 см, может увеличить в зеркале хотя бы часть своего изобравжения?

Обратим внимание на то, что тепловой процесс задан в координатах $p, T$. Он состоит из трех участков: двух изобар (1→2) и (3→4) и изохоры (2→3). Постоянство объема на участке (2→3) вытекает из того, что давление $p$ меняется пропорционально температуре $T$. Если обозначить молярные теплоемкости газа при постоянном объеме и при постоянном давлении через $c_V$ и $c_p$, можно записать

$$Q = Q_{12} + Q_{23} + Q_{34} = c_p(T_2 - T_1) + c_V(T_3 - T_2) + c_p(T_4 - T_3) = (2c_p - c_V)\Delta t.$$

Для одноатомного идеального газа $c_V = \frac{3}{2} R$, $c_p = \frac{5}{2} R$ ($R = 8,31$ Дж/(моль·К). Окончательно:

$$Q = \frac{7}{2} R \Delta t = 2910 \text{ Дж/моль.}$$

С. М. Козел

Изображение $A'B'$ человека $AB$ в зеркале расположено симметрично самому человека относительно плоского зеркала и равно по размерам человека. Следовательно, предельный случай, когда человека видит в зеркале хотя бы часть своего изобравжения, соответствует ситуации, приведенной на рисунке. Как видно, $\angle AOB = \alpha$ и

$$OB = AB/tg \angle AOB = AB/tg \alpha \approx AB/\alpha$$

(мы учили, что угол $\alpha$ мал и $tg \alpha \approx \alpha$).

Таким образом,

$$OB = \frac{AB}{\alpha} = \frac{1,7 \text{ м}}{4,87^\circ \pi} = 20 \text{ м.}$$

E. П. Кузнецов