Московский архитектурный институт

56

10. В опытах Резерфорда α-частицы со скоростью $v = 2 \cdot 10^7$ м/с попадали на тонкую золото фольгу. Полягая векторской α-частицы совпадающим с прямой, соединяющей частиц и ядро atoma золота (примое столковение), оцените радиус ядра. Число Авогадро $N_A = 6 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$, элементарный заряд $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл, электрическая постоянная $\varepsilon_0 = 8,8 \cdot 10^{-12}$ Ф/м, заряд ядра золота $q = 79$е.
    Публикацию подготовили
    Н. А. Гладков, Л. П. Паршев

Московский архитектурный институт

Математика
Задачи устного экзамена

1. Упростите выражения:
   a) $A = \frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}},$ если $x = \frac{2ab}{b^2+1}, a > 0, 0 < b < 1$;
   b) $A = \cos \frac{2\pi}{7} + \cos \frac{4\pi}{7} + \cos \frac{6\pi}{7}$;
   b) $A = \frac{\lg^2(x^3)}{\lg^3(x^2)} \cdot \lg \sqrt{x}$.
2. Вычислите без таблиц:
   a) $A = 2 \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ$;
   b) $A = \tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot \tg 3^\circ \cdot \dots \cdot \tg 88^\circ \times \tg 89^\circ$;
   b) $A = \frac{2 \cos 40^\circ - \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$.
3. Найдите:
   a) $\sin^3 x + \cos^3 x,$ если $\sin x + \cos x = a$;
   b) $\tg \alpha - \ctg \alpha,$ если $\tg \alpha + \ctg \alpha = a$.
4. Доказите точность:
   a) $\tg^2\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1 - \sin 2\alpha}{1 + \sin 2\alpha}$;
   b) $32 \sin^2\alpha \cos^4\alpha = 2 + \cos 2\alpha - 2 \cos 4\alpha - \cos 6\alpha$;
   b) $\sin^2(45^\circ + \alpha) - \sin^2(30^\circ - \alpha) - \sin 15^\circ \times \cos(15^\circ + 2\alpha) = \sin 2\alpha$.
5. Решите уравнения:
   a) $\sqrt{2x+3} - \sqrt{x+1} = 1$;
   b) $7 \cdot 3^{x+1} - 5^{x+2} = 3^{x+1} - 5^{x+3}$;
   b) $2 \lg \lg x = \lg (3 - 2 \lg x)$;
   r) $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}$.
6. Решите неравенства:
   a) $\frac{1}{2^x-1} > \frac{1}{1-2^{x-1}}$;
   b) $0,1^{\log_2 x+1}/x-3 < 10$; b) $\sqrt{24-10x} > 3-4x$.
7. Постройте графики:
   a) $y = |x^2-4|$;
   b) $|y-2| = |x-1|$;
   b) $y = \sin |x|$.
8. Решите системы уравнений:
   a) $\begin{cases} \log_5 x + 3^{\log_3 y} = 7, \\ x^y = 625^3; \end{cases}$
   b) $\begin{cases} (x+y)3^{y-x} = \frac{5}{27}, \\ 3 \log_5(x+y) = x-y. \end{cases}$

Физика
Задачи устного экзамена

1. К стене прислонена лестница массой $m$. Центр тяжесте листицы находится на расстоянии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую горизонтальную силу нужно приложить к середине лестницы, чтобы верхний конец ее оказавал давления на стену? Угол между лестницей и стеной $a$.
2. Тяжельший шарик массой $m$ подвешен на нити. Нить может выдержать натяжение $T = 2mg$. На какой угол от положения равновесия нужно отклонить нить с шариком, чтобы он оборвал нить, прохождение положение равновесия?
3. Небольшое тело сскальзывает по наклонной плоскости, плавано переходящей в «мертвую петлю», с высоты $H = 2R$, где $R$ — радиус петли (см. рисунок). На какой высоте тело оторвется от поверхности петли? С какой высоты должна скатьывать тело, для того чтобы отрыва не произошло?
4. Проискодит соударение двух абсолотно упругих шаров массой $m_1$ и $m_2$. Их начальные скорости $v_1$ и $v_2$. Найдите скорости шаров после удара. Удар считать центральным: скорости шаров направленны вдоль линии, соединяющей их центры.
5. Брусок массой $m$ равномерно втягивают за прирязанную к нему вверхку на высоту $h$ по доске, угол наклона которого к горизонту $a$. Веревка параллельна доске. Козеффициент трения бруска о доску $μ$. Найдите энергию, которая идет на нагревание доски и бруска.
6. Найдите работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину жесткостью $k = 30$ Н/cм на $x = 10$ см.
7. Медный шарик, подвешенный кружине, совершает вертикальную колбаня. Как изменится период колбаня, если кружине подвесить алюминевый шарик того же радиуса? Плотность меди и алюминия равна $\rho_1 = 8,9 \cdot 10^3$ кг/м$^3$ и $\rho_2 = 2,7 \cdot 10^3$ кг/м$^3$ соответственно.
8. Какой наиболее высокое можно выложить массивную криптическую S, чтобы возникла под действием только силы тяжесте деформации колонны оставалась в пределах упругости? Каково при этом будет наиболее относительно скважие криптические кладки? Модуль Юнга крипчена $E = 3000$ МПа, плотность $\rho = 1,8 \cdot 10^3$ кг/м$^3$, предел упругости $\sigma_{\text{np}} = 3$ МПа.
9. Для изменения температуры воды массой $m = 66$ г в нее погрузили термометр, который показал $t_1 = 32,4$ °C. Какова была действительная температура воды, если тепломкость термометра $C = 1,9$ Дж/K и перед погружением в воду он показывает температуру помещения $t_2 = 17,8$ °C?

Публикацию подготовили
Ю. М. Мещеряков, Ю. А. Морозов,
В. А. Смирнов