Взглянув на термометр...

2

В прошлом году наши читатели могли познакомиться со статей извесного физика-теоретика, специализающая по физике твердого тела, профессора М. И. Казанова, которая называется «Много или мало? Рассуждая физика-теоретика о числах» (см. «Квант» № 1, 1988). Сезодня мы предложаем читателем статью М. И. Казанова, которое можно, в каком-то смысле, считать продолжением предыдущей и которого можно было бы назвать «Размышления физика-теоретика о смысле чисел в физике». Как и первая, эта статья написана в системе edinцц СГСЭ (сантиметр — грамм — секунда, а Э — от «электричества»). Профессиональные физики обычно пользоваются его (а не знакомой школьником СН). В этой системе неокоторые формулы выглядают несовсем так, как в приведной для нашей читателя СН.

ВЗГЛЯНУВ НА ТЕРМОМЕТР…

Доктор физико-математических наук
М. И. КАГАНОВ

Однажды утром я почувствовал, что в квартиле холоднее, чем обычно. Взглянув на термометр, увидел: действительное, вместе привычных 20 °С было 19 °С. Посетовав на несабильность коммунальных служб, собрался и пошел на работу. В метро мыслевyerлась к показанию термометра, и возникло ошибение, что что-то тут не так…

Термпература — мера теплового движения молекул. Средняя энергия теплового движения молекул (скажем, газа в воздухе, наполняющем комнату) равна $\frac{3}{2} kT$, где $k \approx 1,4 \times 10^{-16}$ эрг/град — постоянная Больцмана, а температуру, правда, надо изменять не в градусах Цельсия, а по абсолотной шкале — шкале Кельвина, сдиниутой относительно шкалы Цельсия на $-273,16^\circ$. Другими словами, температура в моей квартиле была около 300 К. И я почувствовал изменение температуры $\Delta T$ порядка $\frac{1}{300} T$, т. е. ошибил, что энергия теплового движения молекул изменяла на 0,3 %! Волее того, без каких-либо сложных приборав, с помощью простого настоящего термометра я проверил свое ошибение — измерил факт изменения на 0,3 % энергия теплового движения молекул… У меня даже мелкнула гордая мысль об эволюции, создавшей столчить чувственные механизмы ошибения температуры. Хорошо известно, каким важным параметром для живых ормизмов является температура: изменение температуры тела человека на 1 градус — признак болезни, а интервал допустимого изменения температуры тела — менее 10 градусов. Естественно, ошибать температуру живому организму необходимо очень точно… Но каким образом?

Подсказкой мне послужил все тот же настоящий термометр. Поэтому разберемся сначала с ним. Как нам удается изменить изменение температуры на 1 градус? а медицинским термометром — на 0,1 градус? Измеритель служит изменение объема жидкости (для определения — ртути). При повышении или попежении температуры ее объем $V$ изменяется на $\Delta V$, причем

$$\frac{\Delta V}{V} = \alpha \cdot \Delta T.$$

Множитель $\alpha$ носит название коэффициента теплового расширения. По порядку величины он составляет $10^{-3} - 10^{-4} K^{-1}$. «Увидеть» $\Delta V/V \sim 10^{-4}$ удается только с помощью простого приема — «загнав» ртуть в тонкий капилляр. Тогда $\Delta V = s \cdot \Delta l$, где $s$ — площадь секунды капилляра, а $\Delta l = \frac{V}{s} \alpha \cdot \Delta T$ — изменение высоты столбика ртути. Сделав $s$ достаточно малым, можно добиться необходимого разрешения. Капилляр служит усилителем. Если $V \sim 1$ см$^3$, то для того, чтобы при $\alpha \cdot \Delta T \sim 10^{-4}$ получить $\Delta l \sim 1$ мм=0,1 см, надо иметь капилляр с пло-

3

шадью сечения $s=10^{-3}$ см$^2$. Очень простой успешель!

Разобравшись с термометром, перейдем к живому организму. Что в нем служит успешелем? Определяющая роль температуры в жизни нажных процессов связана с тем, что скорости $W$ большинства химических реакций (без которых жизнь была бы невозможна) зависит от температуры очень резко — по экспоненциальному закону:

$$W \sim e^{-U/kT}.$$

Величина $U$, носящая название энергии активизации, для каждой реакции своего, но, как правило, $U$ значительное превышает $kT$. Не слишком углубляясь и не заглядивая в справочники, я рассуждал так. Химические реакции — это всегда перестройка электронных состояний. Например, соединение атомов Na и Cl в молекулу NaCl происходит так: atom Na отделяет электрон atomу Cl. Ионы Na$^+$ и Cl$^-$ пригravитаются друг к другу и создают молекулу NaCl, но электrons в молекULE NaCl распределены вокруг ядер не так, как в atomах Na и Cl. Для изменения энергии электронов в atomе создана специальная шкала энергий — электрон-вольт, а 1 эВ=1,6·10$^{-12}$ эрг. Так вот, характерное значение энергии активизации $U$ порядка 1 эВ.

Относительное изменение скорости химического реакции $\Delta W/W$ при изменении температуры $T$ на величины $\Delta T$ такое$^*$):

$$\frac{\Delta W}{W} \approx \frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}.$$

При $\Delta T/T \approx 1/300$ относительное изменение скорости химического реакции $\Delta W/W \approx 1/10$, т. е. вполне ощутимо.

*) $W(T+\Delta T)$ пропорционально

$$e^{-\frac{U}{k(T+\Delta T)}} = e^{-\frac{U}{kT(1+\Delta T/T)}} \approx e^{-\frac{U}{kT}} \left(1-\frac{\Delta T}{T}\right),$$

позетом

$$W(T+\Delta T) = W(T) \cdot e^{\frac{U}{kT} \Delta T/T} \approx W(T) \left(1+\frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}\right),$$

если $U \cdot \Delta T/kT^2 \ll 1$. Выписьвая приближенные равенства, я предполагаю учитательу умение обращаться с малыми величиными.

1*

4

1 градус в хорошего изобилированном помещении размером 4 м×5 м×5 м = 100 м³. Приближенный расчет очень прост. Энергия газа

$$E = \frac{3}{2} NkT,$$

где $N$ — число частц газа, а изменение энергии —

$$\Delta E = \frac{3}{2} Nk \cdot \Delta T.$$

Число частц газа в помещении определяют несколько. Каждый molь газа при нормальных условиях занимает объем $V_0 = 22,4$ л = 22,4×10⁻³ м³; значит в помещении содержится 100/(22,4·10⁻³)≈5×10³ molей. А число молекул в каждой molle (число Авогадро) — $N_A \approx 6 \cdot 10^{23}$ molь⁻¹. Значит в помещении $N \approx 3 \cdot 10^{27}$ molекул, и $\Delta E \approx 6 \times 10^{11}$ эрг. Теперь вычислим искому массу по формуле $\Delta E = Mgh:M \approx 6 \times 10^6$ г, или 6 тонн(!). Ответ заставил меня трижды проверить расчет. Поверив в правильность ответа, я вспомил и объясно не затрагивающее сознание признавы с телеэкрана беречь телло, и недавно услышанное в научно-популярином фильме «Жизнь на Земле» утверждение, что большую часть потребляемой пищи теплокровные животные траят на поддержание в теле постоянной температуры. Тепло — дорогое удобствие!

Примечение

To, что вы прочли до этого момента, можно считать следующим при написании потоком сознания: думал, прикидвал, практические все выкладки производил вume. Написав и перечитав, я подумал: школьников, как мне кажется, часто отпугвает от физики ощущение того, что она (физика) — набор разнообразных, на первый взгляд не связанных фактов, величины, соответствий. А я «вывалил» на них еще несколько. И мне захотелось довести до сознания читатель еще одну важную, на мой взгляд, мысль.

Современная физика так глубоко проникла в суть вещей, что она может оценить, а во многих случаях и точно вычислить по сути бесконечное число разнообразных параметров, постоянных, всего того, что входило в научку на разных этапах ее развития (часто в виде величины, добавых из опыта). При этом для расчетов достаточно

5

использовать всего несколько значений физических величины, носящих высокое имя мировыхconstants. Это заряд электрона $e \approx 1,6 \cdot 10^{-10}$ ед. заряда СГСЭ, массы электрона и протона $m_e \approx 10^{-27}$ г и $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-24}$ г, постоянная Планка $h \approx 6,6 \times 10^{-27}$ эрг·с (физики, как правило, постоянной Планка называют величины $\hbar = h/2\pi \approx 10^{-27}$ эрг·с), скорость света $c \approx 3 \cdot 10^{10}$ см/с. Только вдумайтесь: все величины, которые можно измерить, занимаясь макро-скопической физикой*), в принципиме могут быть выражены через пять мировых constants! Такие расчеты получили даже специальное название — расчеты из первых принципов. Конечно, отпюдь не всегда теория столбецно, отпюдь не всегда теория столбецно.

*) Ограничение макросопперской физикой не случайно. Например, мы не умеем пока вычислять массы элематриных частиц — разнообразных методов, адронов и т. д. (см. книгу Л. В. Окуня «αβγ…Z», выпущенную издательством «Наука» в 1985 году в серии «Виблотечка «Квант»).

6

детально разработана, что подобный расчет с необходимой точностью удалется довести до конца (позному мы и говорим «в принципе»). Но совершенно ясно, что расчет возможен и нетниких оснований ожидать, что мы столькося с принципально неразрешимой задачей.

Все упомянутые в этой заметке физические величины, значения которых автор либо помилил, либо брал из справочника, могут быть получены как результат расчета из первых принципов. Мы попробуем это показать на примере двух величины: энергии активизации $U$ и коэффициент теплового расширения $a$. При этом мы не будем доходить до основ, считая, что размер атома $a$ зависит можно выразить через перечисленные выше мировые constants. Например, размер атома водорода $-a_H = \hbar^2/m_e e^2$. Об этом можно прочесть в любой популярной книжке, излагающий квантовую механику.

Начнем с энергии активизации $U$. Так как мы не предполагаем строить теорию скоростей химических реакций, а только хотим продемонстрировать, как выражаются интересующие нас величины через мировые constants, то мы ограничимся расчетом энергии иннзации атома водорода $U_{нон}$, т. е. ответим на вопрос, сколько энергии надо потратить, чтобы оторвать электрон от протона.

Энергия электрона в atomе водорода —

$$E = m_e v^2 / 2 - e^2 / a,$$

но

$$m_e v^2 / a = e^2 / a^2,$$

и, следовательно,

$$E = -e^2 / 2a$$

(надеюсь, эти равенства понятны?). Подставив значение $a = a_H$, получим:

$$U_{нон} = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2} \approx 13,6 \text{ эВ.}$$

Энергия, которое надо затратить на перестройку электронных состояний, как правило, меньше $U_{нон}$. Поэтому мы при оценке относительной изменения скорости химических реакций $U \sim 1$ эВ.

Расчет коэффициента теплового расширения сложнее. Он требует знания строения того тела, которое испытывает расширение. Нам придется ограничиться простейшим подходом, учитывающим главное — то, что теплое расширение — результат зависимости среднего равновесного расстояния между частицами от температуры.

Итак, две частицы в теле находится на расстоянии $d + x(t)$ друг от друга, причем $d$ — расстояние между ними, когда эти частицы покояются (при абсолотном нуле температуры), а $x(t)$ — это мгновенное (в момент времени $t$) отклонение частицы от положения равновесия. Сила $F$, действующая на частицу, напоминает упругую силу, действующую на грузик, привязанный кружине, — она пропорциональна отклонению частицы от положения равновесия: $F = -\chi \cdot x(t)$. Но средняя сила $F$ (за достаточно большой промежуток времени) должна быть равна нулю $^*$). А это означает, что $x(t) = 0$, т. е. среднее расстояние между частицами равно $d$ и не зависит от количества atoms и, следовательно, от температуры. Этот результат на научном жаргоне звучит так: гармоническое приближение не может описать теплое расширение тел.

Мы привели это строение на научное утверждение, чтобы появилось слов «приближение». Дело в том, что выражение для силы, которое мы пользовались, приближенное. Попробуем его уточнить — учесть нелинейные по смесению $x(t)$ слагаемые:

$$F = -\chi \cdot x(t) + \beta \cdot x^2(t) + \dots$$

Теория, основанная на этой формуле или на подобных формулах, носит название ангармонической, а коэффициент $\beta$ называют ангармонической коэффициентом. Из этой формулы следует, что $\bar{x} = \frac{\beta}{\chi} \bar{x}^2$, т. е.

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{(d + \bar{x})^3 - d^3}{d^3} \approx \frac{3\bar{x}}{d} = \frac{3\beta}{d\chi} \bar{x}^2$$

*) Если бы средняя сила $F$ была отлична от нуля, то частицы тела должны были бы под ее воздействием куда-то перемешаться.

7

(коэффициент 3 появился из-за того, что тело может расширяться по тем направлениям). В этой формуле $V$ — объем тела при $T=0$ К. Итак, чтобы закончить расчет, мы должны уметы вычислять величины $\beta$, $x$ и $x^2(t)$. Начнем с последнего. Так как ангармоничское слагаемое $\beta x^2$ — малая поправка (ее пришлось включить в выражение для силы только потом, что без нее ответ оказался равным нулю), то можно считать, что потенциальная энергия движения есть $x \cdot x^2(t)/2$, а полная энергия равна

$$E = \frac{M(x')^2}{2} + \frac{xx^2}{2}.$$

Но в среднем кинетическая $(M(x')^2/2)$ и потенциальная $(xx^2/2)$ энергии равны. Поэтому

$$\bar{x}^2 = \frac{1}{\alpha} \bar{E}.$$

А средняя энергия колбатального движения есть $kT^*$). Итак,

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3\beta}{dx^2} kT.$$

Осталось научиться вычислять множество $3\beta/x^2$. Конечно, именно это — самая сложная часть задачи. Но и ее мы предельно упростим (хотя даже при таком способе изложения вам придется в одном месте попросту поверить автору).

Пусть мы имеем дело с понами, заряды которых $+e$ и $-e$ и расстояние между которых $r$. Между понами действует сила электростанческого притяжения, равная $e^2/r^2$. Но эта сила не может быть единственной — под действием такой силыоны упали бы друг на друга. Когда они сликом близко приближаются друг к другу, они откливаются, причем закон откливания может быть выясен с помощью уравнения квантовой механики.

И здесь мы подошли к тому месту, где читатель придется довериться авторам с энергий $^3/2kT$ для частицы в газе: частица свободна, т. е. потенциальная энергия ее равна нулю, поэтому на каждую степень свободы «приходится» $^4/2kT$, а не $kT$. Степеней свободы три. Но три степени свободы мы уже учели.

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{A}{r^{10}}.$$

При $r=d$ сила должна быть равна нулю. Поэтому $A=d^8e^2$, и окончательно

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{e^2d^8}{r^{10}}.$$

Подставив сюда $r=d+x$, разложим $F$ по степеням $x$, ограничившись двумя первыми слагаемыми. Коэффициент при $x$ дает нам значение величины $x$, а при $x^2$ — значение $\beta$. Проделайте, пожалуйста, эти вычисления самостояльно, и вы убедитесь, что

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kdT}{e^2},$$

т. е. $\alpha = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kd}{e^2}$.

Расстояние между atomами $d$ приближительно равно размеру atom—a $d \approx a \approx 3 \cdot 10^{-8}$ см = 3 Å, — и подставляя значения $k$, $e$ и $d$, получим

$$\alpha \approx 5 \cdot 10^{-5} \text{ град}^{-1}.$$

После приведения, и вы убедитесь, что полученная нами (при столу упрощенном рассмотрении) оценка совсем неплюха.

Ну вот, это, пожалуйста, уже совсем все. Отметим только, что порядок величины коэффициента теплового расшириния $a$ мы могли бы и угадать. Взгляните на последнюю формулу для $\Delta V/V$. Из нее видно, что безразмерное отношение $\Delta V/V$ приближительно равно отношению тепловой энергии (в расчете на одну частцу) $kT$ к энергии связи между частцами (здесть $\sim e^2/d$). Отсюда вывод: чем более сльно связаны молекулы в теле, тем меньше у них коэффициент теплового расшириния. Эту закономерность легко устотеть из таблицы, в которых нарушено со значениями $a$ приведены температуры плавления для твердых тел или температуры кипения для жидкости. Но, конечно, подобное утверждение не есть закон природы. Из него возможны исключения…