Решения задач М1125—М1130; Ф1137—Ф1142

29

Решения задач
M1125 — M1130, Ф1137 — Ф1142

Обозначим $k$-е слово через $w_k$. По правилу, указанному в условиям, из слова $w_k$ получается слово $w_{k+1}$. Пользовать этим, можно доказать метод индукции, что при $k > 1$ слово $w_{k+1}$ состоит из повторенного дважды слова $w_k$ и $w_{k-1}$ (для $k = 2$ и $k = 3$ это показано на полях):

$$w_{k+1} = w_k w_{k-1}.$$

В самом деле, применяя наше правление к соответствию (*), мы из $w_k$ получим $w_{k+1}$, а из $w_{k-1}$ получаем $w_k$, поэтому если это соответствие выполнен для некоторого $k$, то выполнен и аналогичное соответствие для $k+1$:

$$w_{k+2} = w_{k+1} w_{k+1} w_k.$$

Тем самым, соответствие (*) доказано для всех $k > 1$.

Отсюда, в частности, следует утверждение a): каждое слово $w_k$ является началом слова $w_{k+1}$; тем самым все $w_k$ — это начальные отрезки бесконечного слова $w = AABAABAAAB$…

Пусть $a_k$ и $b_k$ — число букв $A$ и $B$ в слова $w_k$, $s_k = a_k + b_k$ — число всех букв в слова $w_k$. Из правила перехода и равенства (*) вытекают соответствия

$$b_{k+1} = a_k, a_{k+1} = 2a_k + b_k,$$

(1)

$$a_{k+1} = 2a_k + a_{k-1} (a_1 = 1, a_2 = 2),$$

(2)

$$s_{k+1} = 2s_k + s_{k-1} (s_1 = 1, s_k = 3).$$

Они дают возможность найти первые члены последовательностей $a_k$, $b_k = a_{k-1}$ и $s_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) — см. таблицу.

Обозначим через $N_A(m)$ номер места, на котором встречается $m$-я буква $A$. Если $a_n \leq m < a_{n+1}$, то впервые $m$-я буква $A$ появляется в слова $w_{n+1}$, причем, как легко увидеть из (*),

$$N_A(m) = \begin{cases} s_n + N_A(m - a_n), & \text{ если } m \leq 2a_n; \\ 2s_n + N_A(m - 2a_n), & \text{ если } 2a_n < m \leq a_{n+1}. \end{cases}$$

Пользовать эти правила равенства, находим ответ на вопрос 6):

$$N_A(1988) = 2 \cdot 1393 + N_A(1988 - 2 \cdot 985) = 2786 + N_A(18) = 2786 + 17 + N_A(18 - 12) = 2803 + 7 + N_A(1) = 2811.$$

(Здесь использованы значения $a_9 = 985$, $s_9 = 1393$; $a_4 = 12$, $s_4 = 17$; $a_3 = 5$, $s_3 = 7$; $N_A(1) = 1$.)

Доказать неперiodичность $w$ помощью геометрической представления этой последовательности (см. рисунок на с. 30). На клетчатой бумаге строим ломанную, звенья которой соответствует последовательности буква $w$; букве $A$ — отрезок, направленный вверх, букве $B$ — вправо. Видно, что точки $(b_k; a_k)$, лежащие на этой ломанной и соответствующей словам $w_k$ — начальные отрезки $w$ ($k = 1, 2, 3, \dots$),— лежат влизи одной прямой, проходящей через начальную точку. Доказем это и найдем угловой коэффициент $\tau$ (наклон) этой прямой.

Положим $t_k = a_k/b_k = a_k/a_{k-1}$ (наклон $\tau$ будет равен пределу последовательности $t_k$). Из формулы (2) следует

30

дует, что при $k > 1$
$$t_{k+1} = \frac{a_{k+1}}{a_k} = 2 + \frac{a_{k-1}}{a_k} = 2 + \frac{1}{t_k}.$$
(4)

Обозначим через $\tau$ положительный корень уравнения
$$\tau = 2 + \frac{1}{\tau} \Leftrightarrow \tau^2 - 2\tau - 1 = 0,$$
т. е. $\tau = \sqrt{2} + 1$. Тогда
$$t_{k+1} - \tau = t_{k+1} - 1 - \sqrt{2} = \frac{1}{t_k} + 1 - \sqrt{2} = \frac{1}{t_k} - \frac{1}{\tau} = \frac{\tau - t_k}{t_k\tau},$$
откуда
$$a_{k+1} - \tau b_{k+1} = (t_{k+1} - \tau) a_k = \frac{(\tau - t_k) a_k}{t_k\tau} = \frac{\tau b_k - a_k}{\tau} = \frac{\tau b_k - a_k}{\sqrt{2} + 1},$$
позотому
$$|a_{k+1} - \tau b_{k+1}| < |\tau b_k - a_k|/2.$$

Таким образом, расстояние по вертикали от точки $(b_k; a_k)$ до прямой $y = \tau x$ убивает более чем вдвое при перехождение от $k$ к $k+1$ (а знаки величины $a_k - \tau b_k$ через дюйма). Если бы последовательность $w$ была (хотя бы начинаная с некоторого места) периодической, причем в периоде встречалось бы $p$ букв $A$ и $q$ букв $B$, то все построенная ломанная содержалась бы в некоторой полосе, края которой имелы бы наклон $p/q$. Но прямая $y = \tau x$ завершено выходит из этой полосы и удаляется от нее, поскольку число $\tau = 1 + \sqrt{2}$ irrationalно и не равно $p/q$. Тем самым точки $(b_k; a_k)$ ломанной, начинаная с некоторого $k$, завершено не лежат в такой полосе. Отсюда следует, что последовательность $w$ не имеет периода.

Это доказательство можно изложить и без помощью клетчатой бумаги и ломанной. Коротко говоря, если среди первых $n$ букв $w$ имеется $\alpha(n)$ букв $A$ и $\beta(n)$ букв $B$, то для периодической последовательности $w$ предел $\lim \frac{\alpha(n)}{\beta(n)}$ должен равнять рациональному числу; с другой стороны, для ее последовательности $t_k = \alpha(s_k)/\beta(s_k) = a_k/b_k$ из формулы (4) следует, что предел может равнять лишь $\sqrt{2} + 1$ (из (5) легко видеть, что этот предел существует).

Заметим, что можно усмотреть более глубокую связь числа $\sqrt{2} + 1$ с последовательностью $w$ (и словами $w_k$) из букв $A$ и $B$. Дело в том, что в силу (4)

$$t_k = \frac{a_k}{b_k} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots + \frac{1}{2}}},$$

т. е. $t_k$ — это так называемые «подходящие дроби» бесконечной цепной дроби

$$\tau = 1 + \sqrt{2} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}};$$

позотому точкам $(b_k; a_k)$ ответают узлы решетки, прилежащие к прямой $y = \tau x$ близке, чем узлы с меньшим координатами (см. «Квант», 1983, № 5; 1971,

31

№ 11). Более того, клетки, через которые проходят луч $y=\tau x$ (они закрашены на рисунке 3), образуют цепочки, повторяющий конфигурацию красной ломаной. Это позволяет обнаружить новые свойства ломаной и последовательности $w$; например, она «почти равномерна»: среди любых $N$ букв подряд число букв $A$ может отличаться не более чем на одну (для каждого $N$), т. е. равно $[\tau N]$ или $[\tau N+1]$.

Н. В. Васильев

M1126. В трапецii ABCD с основанием BC и AD на сторонах AB и CD выбраны точки K и M. Доказите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.

Пусть $O$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ данной трапеции (см. рисунок). Выполним последовательное симметрию $S$ относительно биссектрисы угла $AOD$ и готовению $H$ с центром $O$ и коэффициентом $OD/OA$. При этом точка $A$ перейдет в $D$ (см. рисунок), а точка $B$ — в $C$ (поскольку $OC/OB=OD/OA$), угол $OAM$ — в равный ему по условию угол $ODK$. Следовательно, точка $M$, лежащая на пересечении прямых $AM$ и $OD$, перейдет в точку пересечения образов этих прямых — $DK$ и $OA$, т. е. в точку $K$. Итак, точки $A$, $M$, $B$ переходит, соответственно, в $D$, $K$, $C$, а значит, $\angle AMB=\angle DKC$.

Другое решение основано на том, что вокруг четырехугольника $AKMD$, а следовательно, и вокруг $BKMC$, можно описать окружность.

В. Н. Дубровский, А. С. Меркурьев

M1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» имеет складывать, вычитать и находить по данному числу $X$ обратное число $1/X$. Можно ли с помощью этого микрокалькутора получить единицу, имея исходным числом $a)$ $\sqrt{19}+88$; б) $\sqrt{19}+88$; с) $\sqrt{19}+88$? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или полученных в результате вычислений на нем, запрещается.)

a) Ответ: можно. Сначала вычислим

$$a = \frac{1}{\sqrt{19}+88} = \frac{88-\sqrt{19}}{88^2-19},$$

затем получим последовательное числа $88-\sqrt{19}$ (как сумму $88^2-19$ слагаемых $a$), $176=(88+\sqrt{19})+(88-\sqrt{19})$, $1/176$ и $1$ (сумму $176$ слагаемых $1/176$).

b) Ответ: можно. Воспользовемся тождеством

$$\frac{1}{x} - \frac{2}{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1/x-y}} = xy^2.$$

Его левую часть можно вычислять на «Чебурашка». Поэтому из числа $x$ можно получить $x^3$ (при $y=x$), $x^5=x^3 \cdot x^2$, $x^7=x^5 \cdot x^2$, …, $x^{19}$, т. е. из $\sqrt{19}88$ можно получить $88$, затем $1/88$ и $1$.

b) Ответ: нельзя. Примена разрешенные операции к числам вида $a\sqrt{19}+b\sqrt{88}$ с разнональными $a$ и $b$, мы снова будем получить числа того же вида (в частиности, $1/(a\sqrt{19}+b\sqrt{88})=(a\sqrt{19}-b\sqrt{88})/(19a^2-88b^2))$. Поэтому из числа $\sqrt{19}+88$ единицу получить невозможно.

Можно доказать, что 1 получается из числа $a$ в том и только том случae, когда $a$ — корень многочлена

33

Теперь рассмотрим лес $M_1$, состоящий из одной елки и десяти берез на расстоянии 1 км от нее. Для него относение $n/k=0,1$. Построим по $M_1$ описанным способом лес $M_2$, по лесу $M_2$— лес $M_3$ и т. д. Для леса $M_{11}$ это относение будет равно 0,1+10·0,1=1,1>1, и условие Монхгагузена выполняется. Правда, этот лес состоит из $10^{11}$ берез и $11\cdot 10^{10}$ елок, что многоготово даже для легендарного барона. Однако имеется другой пример, подтверждающий, что барон никогда не лжет.

Пусть лес $F_1$ состоит из двух елок и двух берез, расположенных в диаметрально противоположных вершинах квадрата. Расстоянием последовательность $F_1$, $F_2$, …, в которой лес $F_{k+1}$ является обединиемем леса $F_k$ и леса $F'_k$, полученного из $F_k$ переносом на некоторый вектор $\vec{v}_k$ «общого положения» (исключающего пересечения) длиной 1 км и заменой елок на березы и наоборот (рис. 2). Очевидно, лес $F_9$, состоящий из $2^9=512$ елок и такого же числа берез, удовлетворяет условию Монхгагузена. Применяя к нему конструкцию, описанной в начале решения, получим вполне реальный лес из $21\cdot 512=10752$ деревьев, также удовлетворяющий этому условию, для которого относение числа елок к числу березов 1,1>1.

Ф. Л. Назаров

M1130. На плоскости дан выпуклый n-угольник, у которого длина к-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ (k=1,2,…,n). Доказите неравенство
$$2 < \frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4.$$

Рис. 1.

Очевидно, что длина проекции выпуклого многоугольника на любую прямую равно двое меньше суммы длины проекций его сторона на эту прямую (рис. 1), и следовательно, меньше половины его перimetра $p$. Поэтому
$$\frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} > \frac{2a_1}{p} + \dots + \frac{2a_n}{p} = 2 \cdot \frac{a_1 + \dots + a_n}{p} = 2.$$

Улучшить эту оценку нельзя, как показывает пример «сплоскотого» многоугольника, у которого $d_i=p/2$ при всех $i$.

Для доказательства верхней оценки построим некоторый вспомогательный многоугольник. Отложим от одной точки $n$ пар противоположных векторов, каждый из которых равен по длине и параллелен одной из сторона данного $n$-угольника $M$, и занумерцем эти векторы по часовой стрелке: $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{2n}$ (рис. 2); оценindo, $\vec{v}_i = -\vec{v}_{i+n}, i=1, 2, \dots, n$. От конца $B_1$ вектора $\vec{v}_1$ отключим вектор $\overrightarrow{B_1}B_2 = \vec{v}_2$, от его конца $B_2$ — вектор $\overrightarrow{B_2}B_3 = \vec{v}_3$ и т. д. (рис. 3). Последняя точка $B_{2n}$ совпадает с началом $\vec{v}_1$. Легко видеть, что полученный $2n$-угольник $N=B_1B_2...B_{2n}$ выпуклый, имеет центр симметрии $O$ и каждые две его противоположные стороны равны и параллельны одной из сторона многоугольника $M$. В силу приведенного в начале решения утверждения длина проекции $N$ на любую прямую равна сумме длини проекций векторов $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ на эту прямую, т. е. вдвое

34

Большое длины проекции $M$ на нее. Следовательно, рассматривается в задаче выражение $a_1/d_1 + \dots + a_n/d_n$ имеет для многоугольников $N$ и $M$ одинаковое значение. Поэтому достаточно доказать наше неравенство для $N$. Пусть $a_1 = B_1B_2$, $d_1$ — длина проекции $N$ на $B_1B_2$, $h_1$ — расстояние между прямыми $B_1B_2$ и $B_{n+1}B_{n+2}$. Тогда (см. рис. 3 для $n=3$)

$$\frac{a_1}{d_1} = \frac{a_1h_1}{d_1h_1} \leq \frac{S(B_1B_2B_{n+1}B_{n+2})}{S(N)} = \frac{4S(OB_1B_2)}{S(N)},$$

где $S$ обозначает площадь. Точно так же получаем, что

$$\frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4 \cdot \frac{S(OB_1B_2) + S(OB_2B_3) + \dots + S(OB_{2n}B_1)}{S(N)} = 4.$$

В случае квадрата это неравенство превращается в равенство.

Д. В. Фомин

Ф1137. Электростатическая генератор (см. рис.нок) состоит из непроводического цилиндра, на котором налеены полоски фольги $\Phi_1$ и $\Phi_2$, наружных обкладок $O_1$ и $O_2$, неподвижных токостемников $T_1$ и $T_2$ снаружи и неподвижной перемычки внутри с токостемниками $T_3$ и $T_4$. В исходном положении полоски фольги находятся направить наружных обкладок и образуют с ним конденсаторы emкостью $C_1$ каждый. К внешним обкладкам подключаем конденсатор emкостью $C_0$, заряженный предварительно до наружения $U_0$. Каким становится наружжение на этом конденсатор после $N$ оборотов цилиндра по часовой стрелке? Емкость между обкладками и полосками фольги в развитиом состоянии пребрежимо мала.

При поворот цилиндра на пол-оборота полоски фольги $\Phi_1$ и $\Phi_2$ помещаются местами, но снова, как и в исходном положении, они вместе с обкладками $O_1$ и $O_2$ образуют два конденсатора emкостью $C_1$ каждый. При этом наприряжение на конденсаторе emкостью $C_0$ будет в некотором числе $k$ большие начальное:

$$U = kU_0.$$

Следующие пол-оборота увеличат напряжение еще в $k$ раз и т. д. Поэтому через $N$ оборотов наприряжение на конденсаторе emкостью $C_0$ будет

$$U_N = k^{2N}U_0.$$

Осталось только найти число $k$.

В исходном положении наприряжение между обкладками $O_1$ и $O_2$ равно $U_0$. Это наприряжение приложено к последовательному соединенным конденсаторам с одинаковыми emкостими $C_1$. Следовательно, наприряжение на каждом конденсаторе $U_1 = U_0/2$, а заряд $q_1 = C_1U_0/2$.

Когда поворот цилиндра приведет к контакту полоски с токостемниками $T_1$ и $T_2$, заряды с этих полосок уйдут на пластинные конденсатора emкостью $C_0$. Уйдет заряды и с обкладок $O_1$ и $O_2$. Поскольку emкость между обкладками и полосками фольги в развитиом состоянии пребрежимо мала, обкладки разрядятся почти полностью. Поэтому к начальному заряду $C_0U_0$ положительной пластинные конденсатора добавится еще заряд $C_1U_0/2$ с полоски фольги $\Phi_1$ и заряд $C_1U_0/2$ с обкладки $O_2$, отрицательные же заряды перейдут на отрицательную пластину конденсатора. Таким образом, на конденсаторе emкостью $C_0$ оказывается заряд

$$q = (C_0 + C_1)U_0.$$

При дальнейшем поворот цилиндра его контакт с токостемниками $T_1$ и $T_2$ прекратиется,ровно через полооборота полоски $\Phi_1$ коснетя токостемника $T_4$, а полоска $\Phi_2$ — токостемника $T_3$, полоски прибли-

35

заятся к обкладкам и вовь образуют два конденсатора емкостью $C_0$ каждый. Заряд $q$ при этом перераспределяется между пластиной конденсатора емкостью $C_0$ и обкладкой $O_2$:

$$\left(C_0 + C_1\right)U_0 = C_0U + C_1U/2,$$

откуда

$$U = \frac{C_0 + C_1}{C_0 + C_1/2}U_0.$$

Коэффициент при $U_0$ как раз и дает нам число $k$, поэтому окончательное напряжение на конденсаторе емкостью $C_0$ будет

$$U_N = \left(\frac{C_0 + C_1}{C_0 + C_1/2}\right)^{2N}U_0.$$

Нибольшее значение напряжения отвечает следующим, когда $C_0$ много меньше $C_1$:

$$U_{N_{\max}} \approx 2^{2N}U_0.$$

Однако у реальных электростатических генераторов при достижении больших напряжений проискодит электрический пробой.

И. И. Воробье

Ф1138. Разгоняясь с максимальным возможным усокренем на прямом участке шоссе, конденсильную увеличает скорость от $v_1 = 10,0$ м/c до $v_2 = 10,5$ м/c за время $\Delta t_1 = 0,1$ с. За какое время он смот бы сделать то же самое на колъевом участке шоссе с радиусом $R = 30$ м? При каком радиусе колъца он вообше не смот бы увеличить скорость выше 10 м/c? Плоскость шоссе горизонтальная.

Максимальное возможное усокренение

$$a = \frac{v_2 - v_1}{\Delta t_1} = 5 \text{ м/c}^2$$

определяется силой треня и остается одним и тем же как для прямого, так и для колъевого участка шоссе. При движении по окружности полное усокренение $a$ складывается из касательного усокрения $a_K(a_K = \Delta v/\Delta t)$ и нормального усокрения $a_H(a_H = v^2/R)$:

$$\vec{a} = \vec{a}_K + \vec{a}_H,$$

или

$$a^2 = a_K^2 + a_H^2,$$

откуда

$$a_K = \sqrt{a^2 - a_H^2}.$$

В нашем случае скорости меняется мало, и касательное усокренение можно считать постоянным. Тогда искомое время

$$\Delta t_2 = \frac{\Delta v}{a_K} = \frac{v_2 - v_1}{\sqrt{a^2 - (v_1^2/R)^2}} = 0,15 \text{ с.}$$

Minimalный радиус поворота при скорости $v_1$

$$R_{\min} = \frac{v_1^2}{a} = 20 \text{ м.}$$

А. Р. Зильберман

36

Ф1139. U-образная трубка частно заполнена водой (см. рисунок). Верхние концы трубки закрывают и наревают правое колено трубки до температуры $t_2 = 100^\circ\text{C}$, а левое — до $t_1 = +99.5^\circ\text{C}$. Определять установившуюся разность уровней воды в коленах трубки. Справа: на высоте 23 этажа (70 м над землей) температура кипения воды на 0,25 градуса ниже, чем на уровне земли. Телловым расширением стека при расчете претенбречь.

Каждеое из колен трубки содержит над водой воздуха (которые были там до нагрева) и насыщенный водной пар. Будем считать, что при нагревании испарилось совсем немного воды (это потом легко можно проверить), т. е. когда уровень воды в одном из колен поднялся на $\Delta h$, в другом он должен опуститься тоже на $\Delta h$, и запишем условие воды в трубке после нагрева:

$$p_1 + p_{\text{н1}} + \rho_{\text{воды}} g(2\Delta h) = p_2 + p_{\text{н2}},$$

где $p_1$ и $p_2$ — давления воздуха, $p_{\text{н1}}$ и $p_{\text{н2}}$ — давления насыщенного водыного пара.

Давления воздуха легко выразить через атмосферное давление $p_0$, измененная объемом и температур:

$$p_1 = p_0 \frac{T_1}{T_0} \frac{h_0}{h_0 - \Delta h}, p_2 = p_0 \frac{T_2}{T_0} \frac{h_0}{h_0 + \Delta h}.$$

Отсюда найдем разность давления воздуха:

$$\Delta p_{\text{возд}} = p_1 - p_2 = p_0 \left( \frac{T_1}{T_0} \frac{1}{1 - \Delta h/h_0} - \frac{T_2}{T_0} \frac{1}{1 + \Delta h/h_0} \right) =$$

$$= \frac{p_0}{T_0} \frac{T_1 - T_2 + (T_1 + T_2)\Delta h/h_0}{1 - (\Delta h/h_0)^2} \approx \frac{p_0}{T_0} \left( T_1 - T_2 + (T_1 + T_2)\frac{\Delta h}{h_0} \right)$$

(здесь мы учили, что $\Delta h/h_0 \ll 1$).

Согласно условия задачи, разность давления насыщенного пара в коленах трубки равна давлению столбца воды высотой $H = 140$ м:

$$\Delta p_{\text{н}} = p_{\text{н2}} - p_{\text{н1}} = \rho_{\text{возд}} g H = \frac{p_0 M_{\text{возд}}}{RT_0} g H.$$

Тепер из условия равновесия найдем отношение

$$\frac{\Delta h}{h_0} = \frac{T_2 - T_1 + M_{\text{возд}} g H/R}{T_1 + T_2 + 2 \rho_{\text{возд}} g h_0 T_0/p_0} \approx 7 \cdot 10^{-3}$$

и установившуюся разность уровней воды

$$2\Delta h \approx 8,4 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,84 \text{ см}$$

(здесь мы приняли $T_0 = 273$ К, $p_0 = 10^5$ Па, $h_0 = 60$ см).

А.Р. Зильберман

Ф1140. Заряженная часть понадает в среду, где на нее дейстует сила сопротивления, пропорциональная скорости. До полной остановки часть понадает путь $L = 10$ см. Если в среде имеет некоторые магнитное поле, перендукулярное скорости частицы, она при той же начальной скорости остановится на расстоянии $l_1 = 6$ см от точки входа в среде.

При наличии магнитного поля на частицу в среде действуют две взаимно перпендикулярные и пропорциональные скорости частицы. Это сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ —

$$\vec{F}_{\text{тр}} = kv = k\Delta s/\Delta t$$

и сила Лоренца $\vec{F}_{\text{л}} = qBv = qB\Delta s/\Delta t.$

Изменение импульса частицы $m\Delta v$ за время $\Delta t$ будет векторно складывать из импульса силы трения $\vec{F}_{\text{тр}} \Delta t$ и импульса силы Лоренца $\vec{F}_{\text{л}} \Delta t$, образуя прямой треугольник (рис. 1). Подобный же треугольник образует и соответствующее векторы за все время движения частицы в среде (рис. 2; здесь $l$ —

37

среду. На каком расстоянии $l_2$ от точки входа частица остановилась бы, если бы поле было в два раза меньше?

Ф1141. В настоящее время в связи с открытом явления высокотемпературной сверхпроводимости изучается вопрос о создании линей передачи постоянного тока без потерь энергии на джоулево телло. Предполагается использовать для передачи постоянного тока коаксиальный кабель, состоящий из внутренней цилиндрической оболочки, выполенных из сверхпроводника. Электрическое и магнитное поля в такой системе изобравены на рисунке. Известно, что индуктивная магнитное поля у поверхности сверхпроводника не может превышать $B_{\max}$, иначе разрушается сверхпроводимость, а напряжение электрическое поля не должна превышать $E_{\max}$, иначе произойдет электрический пробой изолирующий процесс кабеля. Определите, во сколько раз изменяется максимальная мощность постоянного тока, передаваемая по такому кабелю, если диаметры внутренней и внешней оболочки увеличить в два раза?

Рис. 1. Рис. 2.

расстояние от точки входа в среду до точки остановки, $v_0$ — начальная скорость частицы в среде).

В отсутствие магнитного поля прямогольный треугольник, изображенный на рисунке 2, вырождается в прямую линию, и

$$mv_0 = kL.$$

В магнитном поле с индукцией $B$
$$mv_0 = \sqrt{(kl_1)^2 + (qBl_1)^2}.$$

Аналогично в поле с индукцией $B/2$
$$mv_0 = \sqrt{(kl_2)^2 + (qBl_2/2)^2}.$$

Из последних трех соответствий находится $l_2$:

$$l_2 = l_1 \frac{2}{\sqrt{1 + 3(l_1/L)^2}} = 8,3 \text{ см.}$$

А. И. Буздин

Как видно из условия задачи, индукция $B$ магнитного поля принимает максимальное значение величине внутренней жилы кабеля. Оно не должно превышать заданного величины $B_{\max}$, иначе произойдет разрушение сверхпроводимости внутренней жилы. Это условие определяет максимальный ток $I_{\max}$, который можно пропускать по кабелю:

$$B_{\max} = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_{\max}}{d/2} = \frac{\mu_0 I_{\max}}{\pi d},$$

$$I_{\max} = \frac{\pi d B_{\max}}{\mu_0}.$$

Таким образом, при заданной значении $B_{\max}$ максимальный ток пропорционален диаметру внутренней жилы кабеля:

$$I_{\max} \sim d.$$

Напряжение $E$ электрического поля в пространстве между цилиндрическими проводниками изменяется обратно пропорционально расстоянию $r$ от оси цилиндров:

$$E(r) \sim \frac{1}{r}.$$

Качественное эту зависимость легко понять с помощью приведения на рисунке силовых линей электрического поля (вспомните, что приженность электрического поля характеризует густоту силовых линей, т. е. число линей, произвольных единиц плоскости). Количество зависимость $E(r)$ попробуйте получить с помощью поля.

Итак, приженность электрического поля, так же как и индукция магнитного поля, наиболее значение принимает величину внутренней жилы кабеля. Именно в этом месте приженность не должна превышать $E_{\max}$, иначе произойдет электрический пробой. Если при $r = d/2$ приженность поля

38

За. Какую максимальную мощность можно передать по кабелю с диаметрами оболочек $D=8$ см, $d=3$ см, если $E_{\max}=20$ кВ/см и $B_{\max}=5 \cdot 10^{-2}$ Тл? Примечание: индукция магнитного поля в пространстве между цилиндрическими проводниками совпадает с полем прямого проводника с током I:

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

($\mu_0=4\pi \cdot 10^{-7} H/A^2$ — магнитная постоянная).

Ф1142. Образование кометного семейства Юпитера описывается следующей схемой. Комета падает с большого удаления без начальной скорости на Солнце и пролетает невалеке от Юпитера (см. рисунок). После прекращения заметного влияния поля тяготения Юпитера комета вновь движется в поле Солнца, причем ее скорость оказывается направленной противолокно с скоростью Юпитера, а фелей новый орбиты кометы располагается больши орбиты Юпитера, т. е. на расстоянии $R=5,2$ а. е. от Солнца. На каком расстоянии от Солнца будет располагаться перцелый орбиты такой кометы?

Равна $E_{\max}$, то в пространстве между цилиндрическими проводниками

$$E(r) = E_{\max} \frac{d/2}{r}.$$

Отсюда можно найти максимальное напряжение $U_{\max}$ между электродами:

$$U_{\max} = \int \frac{d/2}{d/2} E_{\max} \frac{d/2}{r} dr = \frac{E_{\max} d}{2} \ln \frac{D}{d}.$$

Если сравниваемые в задаче кабели геометрические подобыны, т. е. $D/d=$const, то максимальное напряжение пропорционально диаметру внутренней жилы:

$$U_{\max} \sim d.$$

Следовательно, максимальная мощность, передаваемая по кабелю,

$$P_{\max} = U_{\max} I_{\max} \sim d^2.$$

При увеличении диаметров внутренней жилы и наружной оболочки кабеля в 2 раза максимальная передаваемая мощность возрастает в 4 раза. Для кабеля, параметры которого заданы в условиях задачи, максимальная мощность равна

$$P_{\max} = U_{\max} I_{\max} = \frac{\pi d^2 E_{\max} B_{\max}}{2\mu_0} \ln \frac{D}{d} \approx 10^8 \text{ Вт.}$$

С. М. Козел

Заметим, что Солнце более чем в $10^3$ раз массивное Юпитера, так что размеры области, где тяготение Юпитера сравниваимо с влиянием Солнца, в $10^6$ раз меньше радиуса орбиты планы. Вместе с тем, время существенного взаимодействия кометы с Юпитером несопоставимо мало по сравнению с периодами обращения Юпитера и кометы вокруг Солнца, следовательно, смысление кометы за это время ничтожно. Поэтому мы можем движение кометы разбит на три независимых этапа: 1) движение кометы из удаленного положения по направлению к Солнечной системе под действием тяготения Солнца, 2) «мгновенный» разворот в поле Юпитера, 3) движение по эллиптической орбите вокруг Солнца (причем на этом этапе влияние Юпитера учитывается не надо).

Из условия движения Юпитера по круговой орбите под действием прятяжения Солнцем массой $M$

$$\frac{v^2}{R} = \frac{GM}{R^2}$$

получим скорость Юпитера $v$:

$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}.$$

Скорость кометы $v_k$ при подлете к Юпитеру в конце первого этапа определяем из закона сохранения

39

энергии (на бесконечно большом удалении энергия, как обычно, прията равной нулю):

$$\frac{v^2_k}{2} - \frac{GM}{R} = 0, \quad v_k = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = v\sqrt{2}.$$

Направления скоростей кометы и Юпitera вначале перепределились друг другу, значит, относительно Юпitera скорость кометы равна

$$v'_k = v\sqrt{3}.$$

После выхода из поля тяготения Юпitera (в начале третього этапа) скорость кометы относительно планеты изменяется только по направлению, но по отношению к Солнцу она становится равной

$$v_1 = v(\sqrt{3} - 1).$$

Тепер комета вновь взаимодействует только с Солнцем. В афелии и в перигелини скорость перепределения радиусу-вектору, проведенном из Солнца, значит, второй закон Кеплера запишется так:

$$v_1R = v_2x.$$

Из закона сохранения энергии —

$$\frac{v^2_1}{2} - \frac{GM}{R} = \frac{v^2_2}{2} - \frac{GM}{x}.$$

Решая совместно полученные уравнения, мы найдем два ответа:

$$x_1 = R = 5,2 \text{ а. e.}$$

— это афелий, для которого уравнение обращаются в тожества, и

$$x_2 = R(2 - \sqrt{3}) / (\sqrt{3} - 1) = 0,37 \quad R = 1,9 \text{ а. e.}$$

— это и есть искомое расстояние в перигелини.

В. Е. Белончкин

Вниманию подписчиков!

В настоящее время колчество страниц в нашем журнале увеличивается на 25 %, что позволяет нам открыть ряд новых рубрик.

Для компенсации расходов по увеличению объема журнала цена каждой номера журнала увеличивается на 5 копеек. Новая цена журнала — 45 копеек. К сожалению, решение об увеличении объема и стоимости журнала было утверждено после выпуска каталога «Союзпечати» и начала подписки на 1989 год. Если вы уже оформили подписку, просим вас в соответствиицем отделении «Союзпечати»

произвести дополнительную по 5 копеек за каждый номер.

Для тех, кто не успел подписаться на «Квант» с начала года, напоминаем, что подписка на него принимается без ограничений в агентствах «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи. Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзпечати» 70465.