Прямоугольный треугольник

56

Прямогольный треугольник
Л. Д. КУРЛЯНДЧИК

Что интересного можно сказать про прямогольный треугольник? На первый взгляд, ничего — вроде все про него известно. Не будем, однako, спешить. Читая эту заметку, вы увидите много интересных и нетривиальных свойств этой простой фигуры. может быть, некоторые из вас обнаружат и другие свойства, не упомянутые здесь.

Почти очевидные соотношения

Итак, пусть ABC — прямогольный треугольник, точка H — основание высоты, опущенной из вершины прямого угла C (рис. 1). Как обычно, введем обозначения
AB=c, AC=b, BC=a, AH=b’, BH=a’,
CH=h,
∠A=α, ∠B=β.

Напомним простые утверждения и соотношения, известные вам из школьного курса.

1. Треугольники BCH, ACH и ABC попарно подобны
2. a²=a’c, b²=b’c.
   Из соотношения 2, кстати, следует теорема Пифагора:
   a²+b²=a’c+b’c=c(a’+b’)=c².
3. h²=a’b’, h=ab/c.
4. Пусть R — центр вписанной окружности, a r — ее радиус (рис. 2).

Рис. 1.

57

Тогда $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Доказательство. Заметим, что четырехугольник $RKCL$ — квадрат, и воспользовемся равенством отрезков касательных: $c = a - r + b - r$, откуда $r = \frac{a+b-c}{2}$.

5. $\angle ARB = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle A - \frac{1}{2} \angle B = 135^\circ$.

Более сложные утверждения

Впишем окружности в треугольники $ACH$ и $BCH$ (рис. 3). Пусть их радиусы равны $r_1$ и $r_2$ тогда

6. $r + r_1 + r_2 = h$.

Доказательство. Имеем $r = \frac{a+b-c}{2}$, $r_1 = \frac{h+b'-b}{2}$, $r_2 = \frac{h+a'-a}{2}$. Складывая эти выражения, получаем требуемое.

7. $r^2 = r_1^2 + r_2^2$.

Доказательство. Из подобия треугольников $ACH$ и $ABC$ следует, что $\frac{r_1}{r} = \frac{b}{c} = \cos \alpha$, кроме того, $\frac{r_2}{r} = \frac{a}{c} = \cos \beta = \sin \alpha$. Итак, $r_1 = r \cos \alpha$, $r_2 = r \sin \alpha$. Следовательно, $r_1^2 + r_2^2 = r^2$.

8. $AC = AQ$, $BC = BP$.

Доказательство. Первое равенство следует из цепочки равенств углов $\angle CQA = \angle BCQ + \angle B = \frac{1}{2} \alpha + \beta = \angle ACH + \angle HCQ = \beta + \frac{1}{2} \alpha = \angle ACQ$. Второе равенство доказывается аналогично.

9. Точка $T$ (см. рис. 3) является точкой пересечения высот (ортоцентром) треугольника $CRS$ и центром описанной окружности треугольника $CPQ$.

Рис. 2.

Доказательство. BS и AT — биссектрисы углов B и A. Это значит, что прямые BS и AT перpendикуляры CP и CQ соответственно и делят эти отрезки пополам.

10. Прямы $T_1R$ и $T_1S$ параллельно соответствующего BC и AC.

Доказательство. Из точки $T_1$ опустим перpendикуляр $T_1R_2$ на AC (рис. 4). Пусть $R^*$ — точка пересечения $TR_2$ с AT. Докажем, что $R^* = R$.

Треугольники $ATT_1$ и $AR^*R_2$ подобны. Позотому $\frac{R^*R_2}{TT_1} = \frac{AR_2}{AT_1} = \cos \alpha$, и, следовательно, $R^*R_2 = TT_1 \cos \alpha = r \cos \alpha = r_1$, т. е. точка $R^*$ лежит на биссектрисе угла A и удалена от AC на расстояние $r_1$, но это значит, что $R^* = R$. Аналогично доказывается, что $T_1S \parallel AC$.

Упражнение 1. Самостояльно доказите следующее утверждение:

11. Прямая PS параллельна AT, а прямая RQ параллельна BT.

12. Треугольники ATB, BSC и ARC подобны.

13. Точки H и T_1 лежат на окружности с диаметром RS.

14. $ST_1 = RT_1$.

Доказательство. Так как $\triangle T_1RR_1$ — прямой угольный и $\angle RT_1R_1 = \beta$, имеем $T_1R \sin \beta = r_1 = r \sin \beta$, откуда $T_1R = r$. Аналогично доказывается, что $T_1S = r$.

15. $CU = CV$.

Доказательство. Треугольник $ST_1R$ — равноведренный прямой угольный. Позотому $\angle TS_1R = \angle CUV = 45^\circ$. А это и значит, что треугольник $CUV$ — равноведренный.

16. Точки Q, S, T, R, P лежат на окружности с центром в точке $T_1$ и радиусом $r$.

Доказательство. Точки S и R лежат на этой окружности. Докажем,