Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе

69

Московский авиационный институт им. Серго Орджоникидзе

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Сумма пяты начальных членов арифметической прогрессии меньше суммы ее последующих пяты членов на 50. На сколько десятий член прогрессии больше ее второго член?
2. Найдите критические точки функции
   $$f(x) = \sin 2x + 2 \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right).$$
3. Решите неравенство
   $$\sqrt{\lg x} + \sqrt{25 - \lg x} \leq 7.$$
4. Площадь прямоугольного треугольника равна $P$, а площадь круга, вписанного в него, равна $Q$. Найдите площадь круга, описанного около этого треугольника.
5. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} 2x^2 + xy = 1, \\ \frac{9x^2}{2(1-x)^4} = 1 + \frac{3xy}{2(1-x)^2}. \end{cases}$$
6. В прямой треугольной призме $ABCA'B'C'$ через точки $B, C$ и $A'$ проведено сечение, площадь которого равна $S$, а расстояние от плоскости сечения до вершины $B'$ равно $h$. Найдите объем призмы.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\cos \left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \cos^2 2x = 1 - \cos^2 \left( \frac{\pi}{2} - 2x \right).$$

2. Найдите отношение третьего члена убывающей геометрической прогрессии к пятнадцатому ее члену, если сумма dvенацати членов этой прогрессии, начная с тринадцатого, составляет 40 % суммы ее начальных dvенацати членов.

3. Найдите область определения функции
   $$f(x) = \sqrt{\log_{3x+1} \frac{x-2}{x-4}}.$$

4. Какой наиболее объем может иметь правильная четырехугольная парамida, боковое ребро которого имеет длину 1?

5. Найдите все решения системы
   $$\begin{cases} 5x^2 + 8xy + 4y^2 = 4 + 4x, \\ \sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) = 0. \end{cases}$$

6. На координатной плоскости заданы точки $O(0; 0), A(0; 1), B(2; 0), C(4; 0)$. Найдите координаты $(x; y)$ точки $M$ такой, что угол OMA равен углу CMB, а угол MAO равен углу MBC.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. На цилиндр намотана нить, конец которого закреплен на стойке в верхней точке наклонной плоскости (рис. 1). Коэффициент треяния цилиндра о плоскосте $\mu$. При каком максимальном значении угла $\alpha$ цилиндр не будет скатывать с наклонной плоскости?
2. Шарик массой $m$ подвешен при помощи двух пружин, жесткости которых $k_1$ и $k_2$ (рис. 2). Найдите частоту колбаний шарика. Изменится ли частота, если пружины помещены местами?
3. В сосуд с водой, объем которого $V_1 = 0,25$ л, а температура $t_1 = 20^\circ\text{C}$, помещили $m_2 = 50$ г расплавленного свинца, имеющего температуру $t_2 = 400^\circ\text{C}$. Какая температура установится в результате теплопробемена? Какая часть воды остается в сосуде? Удельная тепломкость воды $c_1 = 4,2 \cdot 10^3\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$, температура плавления свинца $t_{\pi\pi} = 327^\circ\text{C}$, его удельная температура $\lambda = 0,226 \cdot 10^5\text{Дж/кг}$, удельные тепломкости расплавы и твердого свинца считать одинаковыми и равными $c_2 = 1,3 \times 10^2\text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$. Потерями тепла пребрежь.
4. Частца, имеющая заряд $q$, разогнется до энергии $W$ и влетает в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Заряд конденсатора $Q$, его емкость $C$, расстояние между пластинами $d$. Первоначально частца находится на одинаковом расстоянии от пластин. Какой длины должны быть каждой пластина, чтобы частца не упала на ее поверхности?
5. Фотографой хочет снять финиш бета спортеменов с боку. Расстояние от объекта photoаппарата до ближайшего бегуна $d = 10$ м. Фокусное расстояние объекта photoаппарата $F = 100$ мм. Разыстьость контуров изображения на фотопленке не должна превышать $\Delta l = 0,1$ мм. Оцените время экспозиции, если спортемены финишируют со скоростью около $v = 10$ м/с.
6. Красная граница фотофекта для некоторого металла $\lambda_{\max} = 2750\text{Å}$. Чему равно минимальное значение энергии фотона, вызывающее фотофекту?