Bài toán M121—M125; F133—F137

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ
SỐ LƯỢNG

Phần này của tạp chí được duy trì từ số này đến số khác. Trong đó, cùng với những bài toán tương đối dễ, bài toán được xuất bản, bao gồm một số câu hỏi được điều chỉnh dần dần. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Chúng thường khó khăn ngay cả đối với các chuyên gia về toán học và vật lý. Vì vậy, đừng kiểm tra nếu bạn không thể đối phó với nhiệm vụ này hoặc nhiệm vụ kia. Hãy cố gắng quay lại với nó theo thời gian.

Nhưng bây giờ lời giải đã được tìm thấy. Tuy nhiên, người ta không nên nghỉ ngơi về điều này. Hãy suy nghĩ về cách bạn có thể khái quát hóa bài toán, làm rõ hoặc củng cố kết quả của nó.

Trong phần thứ hai của phần này, chúng tôi sẽ đặt lời giải bài toán (khoảng sáu tháng sau khi công bố các điều kiện bài toán) có tính đến các bức thư do độc giả gửi. Chúng tôi khuyên bạn nên làm quen với các giải pháp ngay cả đối với những người không cố gắng tự mình giải quyết những bài toán này.

Ở hầu hết các văn phòng, chúng tôi cho biết tên của những độc giả đã gửi lời giải thành công nhất.

Những học sinh thường xuyên gửi lời giải đặc biệt nguyên bản và đầy đủ sẽ nhận được quyền tham gia các vòng khu vực của Cuộc thi Olympic toàn năng dành cho học sinh cùng với những người chiến thắng trong các kỳ Olympic khu vực. Ngoài ra, các biên tập viên của «Kvant» đã thiết lập một số giải thưởng đặc biệt dành cho các tác giả của lời giải thú vị nhất.

Và một điều cuối cùng. Nghĩ ra bài toán thường khó hơn việc giải nó. Nó khó khăn hơn nhưng cũng thú vị hơn. Hãy thử nghĩ ra bài toán và khâu chúng vào cho chúng tôi. Chúng tôi sẽ xuất bản những sản phẩm hay nhất trong “Bài toán Kvant”.

Gửi lời giải và bài toán mới của bạn đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt 15, tòa soạn tạp chí «Kvant», “Bài toán Kvant. Trên phong bì, sau địa chỉ, ghi rõ lời giải bạn đang gửi bài toán nào (ví dụ: M122, M124, F146). Lời giải mỗi bài toán (nếu bạn gửi ngay trên (các) tờ riêng biệt chưa viết thì các trang sẽ được đánh số.

Cuối cùng, cho biết họ, tên, họ hàng, mã sáu chữ số, địa chỉ, cũng như lớp và trường của bạn. Lời giải chỉ được xem xét nếu chúng được nhận không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tạp chí tương ứng.

37

3 MỤC TIÊU

M121. Chứng minh rằng với $n$ số thực $a_1, a_2, \dots, a_n$ luôn tồn tại một số tự nhiên $k \leqslant n$ sao cho mỗi số $k$

$$a_k, \frac{a_{k-1}+a_k}{2}, \frac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}{3}, \dots, \frac{a_1+a_2+\dots+a_k}{k}$$ không vượt quá

$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}.$$

M122. Hình ngũ giác $ABCDE$ nội tiếp trong một vòng tròn. Được biết, khoảng cách từ điểm $E$ đến các đường thẳng $AB, BC$ và $CD$ bằng với sự tương ứng $p, q, r$. Tìm khoảng cách từ điểm $E$ đến đường thẳng $AD$.

M123. Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ sao cho

$$1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot \dots \cdot (2m-1)! = \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)!$$

(sản phẩm $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ được ký hiệu là $n!$).

V. P. Beshkarev

M124. Cho một hình tam giác $ABC$. Tìm một điểm $O$ bên trong nó có tính chất sau: với mọi đường thẳng đi qua điểm $O$ và cắt các cạnh của tam giác $AB$ tại điểm $K$ và $BC$ tại điểm $L$, đẳng thức

$$\frac{AK}{KB} + \frac{CL}{LB} = 1.$$

Nói chung, chứng minh rằng nếu $p$ và $q$ là các số dương tùy ý thì trong tam giác $ABC$ người ta có thể xác định một điểm $O$ sao cho mọi đường thẳng $KL$ đi qua điểm này ($K$ nằm trên $AB$, $L$ trên $BC$),

$$p \frac{AK}{KB} + q \frac{CL}{LB} = 1.$$

G. Nomen (học sinh lớp 10)

M125. a) Có tồn tại dãy vô hạn các số tự nhiên thỏa mãn tính chất sau:

Không có số nào chia hết cho số kia, nhưng trong số ba số đó bạn có thể chọn hai số có tổng chia hết cho số ba?

6. Nếu không, có thể có bao nhiêu số trong một tập hợp có thuộc tính này?

b) Giải tương tự bài toán với điều kiện bổ sung là tập hợp chỉ được phép đưa các số lẻ vào.

Đây là một ví dụ về bộ bốn số như vậy: 3, 5, 7, 107. Ở đây, trong ba số 3, 5, 7, tổng 5+7 chia hết cho 3; trong bộ ba 5, 7, 107, tổng 107+5 chia cho 7; trong bộ ba 3, 7, 107 thì tổng 7+107 chia cho 3; cuối cùng, trong bộ ba 3, 5, 107, tổng 3+107 chia cho 5.

Yu. I. Nonin

F133*. Một xích kim loại kín được nối bằng ren với trục định tâm của máy và quay với vận tốc góc $\omega$ (Hình 1). Trong trường hợp này, sợi chỉ tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng.

Cơm. 1.