[Mẩu sách “Khởi đầu cho Toán học]”

52

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN

Số này đăng các đoạn trích từ một cuốn sách được xuất bản gần đây của giáo viên tiếng Anh nổi tiếng và nhà phổ biến toán học Walter Warwick Sawyer *]. Rõ ràng là cực kỳ khó khăn ở mức độ vừa đủ cao, đồng thời có thể tiếp cận được đối với nhiều đối tượng để thể hiện một bức tranh toàn cảnh về các phần quan trọng của toán học hiện đại mà không tô điểm, không mơ hồ và bóp méo.

W. W. Sawyer là một trong những tác giả thành công trong lĩnh vực này. Nó chứa nội dung hấp dẫn và rất có ý nghĩa về một số đặc điểm trong hoạt động sáng tạo của các nhà toán học chuyên nghiệp.

Chúng tôi hy vọng rằng việc đọc cuốn sách này sẽ mang lại cho bạn sự hài lòng và mang đến cho bạn cái nhìn thoáng qua về thế giới toán học và các nhà toán học. Để hiểu những gì bạn đọc, “những ký ức mơ hồ nhất về môn toán ở trường là đủ”.
Ấn phẩm được biên soạn bởi V. N. Berezin và M. L. Smolyansky.

Hầu hết mọi khám phá toán học đều dựa trên một ý tưởng rất đơn giản. Sách giáo khoa thường che giấu sự thật này. Chúng thường chứa đựng những kết luận rườm rà và do đó tạo ra ấn tượng rằng các nhà toán học là những người dành cả cuộc đời mình sau bàn giấy và dịch hàng tấn giấy tờ. Đây là điều vô nghĩa. Nhiều nhà toán học làm việc rất thành công khi đang tắm, trên giường, trên tàu hỏa hoặc khi đang đi xe đạp (tốt nhất là khi đường ít). Tính toán toán học được thực hiện trước hoặc sau khi mở. Bản thân sự khám phá sẽ nảy sinh từ những ý tưởng cơ bản.

Ít người nhận ra phạm vi của toán học hiện đại rộng lớn đến thế nào. Có lẽ việc thông thạo tất cả các ngôn ngữ hiện có sẽ dễ dàng hơn tất cả các kiến ​​thức toán học hiện được biết đến. Đối với tôi, dường như tất cả các ngôn ngữ đều có thể học được trong một đời; nhưng tất nhiên toán học không có tất cả mọi thứ.

*) W. W. Sawyer, Những mệnh đề về toán học, M., “Khai sáng”, 1972.

54

của người dùng Nhưng toán học không phải là một môn khoa học ứng dụng; bản thân nó rất quan trọng. Điều quan trọng không phải là tính hữu dụng của toán học mà là sự hài hòa của nó. Toán ứng dụng là phần nhàm chán nhất của toán học. Hãy nhìn những người đang nghiên cứu lý thuyết số không có ứng dụng thực tế - bạn có mời họ làm kế toán không?
Tất cả các nhà toán học đều có đặc điểm là có đầu óc táo bạo. Một nhà toán học không thích bị nói về bất cứ điều gì; anh ấy muốn tự mình tìm ra mọi thứ. Tất nhiên, một nhà toán học trưởng thành, sau khi biết về một khám phá vĩ đại nào đó, sẽ tự hỏi nó là gì và không lãng phí thời gian để khám phá nó một cách công khai. Nhưng ý tôi là những nhà toán học trẻ, ở họ đặc biệt thể hiện rõ sự táo bạo trong đầu óc. Ví dụ, nếu bạn dạy hình học cho trẻ em từ chín đến mười tuổi và nói với chúng rằng không thể chia một góc thành ba phần bằng nhau bằng thước và compa, bạn chắc chắn sẽ thấy rằng một hoặc hai cậu bé sẽ ở lại sau giờ học và cố gắng tìm lời giải. Việc phi công đã không giải quyết được bài toán điều này trong suốt hai nghìn năm không ngăn cản họ hy vọng rằng họ có thể làm được điều đó trong một giờ nghỉ trưa. Tất nhiên, điều này không hề khiêm tốn nhưng cũng không thể hiện sự kiêu ngạo của họ. Họ sẵn sàng đương đầu với mọi thử thách. Nhưng trên thực tế, người ta đã chứng minh rằng không thể chia một góc thành ba phần bằng nhau bằng thước và compa. Nỗ lực của họ để tìm lời giải cũng giống như nỗ lực của họ để biểu diễn $\sqrt{2}$ dưới dạng phân số hữu tỉ.
Một học sinh giỏi luôn cố gắng vượt lên chính mình. Nếu bạn giải thích cho trẻ cách giải phương trình bậc hai bằng cách cộng vào một hình vuông đầy đủ, chắc chắn trẻ sẽ muốn biết liệu có thể giải phương trình bậc ba bằng cách cộng vào một lập phương đầy đủ hay không. Những người còn lại trong lớp không hỏi những câu hỏi như vậy. Họ đã có đủ phương trình bậc hai; họ không cảm thấy bất kỳ khó khăn đa giác nào.
Mong muốn khám phá này là đặc điểm nổi bật thứ hai của toán học đen. Đây là một trong những động lực chứa đựng sự phát triển của toán học. Một nhà toán học cảm thấy hài lòng với những kiến ​​thức mình đã nắm vững và luôn nỗ lực tìm kiếm những kiến ​​thức mới.
Tôi đã nói về sự quan tâm đến các định luật - phẩm chất cần thiết thứ ba của một nhà toán học. Ở giai đoạn đầu của số học, người ta đã gặp phải các mẫu. Ví dụ, từ bốn viên đá giống hệt nhau, bạn có thể tạo thành một hình vuông và từ gót chân - một hình kelz. Khả năng toán học và âm nhạc bộc lộ từ rất sớm, từ lúc 4 tuổi, và đôi khi sớm hơn. Một cậu bé từng nói với tôi: “Em thích từ tháng Chín, vì nó biến thành sErtEmbEr.” Bản thân tôi cũng chưa bao giờ nhận thấy sự tiến triển tự nhiên của các nguyên âm và phụ âm trong từ này. Chúng thực sự đối xứng hoàn hảo. Tất nhiên, một đứa trẻ như vậy sẽ thích môn toán.
Hơn nữa, ở trường tiểu học, bạn có thể phát triển các kỹ năng về các định luật toán học. Phần lớn công việc ban đầu của Gauss bắt nguồn từ việc ông tham gia vào việc tính toán và phân tích kết quả. Hermite, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất người Pháp, cũng nhấn mạnh việc quan sát thường dẫn đến những khám phá toán học như thế nào. Đúng, một người thôi là chưa đủ để trở thành một nhà toán học vĩ đại.
Cũng giống như việc thông minh trong việc nhận biết các mẫu hình số học giúp học sinh giải các bài toán số học, việc quan sát thông minh các mẫu hình trong đại số giúp các em tránh mắc lỗi hoặc phát hiện sai sót.
Đôi khi, nhìn một tác phẩm nghệ thuật, chúng ta ngưỡng mộ vẻ đẹp của nó và cảm nhận được tình trạng đáng kể của nó, nhưng không thể nói là phải làm. Một bài đăng phản đối lời hứa phản chiến buộc trẻ em kể lại các bài thơ bằng lời của mình. Ông nói rằng cách duy nhất để học cách kiểm soát thơ là viết những bài thơ hay hơn. Nhưng điều này tất nhiên không thể được yêu cầu ở trẻ em.
Nhưng trong toán học, như một quy luật, mọi chuyện lại khác. Nếu gặp một mẫu, chúng ta phải tuân theo các quy tắc: “Tại sao nó lại xảy ra? Nó có nghĩa là gì? Và chúng ta thường có thể tìm thấy đáp số cho những câu hỏi này. Vì vậy, bất cứ khi nào một mẫu xuất hiện, nhà toán học cảm thấy rằng mình có nghĩa vụ phải tìm ra lý do tại sao nó xuất hiện.
Phạm vi câu hỏi mà một nguyên tắc chung nào đó có thể áp dụng được càng rộng thì nó càng thường xuyên giúp chúng ta thoát khỏi khó khăn. Poincaré nói: “Giả sử tôi bắt đầu một phép tính phức tạp và gặp rất nhiều khó khăn cuối cùng mới nhận được kết quả; nhưng mọi nỗ lực của tôi sẽ vô ích nếu chúng không giúp thấy trước kết quả trong các phép tính tương tự khác, nếu chúng không tạo cơ hội để thực hiện chúng một cách tự tin, tránh những lỗi và sự quên lãng mà tôi phải tránh.”

được đưa lên lần đầu tiên.”
Sau khi được khái quát hóa, kết quả sẽ trở nên hữu ích hơn. Bạn có thể ngạc nhiên khi biết rằng việc khái quát hóa hầu như luôn đơn giản hóa kết quả. Một kết luận tổng quát hơn sẽ dễ được chấp nhận hơn một kết luận ít tổng quát hơn.

Mệnh đề tầm thường bài toán sau đây có thể dùng làm minh họa. “Một ly chứa mười thìa nước, ly kia chứa mười thìa rượu. Một thìa nước từ ly thứ nhất được rót vào ly thứ hai. Hỗn hợp được lắc mạnh, sau đó một thìa hỗn hợp thu được được rót vào ly thứ nhất. Câu hỏi đặt ra là, sẽ có nhiều hơn: rượu trong ly thứ nhất hay nước trong ly thứ hai?
Rõ ràng, để trả lời câu hỏi này, chúng ta có thể tiếp tục phép tính sau. Sau khi rót một thìa nước vào ly thứ hai, có 10 thìa rượu và 1 thìa nước, tức là tổng cộng có 11 thìa chất lỏng. Như vậy, một thìa hỗn hợp chứa $\frac{10}{11}$ thìa rượu và $\frac{1}{11}$ thìa nước. Chúng ta đổ một thìa hỗn hợp vào ly đầu tiên: lúc này nó chứa $\frac{9}{11}$ nước và $\frac{10}{11}$ thìa rượu, trong ly thứ hai sẽ có $\frac{10}{11}$ thìa nước và $\frac{9}{11}$ thìa rượu. Như vậy, ta thấy lượng rượu ở ly thứ nhất đúng bằng lượng nước ở ly thứ hai.
Kết quả này có vẻ ngẫu nhiên, nhưng nếu bạn thay đổi điều kiện bài toán, bạn sẽ thấy rằng mình sẽ luôn nhận được số lượng như nhau. Nếu cho $x$ thìa nước và $x$ thìa rượu, thì lượng rượu vào ly đầu tiên sẽ luôn bằng lượng nước vào ly thứ hai. Tiếp theo, bắt đầu với lượng chất lỏng đầu tiên trong ly, chẳng hạn như với $x$ thìa nước và $y$ thìa rượu, sau đó tiếp tục tất cả các quy trình như trong bài toán ban đầu, sau đó cuối cùng sẽ có nhiều rượu trong ly đầu tiên bằng với lượng nước trong ly thứ hai.

Đây là một ví dụ điển hình về sự vô vị của toán học. Trong một bằng chứng rõ ràng và mang tính toán học tốt, kết quả không xuất hiện bất ngờ ở dòng cuối cùng, tính tất yếu về mặt logic của nó phải được thể hiện trong toàn bộ bằng chứng.

bài toán tầm thường ở trên sử dụng một kiểu giả. Nó cung cấp thông tin không cần thiết khiến chúng ta mất tập trung vào sự tồn tại của bài toán. Điều kiện ban đầu là câu: “Hỗn hợp sẽ được khuấy mạnh”. Trên thực tế, điều quan trọng là chúng ta đổ một thìa chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai, sau đó đổ một thìa hỗn hợp từ ly thứ hai vào ly thứ nhất. Loại chất lỏng nào được đổ vào hoàn toàn không quan trọng, điều quan trọng là cuối cùng cả hai ly đều chứa cùng một lượng chất lỏng như lúc đầu. Và nếu đúng như vậy, thì lượng rượu cần thiết sẽ được rót vào ly đầu tiên,

để nước sau đó được bơm lên. Tất nhiên, nước lấy từ ly thứ nhất sẽ có ở ly thứ hai. Các số lượng phải bằng nhau, và lòng tốt hay đại số đều không liên quan gì đến nó.

Nói chung, bài toán này trông như thế này: có một ly nước và một ly rượu, chúng ta thực hiện một số thao tác với những chất lỏng này, sao cho cuối cùng lượng chất lỏng trong mỗi ly bằng ly ban đầu, khi đó lượng nước vào rượu phải bằng lượng rượu trong ly thứ hai.

Điều này quá rõ ràng nên không đáng nhắc tới. Quang cảnh chung của thành phố bài toán đơn giản hơn so với những gì được trình bày trước đó.

Các lĩnh vực áp dụng bài toán ở dạng chung của thành phố đơn giản hơn. Bạn có thể rót từng thìa chất lỏng từ ly này sang ly khác và đổ lại bao nhiêu lần tùy thích, tuy nhiên nguyên tắc chung vẫn giữ nguyên.

Vì vậy, nghiên cứu bài toán bao gồm việc loại bỏ tất cả dữ liệu không cần thiết và chỉ để lại những điều kiện cần thiết thiết yếu. Càng ít dữ liệu thì càng dễ tìm thấy lời giải. Một định lý tổng quát hiếm khi chứa đựng điều gì khó hiểu; mục đích của nó là thu hút sự chú ý của bạn về những sự thật quan trọng.

Trong toán tiểu học, chúng ta tìm thấy sự kết hợp của đủ loại chi tiết quan trọng. Trong toán học cao hơn, chúng tôi cố gắng tách các phần tử khác nhau và nghiên cứu từng phần tử một cách riêng biệt. Theo nghĩa này, toán học ra đời hơn là tiểu học.

Nhưng người ta không thể đánh giá tầm quan trọng của bất kỳ nghiên cứu toán học nào bằng các vấn đề cụ thể riêng lẻ. Cấu trúc liên kết có thể phục vụ như một ví dụ về điều này. Cấu trúc liên kết đôi khi được gọi là “hình học cao su”—ví dụ, hình học của các hình, cấu trúc liên kết có thể phục vụ mục đích này. Trong một số trường hợp, điều này đúng - nó thực sự xem xét các thuộc tính của những hình đó. Nhưng ý nghĩa của nó là do không có chiều dài cố định trên một tấm đàn hồi. Không thể có bất kỳ định lý nào tương tự như định lý Pythagore. Liệu có thể rút ra kết luận như: “đường cong này là liên tục và đường cong kia được chia thành hai phần riêng biệt”. Tính liên tục là thuộc tính chính được nghiên cứu bởi cấu trúc liên kết. Nó nói về các thuộc tính được bảo toàn dưới sự biến đổi liên tục. Vì có rất nhiều thứ có thể được chuyển đổi theo cách này nên cấu trúc liên kết bao gồm rất nhiều chủ đề. Nó ngày càng thu hút cả các nhà toán học và kỹ sư thuần túy; nó có thể được sử dụng để chứng minh một số kết quả đáng ngạc nhiên. Nó kết hợp mức độ khái quát hóa cao nhất với sự đơn giản tối đa.

Tất cả những gì chúng ta nói ở trên đều nhằm mục đích mở rộng phạm vi các vấn đề của toán học. Nghiên cứu, khám phá các mẫu, giải thích ý nghĩa của từng mẫu, mô tả các mẫu mới dựa trên mô hình của những mẫu đã biết—tất cả các loại hoạt động này đều mở rộng phạm vi của toán học. Từ quan điểm thực tế, việc theo dõi tất cả các kết quả thu được trở nên cực kỳ khó khăn và không thể nói rằng việc tích lũy các định lý không liên quan là một điều đáng mừng lời giải. Vừa là doanh nhân vừa là nghệ sĩ, các nhà toán học cảm thấy cần phải thu thập tất cả những kết quả khác nhau này.

Không có gì ngạc nhiên khi toàn bộ lịch sử toán học bao gồm các quá trình “mở rộng” và “thu gọn” xen kẽ nhau. Ví dụ, sự chú ý của các nhà toán học bị thu hút bởi một số bài toán, hàng trăm bài báo được viết ra, mỗi bài chỉ đề cập đến một mặt của sự thật. Câu hỏi mở ra. Sau đó, một thiên tài nào đó, dựa vào tất cả dữ liệu, bộ sưu tập khó khăn như vậy, đã tuyên bố: “Mọi thứ mà chúng ta biết sẽ gần như trở nên rất giống nhau nếu bạn nhìn nó từ quan điểm này”. Sau đó, không còn ai cần phải nghiên cứu hàng trăm bài báo riêng lẻ nữa, ngoại trừ các nhà sử học toán học. Các kết luận khác nhau được hợp nhất thành một học thuyết đơn giản, các sự kiện quan trọng được tách ra khỏi vỏ trấu và con đường trực tiếp dẫn đến kết luận mong muốn được mở cho tất cả mọi người. Lượng thông tin cần nghiên cứu đã giảm đi. Nhưng đây không phải là kết thúc. Khi một phương pháp mới trở nên có giá trị, những câu hỏi mới sẽ nảy sinh lời giải trong đó anh ta không đủ, và cuộc tìm kiếm lại bắt đầu đáp số, các bài báo lại được xuất bản, quá trình “mở rộng” lại bắt đầu.

Nếu có thể dẫn kiến ​​thức đến hai định luật tổng quát thì nhà toán học sẽ không phải là một Udoble. Anh ta sẽ không nghỉ ngơi cho đến khi chứng minh được rằng cả hai định luật này đều dựa trên cùng một nguyên tắc. Nhưng ngay cả khi đó anh ấy cũng sẽ hạnh phúc; ngược lại, anh ta sẽ trở nên bất hạnh vì anh ta sẽ không có việc gì để làm. Nhưng viễn cảnh về sự gián đoạn như vậy là hoàn toàn không thực tế. Cuộc sống là vậy mà lời giải của một vấn đề luôn tạo ra một vấn đề mới; nếu không cuộc sống sẽ không thể chịu nổi. Luôn luôn có và sẽ có tài liệu để học và những khó khăn cần vượt qua.

Và nó sẽ luôn như thế này. Và nếu hóa ra tất cả những gì cần thiết trong toán học chỉ là xem xét các hiện tượng có các tính chất A, B và C, thì các nhà toán học sẽ đặt câu hỏi ngay: “Điều gì sẽ xảy ra nếu một vật nào đó chỉ có một trong các tính chất đó?” Và họ sẽ lao vào làm việc trở lại.

Chúng ta hãy dành chút thời gian để xem xét các mô hình khác nhau từ quan điểm vị lợi, cụ thể là từ vị trí của một người chỉ cần làm bài kiểm tra. Câu hỏi quan trọng nhất đối với thí sinh là tính cách của giám khảo: điều gì khiến anh ta quan tâm? Anh ta đang muốn kiểm tra những phẩm chất gì của thí sinh?

Nhiều giám khảo chỉ quan tâm đến khả năng thực hiện các phép tính công thức của học sinh: học sinh có biết bảng cửu chương không? Bạn có thể sử dụng logarit không? Bạn có thể sử dụng hàng trăm kỹ thuật phổ biến khác không? Không còn nghi ngờ gì nữa, việc kiểm tra kiến ​​thức của học sinh về các phép toán tổng quát là cần thiết. Nhưng từ khi còn nhỏ, tôi thấy việc kiểm tra như vậy là nhàm chán nhất,

57

những kỳ thi ngu ngốc nhất
Tuy nhiên, họ lại được yêu mến rất nhiều bởi những giáo viên tầm thường, những người tin rằng bài toán của họ chỉ đơn giản là dạy cả lớp các bài tập “từ nay đến nay”.

Các giám khảo khác cố gắng khuyến khích những sinh viên chủ động, những người đang cố gắng nắm bắt không chỉ sự thật mà còn cả sở thích về môn học. Những giám khảo này muốn kiểm tra khả năng kinh doanh, trí tưởng tượng và khả năng học tập chủ động, vì vậy họ tìm kiếm bài toáns có thể kiểm tra những phẩm chất này.

Một số giáo viên tin rằng học sinh không thể chuẩn bị sẵn sàng cho những kỳ thi khó lường như vậy. Nhưng điều này không đúng. Tất nhiên, chẳng hạn, không thể dự đoán được diễn biến của trận chiến. Nhưng đây có phải là lý do tại sao không thể đào tạo quân nhân? Việc đào tạo sĩ quan chỉ dựa một phần (hoặc phải dựa) vào những nguyên tắc chung chung của các ngành; phần còn lại phải là sự phát triển sáng kiến ​​của riêng họ. Để đạt được mục tiêu này, nhân viên văn phòng tương lai trong lớp đã gặp phải một số tình huống khó khăn không lường trước được, nơi anh ta phải kiểm tra sự hiện diện và tính chủ động của mình. Cách tiếp cận tương tự có thể áp dụng được cho việc dạy toán trên thế giới. Có rất nhiều hứa hẹn trên phạm vi quốc tế và trong quân đội.

Một phiếu thi có thể chứa đựng cả loạt bài tập và câu hỏi đòi hỏi phải giao tiếp. Làm sao một học sinh có thể biết trước mặt mình có loại bài toán nào? Xét cho cùng, bài toán không phải lúc nào cũng khác nhau về ngoại hình.

Trong những nhiệm vụ mà cuộc sống đặt ra trước mắt chúng ta, chính thiên nhiên là người giám định. Và ở đây một lần nữa, điều cực kỳ quan trọng là phải giảm cách tiếp cận cần thiết hoặc nó có một số thuộc tính đặc biệt giúp bạn có thể tìm thấy lời giải đơn giản hơn.

Chúng ta hãy xem một ví dụ xây dựng một trong những ứng dụng rất quan trọng của dịch thuật, cụ thể là biểu diễn bài toán ở dạng mà đáp số có thể được nhìn thấy trong nháy mắt. Bản dịch này không thay đổi đáng kể bài toán; Nếu chúng ta tiếp cận nó từ quan điểm toán học thuần túy, chúng ta có thể nói rằng nó không thay đổi gì cả. Nhưng đối với chúng tôi bản dịch này rất có giá trị, vì nó biến cái không quen thuộc thành cái quen thuộc.

Một ví dụ về cách dịch như vậy là biểu diễn đồ họa của một hàm. Biểu đồ dễ hiểu hơn trong nháy mắt. Ở đây chúng ta sẽ thực hiện một bản dịch từ đại số sang hình học. Rất thường xuyên chúng ta phải thực hiện việc dịch ngược lại—từ hình học sang đại số; Bạn sẽ tìm thấy bản dịch loại này gần đó trong cuốn sách này. Cũng có thể dịch một hình học bài toán sang một hình học khác, nhưng theo cách mà loại chưa biết bài toán được dịch thành loại đã biết.

Xét bài toán với quân cờ. Quân mã đứng ở giữa bàn cờ hình vuông gồm 25 ô. Con ngựa phải di chuyển để đến thăm mỗi ô một lần và chỉ một lần.

Suy nghĩ về vấn đề này, tôi thấy khá khó để tự hỏi liệu hiệp sĩ của chúng ta có rơi vào tình thế khó khăn hay không, chẳng hạn như sau khi di chuyển bàn cờ; để mắt đến các ô vuông nơi hiệp sĩ chưa đến, tôi không thể nói liệu chúng có kết nối với một mục tiêu di chuyển đơn giản hay không. Có thể có một số

Vẽ một sơ đồ như vậy không đơn giản như thoạt nhìn. Bạn cần phải đủ cẩn thận để đảm bảo rằng bạn không gặp phải một mạng lưới đường dây quá rối rắm. Nguyên tắc chính mà tôi tuân thủ là tuân thủ tính đối xứng. Hình vuông 13 nên được đặt ở trung tâm và phần còn lại xung quanh nó, nhưng theo cách duy trì tính đối xứng của bàn cờ.

Bây giờ việc chọn đường đi của ngựa rất dễ dàng. Ví dụ, anh ta có thể đi từ 13 đến 10, sau đó đi dọc theo “vòng trong” (19, 22, 11, 2, 9, 20, 23, 16, 7, 4, 15, 24, 17, 6, 3) và đi đến “vòng ngoài” (12, 21, 18, 25, 14, 5, 6, 1).

Chúng ta không cần phải đi sâu vào lý thuyết về các nước đi của quân cờ. Ví dụ được chọn không phải vì bài toán này quan trọng mà là để cho thấy khả năng hình dung phán đoán đơn giản hóa việc tìm kiếm lời giải như thế nào.