52
РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ
В этом номере публикуются фрагменты только чтоышедшей из печати книги известного английского педагога и популяризатора математики Уолтера Уорика Сойера *]. Понятно, что исключительно трудно на достаточно высоком и в то же время доступном для широкой аудитории уровень показать панорму из важных разделов современной математики без прикрас, без туманности и искажений.
У. У. Сойер — один из тех авторов, кому это удается. Он увлекательно и so значимое содержание о некоторых особенностях творческого деятельности профессионалов-математиков.
Надеемся, что чтение этой книги доставит вам удовлетворение и позволит заглянуть в мир математики и математиков. Чтобы разобраться в прочитанном, «достаточно самых смутных воспоминаний о школьной математике».
Публикацию подготовили В. Н. Березин и М. Л. Смолянский.
Почти все математические открытия имеют в своей основе очень простую идею. Учебники часто скрывают этот факт. Они обычно содержат громоздкие выводы и этим создают впечатление, что математики — это люди, которые всю жизнь просживают за письменными столами и переводят тонны бумаги. Это чепуха. Многие математики очень успешно работают в ванной, в кровать, окидная поезда или катаясь на велосипед (предпочтительно при слабом улином движении). Математические вычисления производятся до или после открытия. Само открытие возникнет из основных идеей.
Немного представляют себе, как огромна сфера действия современной математики. Вероятно, было бы легче овладеть всем существующими языками, чем все математические знаниями, известными в настоящие время. Мне кажется, что все языки можно было бы выучить за одну целоечесную жизнь; а всего математике, конечно, нет.
*) У. У. Сойер, Предложия к математике, М., «Просвещение», 1972.
54
ческую пользов. Но математика не прикладная наука, она важна сама по себе. Важна не полезность математики, а ее стройность. Прикладная математика — это самая скучная часть математики. Посмотрите-ка на людей, работающих над теорийей чисел, не имеющей никакого практического применения, — вы предложили бы им заиматся бухгалтерей?».
Для всех математиков характерна дерзость ума. Математик не любит, когда ему о чем-нибудь рассказывает, он сам хочет дойти до всего. Конечно, зрелый математик, узнал о каком-нибудь великом открытини, понтерасуется, в чем оно состоит, и не ставет терять время на то, чтобы открывать уже открыто. Но я имею в виду юных математиков, у которых дерзость ума проявляется особенно сильно. Если вы, например, преподаете геометрию девяты — десятилетим ребятам и рассказываете им, что никакое не смотр разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля, вы непрееменно увидите, что один-дава малчика останут после уроков и будут пытаться найти решение. То обстоятельство, что в течение двух тысяч летник не решил эту задачу, не помещает им надеться, что они смогут это сделать в течение часового перерыва на обед. Это, конечно, не очень скромно, но и не свидетельствует об их самонадеяности. Они простроют готовы принять любой вызов. А ведь в действительности уже доказано, что невозможно разделить угол на три равные части при помощи линейки и циркуля. Их попытка найти решение — того же рода, что попытка представить в виде рациональной дроби.
Хороший ученик всегда старается забежать вперед. Если вы ему обьясните, как решать квадратное уравнение дополнительным до полного квадрата, он непрееменно захочет узнать, можно ли решить кубическое уравнение дополнительным до полного куба. Остальные ученики класса не задают подобных вопросов. С них хватит и квадратных уравнений, они не щут陀 полинительных трудностей.
Вот это желание исследовать является второй отличительной черной математикой. Это одна из сил, содержащих росту математика. Математик получает удовлетворение от знания, которые уже овладел, и всегда стремится к новым знаниям.
Я уже говорил об интересе к закономерством — третьем необходимом качестве математика. Уже в самом начале арифметики встречаются закономерности. Например, из четырех одинаковых камней можно сложить квадрат, а из пяты — кельзя. Математические как и музыальные, способности проявляются очень рано, с четырех лет, а иногда и раньше. Один мальшш однжды сказал мне: «Мне нравится слово September (сентябрь), ведь получается sErtEmbEr». Сам я никогда не замечал закономерного черезования гласных и согласных в этом слове. Они действительно совершенню симметрично. Такому ребнику, конечно, понравится арифметика.
Далее в начальной школе можно развить навkillения за математическими закономерностями. Большая часть ранних работ Гаусса являсь следствием его привлечения делать вычисления и анализировать полученные результаты. Эрмит, один из крупнейших французских математиков, также подчеркивал, как часто наблюдаетность ведет к математическим открытиям. Правда, одной наблюдается мало, чтобы стать великим математиком.
Так же как уменне замечать арифметические закономерности помогает школьнику решать арифметические примеры, уменне наблюдает закономерности в алгебре помогает избегать ошибок или обнаруживать ошибки.
Иногда, рассматривая какое-нибудь произведение искусства, мы восхищаем его красотой и чувствуем его значительное состояние, но не можем сказать его делать. Один позт противовал противварского обещания заставлять детей пересказывать стихи свойми словами. Он говорил, что единственный способ обучения сдержание стиховворения — это написать лучшие стихотворения. А от детей, этого, конечно, требовать нельзя.
Но в математике, как правило, было инчете. Если нам встречется закономерность, мы обязаны следовать правилам: «Почему она встречается? Что она означает?». И мы обычно можем найти ответы на эти вопросы. Итак, всякий раз, когда появляется закономерность, математик чувствует, что он обязана узнать, почему она появляется.
Чем шире круг вопросов, к которым применим какой-нибудь общий принцип, тем чаще он нам поможет выпутаться из затруднений. Пуанкаре говорил: «Предположим, я занялся сложным вычислением и с большим трудом, наконец, получил результат; но все мои усилия окажутся направными, если они не помогут предвидеть результат в других аналогических вычислениях, если они недаютут возможность проводить их с уверенностью, избегая тех ошибок и забудений, с которых я должен
был мириться в первый раз».
После обобщения результат становится более полезным. Вас, возможно, удивит, что обобщение почти всегда также упрощает результат. Более общий вывод легчеоспринять, чем менее общий.
Иллюстрацией может послужить следующая тривиальная задача. «В одном стакане десять ложек воды, в другом — десять ложек вина. Ложку воды из первого стакана переливают во второй. Смесь энергично взбальывается, затем ложку полученной смеси переливают в первый стакан. Спрашивается, чего будет больше: вина в первом стакане или воды во втором?».
Очевидно, для того чтобы ответить на этот вопрос, можно продолжать следующее вычисление. После того как ложку воды перелили во второй стакан, там стало 10 ложек вина и 1 ложка воды, то есть всего 11 ложек жидкости. Таким образом, одна ложка смеси содержит ложки вина и ложки воды. Переливаем одну ложку смеси в первый стакан: в нем теперь оказывается воды , а вина ложки, во втором стакане останется ложки воды и ложки вина. Итак, мы видим, что количество вина в первом стакане в точности равно количеству воды во втором стакане.
Этот результат может показаться случайным, но если вы измените условия задачи, вы убедитесь, что всегда будет получаться одинаковые количества. Если дано ложек воды и ложек вина, то количество вина, которое попадет в первый стакан, неизменно будет оказываться равным количеству воды, попавшей во второй. Далее начать с первых количеств жидкости в стаканах, например, с ложек воды и ложек вина, и затем продолжать все процедуры, как в первоначальной задаче, то в конце концов вина в первом стакане будет столько же, сколько воды во втором.
Это хорошо пример математической безвкусными. При четком и хорошо математическом доказательстве результат не появляется неожиданное в последней строке, его логическая неизбежность должна быть видна на протяжении всего доказательства.
Приведенная выше тривиальная задача использует своего рода макировку. В ней даются неужные сведения, отвлекшие наше внимание от существования задачи. Линним условием является предложение: «Смесь энергично взбальвается». На самом деле существенно лишь то, что мы переливаем ложку жидкости из первого стакана во второй, а затем ложку смеси из второго стакана в первый. Совершенно не важно, какую жидкость переливают, важно лишь, что в конце концов оба стакана содержат такое же количество жидкости, как и в самом начале. А если это действительное так, то в первый стакан вылилировно столько вина, сколько нужно,
что бы затем взвели воду. Конечно же, вода взята из первого стакана, обнаружится во втором. Количество должны быть равны, и ни добри, ни алгебра здесь ни при чем.
В обшем виде эта задача выглядает так: имеется стакан воды и стакан вина, мы производим ряд операций с этим жидкостьми, так что в итоге количество жидкости в каждом стакане равно первогоначальному, тогда количество воды, попавшее в вина, должно равняться количеству вина в втором.
Это настолько очевидно, что едва ли стоит об этом говорить. Общий вид задачи города проще, чем продолжанные ранее.
Области применения задачи в обшем виде города проще. Вы можете переливать ложки жидкости из одного стакана в другой и обратно сколько угодно раз, и все же общий принцип остается неизменным.
Таким образом, исследование задачи состоит в том, чтобы отбросить все лишние данные и оставить только существенное необходимые условия. Чем меньше данных, тем легче найти решение. Общая теорема редко содержит что-нибудь запутанное; ее цель — обратить ваше внимание на действительность важные факты.
В элементарной математике мы встречаем смесь всяких важных деталей. В высшей математике мы пытаемся разделить различные элементы и изучить какый в отдельности. В этом смысле вышла математика, пожалуйста, чем элементарная.
Но нельзя судить о важности какого-либо математического исследования по отдельным частным задачам. Приером тому может служить топология. Топология иногда называют «резиновой геометрией»—геометрией фигур, например тому может служить топология. В некоторых случаях это так — она действительное расматривает свойства таких фигур. Но ее значение связано с тем, что на элastичном листе нет постоянной длины. Там не может быть теorem, подобных теореме Пифагора. Можно ли делать выводы типа: «эта кривая непрерывна, а та — разделена на две отдельные части». Непрерывность — это основное свойство, изучаемое топологии. В ней говорится о таких свойствах, которые сохраняются при непрерывных преобразованиях. Так как существует очень много вещеи, допускающих такое преобразование, топология охватывает широкий круг вопросов. Она все больше привлекает как чистых математиков, так и инженеров; с ее помощью можно доказать ряд удивительных результатов. Она сочетает в себе навысшую степень обобщения с максимальной простотой.
Все, о чем мы говорили выше, имею цель расширить область вопросов, подвластных математике. Исследование, открытие закономерностей, объяснение смысла каждой закономерности, изображение новых закономерностей по образцу уже известных—все эти виды деятельности расширяют область действия математики. С практической точки зрения становится исключительно трудным следить за всеми полученными результатами, и нельзя сказать, чтобы нагромождение не связаны между собой теорем представляло отрадное решение. Будучи и деловыми людьми и художниками одновременно, математики чувствуют потребность собрать все эти разрозненные результаты.
Не удивительно, что вся история математики состоит из чередушихся процессов «расширений» и «сокращений». Например, внимание математков привлекает какая-нибудь задача, пишутся сотни статей, каждая из которых освещает лишь одну сторону истинны. Вопрос разратается. Затем какой-нибудь геней, опираясь на все данные, собрание с таким трудом, заявляет: «Все, что мы знаем, станет почти оченьидным, если посмотреть на это вот с такой точки зрения». После этогоникому, кроме исторков математики, нет уже необходимости изучать сотни отдельных статей. Разрозненные выводы объединяются в одну простую доктрину, важные факты отделяются от шелухи, и прямой путь к желаемому выводу открыт для всех. Объем сведений, которые нужно изучать, сокращился. Но это еще не конец. После того как новый метод стал достоинным, возникнет новые вопросы, для решения которых он недостаточен, и снова начинается поиски ответов, снова публикуются статьи, снова начинается процесс «расширения».
Если бы можно было вести знания к двум общим закономам, математик не был удоблевой. Он не успокоился бы до тех пор, пока не доказал бы, что оба эти закона основываются на одном принципе. Но и тогда он был бы счастлив, наоборот, он стал бы нечастным, так как ему нечего было бы делать. Но перспектива такого засторшения совершенню нереорятна. Жизнь такая, что решение одной проблемы всегда создает новую проблему; иначе жизнь была невыносима. Всегда есть и всегда будет материал для изучения и трудности, которые нужно предолевать.
И так будет всегда. И если бы оказылось, что все существенно математика расматривает только явления со свойством А, В и C, математики немедленно спросили бы: «А что случится, если какой-нибудь предмет будет обладать только одним из них?». И они снова погрузились бы в работу.
Давайте на минуту посмотрим на различных закономерности с утилтарной точки зрения, а именно, с позиции человека, которое просто нужно сделать экзаменен. Самый важный вопрос для экзамененного — это характер экзаменатора: что его интересует? Какие качества экзаменемого он пытается проверить?
Многих экзаменатов интересует только способность учащихся производить шаблонные операции: знает ли он таблицу умножения? Умет ли пользоваться логарифмами? Умет ли применять сотни других общих приемов? Несомненно, что проверять знание учащимся общих операций необходимо. Но еще с детства я считаю подобные проверки самыми скучными,
57
самыми тупыми экзаменами.
И однако их очень любят посредственные учитель, которые считают, что их задача сводится просто к тому, чтобы нааскать класс на упражнениях «от сих до сих».
Другие экзаменаторы страются поощрить инциативных учеников, пытающихся воспринять не только факты, но и вкус к предмету. Эти экзаменаторы хотят проверить предпринимательство, воображение и инциативную учащся, поэтому они выискивают задачи, с помощью которых можно было бы проверить эти качества.
Некоторые учительские считают, что учеников нельзя подготовить к подобным непредсказуемым экзаменам. Но это неверно. Конецно, нельзя, например, предсказать ход стражения. Но разве поэтому невозможно готовить военные кадры? Обучение офисеров лишь частично основывается (или должно основывается) на общих принципах, характерных для всех стражений; другой частью должно служить развитие их собственной инциативны. С этой целью будущий офисер на занятиях оказался в целом ряде сложных непредвиденных ситуаций, где он должен проверить нахождение и инциативную. Точно такой же подход возможен к мириному обучению математике. Есть много обещало международно и стражением.
Экзаменционный билет может содержать как рядовоузадач, так и проблемы вопроса, требующей сообщительности. Откуда знать студенту, какого рода задача перед ним? Ведь задачи не всегда различются по внешнему виду.
В задачах, которые ставит перед нами жизнь, экзаменатором является сама природа. И здесь опять чрезвычайно важно уменьшить требуемый подхода или она обладает каким-нибудь особым свойством, которое дает возможность найти более простое решение.
Рассмотрим один пример, или построующий одно из очень важных применений перевода, а именно представление задачи в такой форме, когда ответ можно видеть с первого взгляда. Такой перевод не меняет существенно задачи; если подходить с чисто математической точки зрения, можно сказать, что он вообще ничего не меняет. Но для нас перевод этот очень ценен, потому что он превращает незнакомое в знакомое.
Примером такого перевод является графическое представление функции. График легче понять с первого взгляда. Здесь мы произведем перевод из алгебры в геометрию. Очень часто приходимся делать обратный перевод—из геометрии в алгебру; рядом перевод такого типа вы найдете в этой книге. Можно также переводить одну геометрическую задачу в другую, но так, чтобы неизвестный тип задачи был переведен в известный.
Рассмотрим задачу с шахматным конем. Конь стоит в центре квадратной доски из 25 полей. Конь должен дивигаться так, чтобы побывать в каждой клетке один и только один раз.
Размышляя над этой задачей, я нахожу довольно трудным отсутствившее себе в уме, попадает ли наш конь в затруднительное положение, скажем, после доских ходов; глаза на клетки, на которых конь еще не был, я не могу сказать, соединяется ли они в простую цель ходов. Нельзя ли несколько
Нарисовать такую диаграмму не такое уж простое дело, как это кажется на первый взгляд. Нужно проверить достаточно внимательность, чтобы не получилась слишком запутанная сеть линей. Главный принцит, который я придерживался, — это соблюдение симметрины. Клетка 13 должна быть помещена в центре, а остальные — вокруг нее, но так, чтобы сохранить симметрию шахматной доски.
Теперь очень легко легко выбрать маршрут коня. Он может, например, отправиться из 13 в 10, затем пройти по «внутреннему кругу» (19, 22, 11, 2, 9, 20, 23, 16, 7, 4, 15, 24, 17, 6, 3) и перейти на «внешний круг» (12, 21, 18, 25, 14, 5, 6, 1).
Нам не нужно вдаваться в теории ходов шахматного коня. Пример выбран не потому, что данная задача важна, а затем, чтобы показать, как умение наглядно представить себе судячи упрощает отыскание решения.