Варианты вступительных экзаменов по математике 1971 года

50

Факультет вычислительной математики и киберnetики

1. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 4 \lg \sqrt{x} + 2^{y+1} = 3, \\ 24 \lg x + 2 \cdot 4^{y+1} = 37. \end{cases}$$

2. Найти все решения неравенства
   $$\sqrt{3 \cos 2x} < \sqrt{2} \cos x,$$
   удовлетворяющие условия $|x| < \pi$.

3. В поле работы отraktорные бригады, содержащие по одинаковому количеству гусеничных тракторов и по одинаковому количеству колесных тракторов, причем в каждой бригаде число всех тракторов меньше 9. Если в каждой бригаде число колесных тракторов увеличить в 3 раза, а гусеничные — в 2 раза, то общее число колесных тракторов во всех бригадах будет на 27 больше общего числа гусеничных тракторов, а в каждой бригаде число всех тракторов превысит 20. Определить количество бригад, работающих в поле, и число гусеничных и колесных тракторов в каждой бригаде.

4. В прямогольном треугольнике ABC длина гипotenузы AB равна c, а угол при вершине A равен α. На продолжении гипotenузы AB за точку B взята точка M, а на продолжении катета AC за точку C взята точка N таким образом, что BM=CN. Найти длину общей хорды двух окружностей, описанных около треугольников ABC и AMN.

5. Основанием примыды SABCD служит прямогольник, угол между диагоналими которого равен α, причем α < π/3. Высота примыды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна h. Дана треугольная примыда, имеющая ту же вершину S. Основанием ее является треугольник, одна вершина которого лежит на середине большей стороны прямогольника ABCD, а две другие — на его диагоналях, причем проекция вершины S на плоскость основания лежит внутри этого треугольника. Найти объем треугольной примыды, если известно, что ее боковые грани равны.

Отделение общей геологического факультета

1. Найти все решения системы уравнений
   $$\begin{cases} \cos 2x + \sin y = 2 \cos^2 30^\circ, \\ 2 \cos 2x - \sin y = \sin 540^\circ. \end{cases}$$

2. Автозавод изготовляет легковые и грузовые автотовольки. В первый день было изготовлено грузовых автотовольки на 100 машин больше, чем легковых. Во второй день было изготовлено легковых автотовольки на 150 машин больше, чем в первый день, а грузовых — на 50 машин больше, чем в первый день. Сколько легковых и сколько грузовых автотовольки было изготовлено в первый день, если во второй день было изготовлено машин в 1,2 раза больше, чем в первый?

3. При каких значениях a корни квадратного уравнения
   $$x^2 - (2a+1)x + 2a = 0$$
   равны между собой?

4. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Определить радиус r, если AB=12 cm, R=8 cm.

5. Найти все значения x, при которых справедливо неравенство
   $$\log_4(2x+3) > \log_9 27.$$
   Отделение геофизики геологического факультета

6. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} 0,5 \cdot 3^{x+1} + 7,5 \cdot 5^{y-1} = 12, \\ 2 \cdot 9^x + 5^y = 23. \end{cases}$$

7. Найти все значения x, при которых справедливо неравенство
   $$\frac{4-\sqrt{x+1}}{1-\sqrt{x+1}} \leq 0.$$

8. Решить уравнение
   $$\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2} \sin x \left( \cos x - \frac{3}{2} \right).$$

9. Положительные числа a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Сумма логарифмов чисел a₁, a₃, a₄, a₅ по основанию 3 равна 9. Определить числа a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, если log₃ a₄ вдвое больше log₃ a₂.

10. В треугольнике ABC со стороны AB = √3 cm, BC = 4 cm, AC = √7 cm проверена медиана BD. Окружности, вписанные в треугольника ABD и BDC, касаются BD в точках M и N соответственно. Определить длину отрезка MN.

51

Химический факультет

1. Около окружности радиуса $r$ описана равновесная трапеция $ABCD$. Е и К — точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием $AB$ и боковой стороны $AD$ трапеции равен $60^\circ$. Доказать, что прямая $EK$ параллельна прямой $AB$, и найти площад трапеции $ABEK$.

2. Решить уравнение:

$$2 \log \sqrt{\frac{2}{3}(x-0,5)} + x = x^0, 5x^2 + \cos^4\left(\frac{\pi}{4}\right).$$

3. Три эскаватора получили задание вырыть по котловану: 1-й и 2-й — емкостью по 800 $m^3$, а 3-й — емкостью 400 $m^3$. 1-й и 2-й эскаваторы вместе вынимают за час грунта второе больше, чем 3-й. 1-й и 3-й эскаваторы начали работу одновременно, а 2-й в тот момент, когда 1-й вынул $300 m^3$ грунта. Когда 3-й эскаватор выполнил 2/3 своего работы, 2-й вынул $100 m^3$ грунта. Первым выполнил свое задание 3-й эскаватор. Сколько грунта вынул 1-й эскаватор к моменту, когда 3-й закончил рыть свой котлован?

4. Решить неравенство:

$$1 - \sqrt{\frac{1}{2} + \log_3 \sin x - \log_3 \cos x} > 0.$$

5. Правильная прямая треугольная признама $ABCA'B'C'$ описана около шара радиуса $r$. Точка $M$ — середина бокового ребра $BB'$, точка $N$ — середина бокового ребра $CC'$. В шар вписан прямой круговой цилиндр так, что его основание лежит в плоскости $AMN$. Найти объем этого цилиндра.

Университет других бытов имени Патриса Лумутбы

Физико-математический факультет

1. Пункт $A$ расположен на расстоянии $s$ км от пункту $B$. Из пункту $A$ в пункту $B$ вышел пешекод, а через $T$ часов в том же направлении выехал велосипедист. Велосипедист догнал пешекода в $p$ км от $A$, дохал до $B$ и сразу повернул обратно. Проехав $p$ км от $B$, велосипедист снова встретил пешекода и, продолжая путь, вернулся в $A$ позднее, чем пешекод пришел в $B$. На сколько равные пешекод пришел в $B$, чем велосипедист вернулся в $A$?

2. Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} 2u + v + w = 6, \\ 3u + 2v + w = 9, \\ 3u^3 + 2v^3 + w^3 = 27. \end{cases}$$

3. Решить неравенство:

$$\cos x \cdot \cos 3x + \cos^2 2x < -\frac{1}{4}.$$

4. В шар радиуса $R$ высина пирамида с квадратным основанием. Однако из боковых ребер пирамиды перpendикулярно к плоскости основания, а наибольшее боковое ребро образует с ней угол $\alpha$. Определить боковую поверхность пирамиды.

Инженерный факультет

1. Расстояние между двумя городами, равное 600 км, товарный поезд проходит на 8 часов медленнее пассажирского. Если скорость каждой поезда увеличить на 10 км/час, то пассажирский поезд продолжить тот же только на 5 часов быстрее.

товарного. Определить скорость каждой поезда.

2. Решить уравнение:

$$2\cos 2x \cdot (\text{ctg } x - 1) = 1 + \text{ctg } x.$$

3. Решить уравнение:

$$|x^2 - 2x - 4| = 3x - 2.$$

4. Высота цилиндра равна высоте конуса. Боковая поверхность цилиндра относится к боковой поверхности конуса как 3:2. Кроме того, известно, что угол, составленный ребром конуса с плоскостью основания, равен $\alpha$. Найти отношение объема цилиндра к объему конуса.

Экономический факультет

1. На одном из двух станков обработывают партию деталей на три дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы обработка этой партии деталей каждой станком в отдельности, если известно, что при совместной работе на этих станках в 3 раза больше партии деталей была бы обработана за 20 дней.

2. Решить уравнение:

$$\frac{2^x + 10}{4} = \frac{9}{2^{x-2}}.$$

3. Решить уравнение:

$$2 - 2\sin^2 3x - \tg^2 3x = 0.$$

4. Найти объем конуса, описанного окло правильно четырехугольной партии, стороны которого равна $a$, а двумя уголами которого равен $60^\circ$.