Дебют Гаусса

Квант 1972, №1 с. 4, 6, 9 Тег 1VLR

Эквивалентна задаче о делении окружности радиуса 1 на $n$ равных частей. Хорды дуг, на которые делится окружность, является сторонами правильного $n$ -угольника и длина каждой из них равна $2\sin \frac{\pi}{n}$ (рис. 2).

Следовательно, при тех $n$ , для которых $\sin \frac{\pi}{n}$ является квадратной irrationalность, можно построить правильные $n$ -угольники цирклелем и линейкой. Этому условию удовлетворяют, например, значения $n=3, 4, 5, 6, 10$ . Для $n=3, 4, 6$ это хорошо известно.

Покажем, что $\sin \frac{\pi}{10}$ — квадратная irrationalность. Расмотрим равноведренный треугольник $ABC$ (рис. 3), угол при вершине которого равен $\frac{\pi}{5}=36^\circ$ , длина $AB$ равна 1; пусть $AD$ — биссектриса угла $A$ . Тогда $x=AC=AD=BD=2\sin \frac{\pi}{10}$ .

Имеем:

$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}; \frac{x}{1-x}=\frac{1}{x}, x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

Это число является квадратной irrationalностью; тем самым мы можем построить сторону правильного 10-угольника.

Далее, из возможности деления окружности на $p_1 p_2$ равных частей

стей следует, конечно, возможность ее деления на $p_1$ равных частей (в частиности, можно построить правильный пятугольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Укажем два частных случая, когда оно все же справедливо.

Из возможности деления окружности на $p$ равных частей следует возможность деления на $2^k p$ равных частей для любого $k$ .
Если мы уменьшить окружность на $p_1$ равных частей и $p_2$ равных частей, где $p_1$ и $p_2$ взaimно просты (например, $p_1, p_2$ — различные простые числа), то окружность можно разделить на $p_1 p_2$ равных частей.

Несоколько слов о комплексных числах

Нам нужно знать про комплексные числа совсем немного: операции над ними и геометрическую интерпретацию; все это содержит, например, в школьном учебнике Кочетковых. Номним, что комплексному числу $z=a+ib$ ставится в соответствие точка с координатами $(a, b)$ (рис. 4) и вектор с концом в этой точке и с началом в $(0, 0)$ . Длина вектора $r=\sqrt{a^2+b^2}$ называется моду лем данного числа. Комплексное число $z$ можно записать в тригонометрической форме: $z=a+bi=r(\cos \varphi+i\sin \varphi)$ ; угол $\varphi$ называется аргументом числа $z$ .

уравенний: сначала решается уравнение (4), корнями которого является суммы $\varepsilon_1 + \varepsilon_4$ и $\varepsilon_2 + \varepsilon_3$ симметричных (см. рис. 6!) корней уравнения (3), а затем из уравнения (5) находятся и сами корни уравнения (3).

Именно таким путем Гауссу удалось осуществить построение правильного 17-угольника: здесь тоже выделяются группы корней, суммы которых находится последовательно из квадратных уравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находится удивительный путь ответить на этот вопрос…

Построение правильного 17-угольника

30 марта 1796 года настояет для него (Гаусса) день творческого крещения… Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единиц на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснулись, он внесално ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он приняет решение посвятить себя не филологи, а исключительно математике.

Ф. Клейн

Что бы вывить найденные Гауссом скрыты «симметрии» в множестве корней 17-й степени из единиц и, пользовясь имми, разбит корни на нужные группы, введем новую нумерацию корней. Будем возводить 3 в последовательные степени 0, 1, 2, … и каждый раз брать остatok от деления полученного числа на 17. Избавим читателя от проведения этих выкладок и в таблице приведем окончательные результаты. В первой строке стоит показатели $k$ , а под ним остатки от деления $3^k$ на 17.

Обратите внимание, что в нижней строке содержится все числа от 1 до 16; затем $3^{16}$ дает остаток 1 и далее остатки перiodических повторяются (доказите!)

Закономерность, подмеченная Гауссом, является частным случаем следующей теоремы: для всякого простого $p$ существует такое число $l$ , называемое первообразным корнем, что среди остатков от деления $l^k$ на $p$ встречаются все числа 1, 2, …, $p-1$ . Этот факт впервые отметил Эйлер (1707—1783), но смог доказать лишь Лежандр (1752—1833); другие доказательство получил Гаусс, но, верогтно, в 1796 году он еще не обладал общей теоремой, а обнаружил приведенный факт эмпирических, проводя вычисления для конкретных чисел. Это очень важное обстоятельство, не учитывая корного, трудно правильно понять природу ранних работ Гаусса.

Присвоим корню $\varepsilon_h$ , $k=3^l$ , новый номер, а именно $l$ , который мы

Таблица

| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| 1 | 3 | 9 | 10 | 13 | 5 | 15 | 11 | 16 | 14 | 8 | 7 | 4 | 12 | 2 | 6 | 1 |

Приложение 1.

Тепер мы докажем квадратную irrationalность корней 17-й степени из единиц. Отметим, что $\varepsilon_k \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$ (если $k + l \geq 17$ , то $k + l$ заменяется остатком от его деления на 17), $\varepsilon_k = (\varepsilon_1)^k$ . Перенумеруем корни из единиц при помощи нашей таблицы, а именно, будем писать $\varepsilon_{[l]}$ вместе $\varepsilon_k$ (см. формулу (1)), где $l$ — число, стоящее в таблице над $k$ . Разобем корни на группы, как показано на рисунке 8. Мы будем находить суммы корней, номера которых стоит в одном прямогольнике (рис. 8), переходя от большого прямогольника к меньшему. Прежде всего заметим, что

$\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots + \varepsilon_{16} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$

(В этом можно убедиться, например, рассматривая это выражение как сумму геометрической прогрессии.) Итак, мы нашли сумму корней в самом большом прямогольнике (№ 0).

Обозначим через $\sigma_m, r$ сумму $\varepsilon_k$ с теми $k$ , которые дают остаток $r$ при делении на $m$ . Рассмотрим суммы корней, отвечайших следующим прямогольником (№ 1).

Получаем

$\sigma_{2,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_2 + \varepsilon_4 + \ldots + \varepsilon_{14},$

$\sigma_{2,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_3 + \varepsilon_5 + \ldots + \varepsilon_{15}.$

Ясно, что

$\sigma_{2,0} + \sigma_{2,1} = \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15} = -1.$

Можно показать, что

$\sigma_{2,0} \cdot \sigma_{2,1} = 4 (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \ldots + \varepsilon_{15}) = -4^*.$

Тепер, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем составить квадратное уравнение, корнями которого будут $\sigma_{2,0}, \sigma_{2,1}$ :

$x^2 + x - 4 = 0; \quad x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}.$

Чтобы различить корни, воспользоваться рисуком 7. В каждую из сумм корней входят вместе со своим сопряженными. Ясно, что $\sigma_{2,0} > \sigma_{2,1}$ (в первом случае нужно сложить и удвоить вещественные части корней $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_4, \varepsilon_8$ , во втором — $\varepsilon_3, \varepsilon_5, \varepsilon_6, \varepsilon_7$ ). Итак,

$\sigma_{2,0} = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}, \quad \sigma_{2,1} = \frac{-\sqrt{17} - 1}{2}.$

Рассмотрим суммы корней, отвечайшие следующим прямогольником (№ 2) на рисунке 8:

$\sigma_{4,0} = \varepsilon_0 + \varepsilon_4 + \varepsilon_8 + \varepsilon_{12},$

$\sigma_{4,1} = \varepsilon_1 + \varepsilon_5 + \varepsilon_9 + \varepsilon_{13},$

$\sigma_{4,2} = \varepsilon_2 + \varepsilon_6 + \varepsilon_{10} + \varepsilon_{14},$

$\sigma_{4,3} = \varepsilon_3 + \varepsilon_7 + \varepsilon_{11} + \varepsilon_{15}.$

*) В этом можно убедиться, провода непосредственные переменения, учитывая, что $\varepsilon_k \cdot \varepsilon_l = \varepsilon_k + l$ , причем удобно пользоваться рисуком 7. Однако в приложении 2 будет указан способ, как избежать этих утомительных выкладок.