Задачи М121—М125; Ф133—Ф137

ЗАДАЧНИК
КВАНТА

Этот раздел журнала ведется у нас из номера в номер. В нем наряду с относительной легкими задачами публикуются задачи, состоящие из нескольких, постепенно условияющихся вопросов. Самые трудные задачи отмечены звездочками. Они зачастую даются нелегко даже специализатам математикам и физикам. Поэтому не отмечайтесь, если не сумеете справиться с той или иной задачей. Попробуйте со временем вернуть к ней снова.

Но вот решение найдено. Не следует, однako, на этом успокаивать. Подумайте, как можно обобщить задачу, уточнить или усилить ее результат.

Во второй части раздела мы будем помещать решение задач (примерно через полгода после публикации условий задач) с учетом присланных читательами письм. С решениями мы рекомендуем познакомиться даже тем, кто не пытается решать эти задачи самостояльно.

В большинстве служав мы указываем фамилии читатель, приславших наиболее удачные решения.

Школьники, регуляро приславшие особенно оригинальные и полные решения, получат право участвовать в областных турах Всегоозной олимпиады школьников наавне с победителями районных олимпиад. Кроме того, редакция «Кванта» установила несколько специальных премий для авторов наиболее интересных решений.

И последнее. Придумать задачу обычно труднее, чем ее решить. Труднее, но это и интереснее. Попробуйте придумать задачи и пришите их нам. Лучшие из них мы опубликуем в «Задачнике «Кванта»».

Свои решения и новые задачи прислайте по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект 15, редакция журнала «Квант», «Задачник «Кванта». На конверте после адреса указывае, решения каких задачи вы посылаете (например: M122, M124, Ф146). Решение каждой задачи (если вы посылаете сразу неpendено на отдельном листке (листах), страницы пропумерованы.

В конце укажите свою фамилию, имя, отчество, шестизначный индекс, адрес, а также класс и школа. Решения рассматривают только в том случае, если они получены не позднее, чем через полтора месяца после выхода соответствующего номера журнала.

37

3АДАЧИ

M121. Докажите, что для любых $n$ вещественных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ найдется такое натуральное $k \leqslant n$, что каждое из $k$ чисел

$$a_k, \frac{a_{k-1}+a_k}{2}, \frac{a_{k-2}+a_{k-1}+a_k}{3}, \dots, \frac{a_1+a_2+\dots+a_k}{k}$$ не превозходит

$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}.$$

M122. Пятнуюгольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что расстояния от точки $E$ до прямых $AB, BC$ и $CD$ равны соответствию $p, q, r$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $AD$.

M123. Найдите все натуральные числа $m$, для которых

$$1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot \dots \cdot (2m-1)! = \left( \frac{m(m+1)}{2} \right)!$$

(через $n!$ обозначается произведение $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$).

В. П. Бешкарев

M124. Дан треугольник $ABC$. Найдите внутри него точку $O$, обладающий следующим свойством: для любой прямой, проходящей через точку $O$ и пересекающей стороны треугольника $AB$ в точке $K$ и $BC$ в точке $L$, выполняется равенство

$$\frac{AK}{KB} + \frac{CL}{LB} = 1.$$

Вообщите, докажите, что если $p$ и $q$ — произвольное заданные положительные числа, то внутри треугольника $ABC$ можно указать такую точку $O$, что для любой прямой $KL$, проходящей через эту точку ($K$ лежит на $AB$, $L$ на $BC$),

$$p \frac{AK}{KB} + q \frac{CL}{LB} = 1.$$

Г. Номен (ученик 10 класса)

M125. a) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством:

Ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждой трех чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

6. Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающим таким свойством?

b) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешается включать только нечетные числа.

Вот один пример такого набора из четырех чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трех чисел 3, 5, 7 сумма 5+7 делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма 107+5 делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма 7+107 делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма 3+107 делится на 5.

Ю. И. Нонин

Ф133*. Замкнутая металлическая цепочка соединена нитью с осью центровкой машины и врашается с угловой скоростью $\omega$ (рис. 1). При этом нить составляет угол $\alpha$ с вертикалью.

Рис. 1.