Опыты с маятниками

26

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
с ОПЫТЫ
МАЯТНИКА
Г.Л.Коткин

Трудно найти физические приборы, которые были так просты по устройству и надежны в употреблении, как матникки. Между тем, опыты с ними могут привести к любопытным результатам, которые чрезвычайно важны не только в механике, но и в радиотехнике и электротехнике. Попробуйте самостоятельно проделать предлагемые опыты и объяснить те эффективы, которые вы при этом будете наблюдать. Хотя сами опыты очень просты, однako, полностью разбраться в повышении матников непросто: для этого нужно знать основные законы гармоничческих колебаний и иметь опыт в тригонометрических преобразованиях. Полностью разбраться в данной стате смогут, по-видимому, лишь только десятиклассики, однako и школьники 8—9 классов могут проделать эти опыты и полностью объяснить их хотя бы качественно.

Матник с разделением подвесом

Сделайте матник с разделенным подвесом, показанный на рисунке 1. Длина матника $l$ должна быть намного больше длины верхней разделенной части подвеса.

Толкните матник под углом к плоскости рисунка. Вы увидите, что сначала матник будет качественно в направлении только, но вскоре его движение перейдет во врашение во круглiger вертикальной оси. Затем матник вовь начнет колебаться в плоскости, но уже не в той, в которой его толкнуты. После этого снова начнется врашение, но уже в другую сторону. Постепенно оно сменится движением в направлении первого колебального толчка. Потом все опять повторится сначала.

С чем связывано такое поведение матника?

Связанные матники

a) Два одинаковых матники (например, гайки на нитке) подвесят на не очень тую натянутой нитки $AB$ (рис. 2). Отклоните один из матников и отпустите.

Рис. 1. Рис. 2.

27

Попробуйте менять массы грузиков, изменять длины нитей матников, наяжение верхней нити.

6. Прикрепите два матрика кжесткой раме. Затем свяжите нити матников ниткой на некоторой высоте (рис. 3). Отклоните один из матников и опустите. Посмотрите, как при этом будет дивгаться матники.

Двойной матник

Устройство двойного матника показано на рисунке 4. Верхний грузик намного тяжелее нижнего, а длинный нитей одинаковы. Толкните нижний грузик и наблюдайте за его движением.

Давайте теперь разберемся в поведении этих матников.

1. Начнем с матника с развовенным подвесом.

Довольно сложное поведение матника, которое вы наблюдайте, можно объяснить тем, что его движение складывается из двух колебательных движений (рис. 5): паралельного плоскости $zy$ и перпендикулярного ей. Эти колебания проискают независимо друг от друга (если отклонения матника от вертикали не слишком велики), а периоды их соответствующего равны

$$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$$

Прежде всего научимся описывать движение грузика с помощью координат.

Пусть точка $A$ движется по окружности радиуса $a$ с угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки (рис. 6а) или по часовой стрелке (рис. 66). Тогда проекция $B$ точки $A$ на ось $x$ совершает гармоническое колебания*) с угловой частотой $\omega$, равной $\frac{2\pi}{T}$, и амплитудой $a$.

Проекция $C$ той же точки $A$ на ось $y$ совершает подобные же колебания, но достигает наиболее отклонения от точки $O$ на четверть периода позже — через время, за которой радиус $OA$ делает $\frac{1}{4}$ оборота вокруг точки $O$. В этом нетрудно убедиться, проследив за движениями точки $C$ и $B$ при врашении радиуса $OA$. В тот момент, когда проекция точки $A$ на ось $x$ максимально отклонена от точки $O$, ее проекция на ось $y$ как раз

*) См., например, статью Я. А. Смородинского «Похожие движения», «Квант» № 9,1971.

29

направленни $OD$ (рис. 7) на расстояние $a$ и затем отпустить, то координаты грузика будут изменяться согласно формулам:

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos \omega_2 t, \end{cases}$$

где

$$\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{l}},$$

$$\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \sqrt{\frac{g}{L}},$$

$$a = \frac{b}{\sqrt{2}}.$$

Напомним, что $l$ и $L$ очень мало отличия друг от друга, то есть частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ почти одинаковы. Поэтому вначале колебания по оси $x$ и $y$ проискодят почти в фазе.

Так как $\omega_1 > \omega_2$, то с течением времени колебание по оси $y$ отстает от колебания по оси $x$ все больше и больше. Но, как мы видели, при движении точки по окружности против часовой стрелки колебания ее проекций на оси $x$ и $y$ отстают друг от друга на четвертый период. Отсюда следует, что когда отставание колебаний грузика по осам $x$ и $y$ достигнет четвертый период, он будет двигаться как раз по окружности против часовой стрелки. При отставании колебаний грузика по осам $x$ и $y$ на полерiodа он будет двигаться вдоль прямой $E'D'$. Затем отставание колебания вдоль оси $y$ достигнет $\frac{3}{4}$ период — грузик движется по окружности по часовой стрелке. Наконец, при отставании на цельный период грузик опять колебляется вдоль прямой $ED$. Это вы и наблюдали.

Эти расчудения удобно «пересказать» с помощью формул. Систему (5) можно представить в виде

$$\begin{cases} x = a \cos \omega_1 t, \\ y = a \cos (\omega_1 t - \phi), \end{cases}$$

где $\phi = (\omega_1 - \omega_2) t$. За два-три периода $\phi$ почти не изменяется, но за много периодов неуклонно нарастает. При $\phi = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ формулы (6) совпадают последовательно с формулами (3), (1), (4), (2).

Рис. 9.

При $\phi = 2\pi$ грузик возврашает к движению по прямой $ED$.

Изложенную теорию можно проверить экспериментально. Ведь мы можем расчитать, через какое время движения грузика пройдёт весь цикл изменений. Если это время $T_0$, то $\phi_0 = (\omega_1 - \omega_2) T_0 = 2\pi$, открывая $\frac{2\pi}{T_0} = \omega_1 - \omega_2$, или

$$\frac{1}{T_0} = \frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2}.$$

Теперь нужно измерить периоды колебаний $T_1$ и $T_2$ мятника, затем в плоскости $yz$, другой раз — в плоскости $xz$. Время $T_0$ измеряется независимо. Измерив $T_1$, $T_2$ и $T_0$, проверьте правильность формулы (7). Для измерения $T_1$ и $T_2$ лучше определить время, скажем, в 10—15 колебании. Тут же обнаруживается, какие причины ведут к отклонению от расчета. По-видимому, прежде всего сказывается затухание колебания, вызванное сопротивлением воздуха. Что же, грузики не должны быть слишком легкими.

В действительности движения проискодит не по прямой или окружности, а по сложной траектории. Эта траектория (рис. 9) более или менее равномерно «заполняется» весь квадрат.

Если начальное отстальное с плоскостью симметрины угол, отличный от $\frac{\pi}{4}$, то характерными «мгновенными» траекторями грузика оказываются диагонали прямого угловника и вписанные в него эллипсы.

Тот факт, что движение мятника складается из независимых колебаний, выражают, говоря, что для его колебаний справедлив приципп суперпозицини *).

2. Перейdem к объясению движения связанных мятников (рис. 2 и 3). Если отклонить, а затем отпустить один из них, мы увидим, что постепенно придет в движение другой.

*) Читатель «Кванта» уже встречались с принципом суперпозицини при объясении вида волна на поверхности воды («Квант» № 1, 1971, стр. 32).

30

Это объясняется тем, что при отклонении первого матрика связью их нить деформаруется и сила упругости воздействует на другой матрикке, сообщая ему ускорение. Первый матрик будет колебаться со все меньшей амплитудой и, наконец, остановится. В это время амплитуда колебаний второго матрика будет наиболее пышной. Потом раскадает первый матрик, а второй остановится и так далее.

Сложное колебательное движение системы, состоящей из двух матриков, можно представить как результат сложения (суперпозиции) двух колебаний с частотами $\omega_1$ и $\omega_2$. Одна из частот равна частоте, с которой будет колебаться оба матрики, если их одновременно отклонить в одну сторону, а затем отпустить (рис. 10). Обозначим эту частоту через $\omega_1$. Другая частота $\omega_2$. Это частота, с которой будет колебаться оба матрики, если их вначале одновременно отклонить в противоположные стороны, а затем отпустить (рис. 11).

Отметим, что угловая частота $\omega_2$ больше угловой частоты $\omega_1$. Эти два колебания называются нормальными колебаниями двух связанных матриков.

Напишем уравнение нормальных колебаний. Первое

$$\begin{cases} x_1' = a \cos \omega_1 t, \\ x_2' = -a \cos \omega_1 t, \end{cases}$$

второе

$$\begin{cases} x_1'' = a \cos \omega_2 t, \\ x_2'' = a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Сложим смешения $x_1'$ с $x_1''$ и $x_2'$ с $x_2''$. Получим:

$$\begin{cases} x_1 = x_1' + x_1'' = a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t, \\ x_2 = x_2' + x_2'' = -a \cos \omega_1 t + a \cos \omega_2 t. \end{cases}$$

Воспользовавшись формулой сложения косинусов, получим:

$$\begin{cases} x_1 = A \cos \Omega t, \quad \Omega = \frac{\omega_1 + \omega_2}{2}, \\ A = 2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right). \end{cases}$$

Вследствие того, что $\omega_1$ мало отличается от $\omega_2$, выражение $\cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ близко к 1 (если $\omega_1$ равна $\omega_2$, то это выражение равно 1). Следовательно, оно мало влияет на значение $x_1$. Поэтому сомножитель $2a \cos \left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t \right)$ в выражении для $x_1$ можно рассматривать как медленно изменяющий амплитуду (красный пункт на рис. 12, а). Аналогично обстоит