Вниманию восьмиклассников! Заочная математическая школа объявляет приём учащихся

66

В ЗМШ принимаются только ученики высых классов. Школьники, проживающие в Москве, Ленинграде и их пригородах, в ЗМШ не принимаются. Занятия в школье начнутся с 1 сентября.

В ЗМШ два курса. Ученики, успешно окончившие школа, получат свидетельство об ее окончании. Обучение в школе бесплатное.

В этом номере «Кванта» предназначется задачи, которые служат вступительный контрольной работы в заочные математические школы при МГУ и ЛГУ. Те, кто хочет поступить в ЗМШ, должны выслать решение этих задач не позднее 10 марта 1972 г. После проверки работы (примерно в июле 1972 г.) вам будет сообщено, приняты ли вы в ЗМШ.

Хотя некоторые из вступительных задач по внешнему виду отличются от обычных школьных, для их решения не требуется никаких дополнительных знаний по математике.

Для того чтобы быть принятым в школе, не обязательно решать все задачи без исключения. При оценке работы будет учитывать не только количество решенных задач, но и качество решения. Решение каждой задачи должно быть обосновано. Ответ без всяких obясненей может быть не зачитан. Если в задаче возможно несколько разных ответов, то надо указыть их все.

Работы должны быть выполнены на русском языке в ученической терради в клатеку. Вступительные работы обрабат не выслалются.

Просим при пересылке не сворачивать терради в трубку. В конверт вместе с террадиную нужно вложить листок бумаги размером 14×6 см с написанным в нем вашим почтовым адресом (мы наклейем его на конверт, когда будет посылать ответ).

На обложку терради наклейте лист клетчатой бумаги, разграфив и заполнить его по следующему образцу (инначеваша работа проверяется не будет!):

Область:
Фамилия, имя, год рождения:
Школа (полное название):
Класс:
Фамилия, имя, отсутствую учитель математики:
Место работы и должность родитель:

Полный почтовый адрес:

Результаты проверки (заполняется проверяющим)

№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Школьники, проживающие в Архангельской, Вологодской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской области, Коми и Карельской АССР, Белоруссий, Латвийской, Литовской и Эстонской ССР, должны выслать работы по адресу: Ленинград, П-228, ул. Савушкина, 61, Специнтернат при ЛГУ. Заоная школа. На конкурс.

Школьники, проживающие в остальных области и республиках ССР, должны выслать работы по адресу: Москва, В-234, МГУ, механит, ЗМШ. На конкурс.

67

Условия задач
вступительный контроль работы
в 3МШ 1972 года

1. На колъевой дороге проводится этафета мотоциклистов. Старт и финиш находится в одном и том же месте. Какое наименьшее число этапов может быть в этой этафете, если длина колъевой дороги — 330 км, а длина каждой этапа — 75 км? (Движение по дороге одностороннее.)
2. В треугольнике центры вписанной и описанной окружностей симметричных относительной одной из сторон. Найдите углы треугольника.
3. Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+ax+bc=0$, а $x_1$ и $x_3$ — корни уравнения $x^2+cx+ab=0$. Доказите, что $x_2$ и $x_3$ — корни уравнения $x^2+bx+ac=0$, если $ac$ не равно $bc$.
4. Двое играют в такую игру. Перед ним на бумаге в цепочку нарисовано несколько минутов. Каждый по очереди переправляет один или два соседних минута на плоск. Выигравает тот, кто переправит последний минутс. Кто выиграет при правлении игре: начинающий или его партнер и как ему надо для этого игры, если вначале нарисовано: a) 7 минутов; b) 8 минутов; c) n минутов?
5. В треугольнике ABC проводится биссертриса AK и медиана AM. Чему может равнять относение сторон AB и AC, если известно, что один из отрезков BM, MK, KC равен полусумме двух других?
6. В каком году родился Матвей, если в 1972 году ему исполнилось столько лет, какова сумма цифр года его рождения?
7. Существует ли хотя бы одно число $a$ такое, что оба числа $a+V\sqrt{15}$ и $\frac{1}{a}-V\sqrt{15}$ целые?
8. $AC$ и $BD$ — две взаимно перpendикулярные хорды круга. Перpendикуляр, опущенный на прямую $CD$ из точки $A$, пересекает прямую $BD$ в точке $M$, а перpendикуляр, опущенный на прямую $CD$ из точки $B$, пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $ABKM$ — ромб.
9. Один из пяты братьев разбил окно. Андрей сказал: «Это или Витя, или Толя». Витя сказал: «Это сделал не и не Юра». Толя сказал: «Вы оба говорите неправду». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой — нет». Юра сказал: «Нет, Дима, ты неправ». Их отец, который конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто разбил окно?
10. Среди всех треугольников, у которых сумма медиан равна 3 см, найти треугольник с самой большой суммой высот.
11. Придумайте четырех целых неотрицательных чисел, чтобы каждое число от 1 до 81 можно было представить в виде суммы четырех чисел — по одному из каждой тройки.
12. Дан равносторонний треугольник ABC. Про точку $M$ известно, что $\angle AMC = 30^\circ$, $\angle BMA = 40^\circ$. $\angle ABM > 90^\circ$. Найдите $\angle MBC$.