Физико-математическая школа при МИИТе

68

Физико-mатематическая школа
при МИИТе

А. Л. Садовский

В января 1968 года в Московском институте инженеров транспорта была организационная вечерняя физико-mатематическая школа. Первоначально в ФМШ принимались все, кто хотел углубленно изучать математику и физику как в объеме школьной программы, так и за ее пределами. Оdnako уровень посещаюших ФМШ оказался очень пестрым. Некоторые из поступающих не окидали, что в вечерней школе им придется тоже трудиться, и потому довольно быстро охладелали к ней.

Пришлось обратиться к испытаномому средству: весной и осенью, когда формированы набор 1970 года, были проведены конкурсы экзамены. Эти экзамены состояли из трех этапов: письменная работа (две задачи по физике, три по математике) и устные экзамены по физике и по математике. В результате отбора из 320 кандидатов было принято 250 учеников (110 в девятьде и 140 в десятье классы), из которых были составлены два потока, один девятьх, а другой десятьх классов. В 1971 году были формированы два потока десятиклассников (изучшихся в предыдущем году в девятом классе и из новьей принятиях), поток девятыклассников и поток восbmиклассников.

Занятия в ФМШ проводятся следующим образом: по средам читается лекция по физике и проводится семинар по математике, а по пятницам — лекция по математике и семинар по физике. Продолжительностьность лекций и семинаров равна двум академическим часам. Лекции читают профессора, преподаватели и аспиранты института; занятия проводят студенты факультета «Автоматика и вычислительная техника» (специальности «Прикладная математика») и других факультетов МИИТа. Среди руководителей группы занятый много выпускников специализных физико-mатематических школа.

В работе школьи и в ее программе два основных направления. Первое из них — более детальное изучение традиционного школьного курса и совсем близких к нему разделов математики и физики (элементы комбинаторов, комплексные числа, многочлены и алгебраические уравнения и другие). Второе направление — развитие математической культуры и расширение кругозора учашinxся. С этой целью читаются циклы лекций, посвященные специальным вопросам, лекциям за пределами школьной программы: геометрические преобразования, понятие о геометрии Лобачевского, элементы теории множества, теории действияных чисел, элементы теории вероятности и теории ингредиентов.

Известно, что проблемы, стоящие перед учениками ФМШ, различны: десятиклассики стремятся подготовить к конкурсным экзаменам в ВУЗ или во ВТУЗ, девятыклассики пока такую задачу перед собой не ставят. В связи с этим программы у самых старших более утиларна, то есть в пределах в течение им материала мы придерживаемся, в основном, первого направлении. Совсеминой подход к учащимся девятых классов. Принимая во внимание имеющийся у них резерв времени, физико-mатематическая школа создает базу, состоящую из таких функентальных теорий, как теория множества, основы математического анализа, чтобы потом, опираясь на этот базис, преподавателем было бы легче обяснять элементарный курс математики, а школьникам — восприннимать.

Несоколько труднее приходит нашим физикам, так как в обыкновенной школе физике зачастую недостаточно внимательность некоторых сведений на всю программу ФМШ по физике, которая, практическими, не предусматривает изучение многих интересных проблем и задач, не входящих в стандартный школьный курс.

Организация работы в ФМШ ведется в двух секциях: физики и математики. Руководящим организом школьей является Совет ФМШ во главе с преdecessorом института по учебной работе, профессором И. П. Исаевым, зам. председателя по общим вопросам доцентом В. И. Малаховым и заавучем студентом Виктором Матвейчком. В Совет ФМШ входят по четыре студента — представителя секции физики и математики.

Рис. 1.

Каждую неделью секции проводят методический семинар для преподавателей—студентов, на котором обсуждаются темы занятий, отображенные задачи, причины их решения и другие вопросы. Эти семинары проводят в непосредствном контакте с лекторами. Большую помощь в этом физико-математической школе оказают доценты В. И. Коровин, А. С. Дробат, Т. А. Шульман, профессор Е. С. Вентцель и много преподавателей кафедры «Прикладная математика».
Издательство МИИТа предустает издание методических пособий для студателей школа. Однако из целей фуционирования школи является подготовка абитуриентов в МИИТ, который практическим превращается в современный политехнический институт.

Преподаватели ФМШ участвуют и в проведении традиционных олимпiad МИИТа по математике и физике. В 1971 году кафедра вычислительной математики проводила V олимпiad по математике, а кафедра физики IV олимпiad по физике. Ниже приводятся некоторые из олимпiadных задач по математике.

Задания

1. На плоскости даны две прямые и точка. На одной из прямых найти точку, равноудаленную от другой прямой и заданной точки.

2. Из A в B отправлен поезд из n шагов, часть из которых загружена, в гороны проNUMерованы по порядку, сумма номеров загруженных в горонов крата k, где k>n. На перегоне состав может подвергнуть нападению грабителей, которые могут очистить не более одного вагона. В пунктке B известны числа n и k. Как после проверки всех вагонов узнать, было ли ограничение, и какой именно вагон был ограничен?

3. Доказать, что для многочлена P(n)=a1968n1998+…+a1n+a0 с натуральными коэффициентами найдет такое натуральное n0, при котором P(n0) не является простым числом.

4. Многочлен f(x)=a_nx^n+…+a_1x+a_0 при делении на x-a дает в остатке a^2, при делении на x-b дает в остатке b^2, а при делении на (x-c) дает c^2. Найти остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) (x-b) (x-c), где a, b, c — попарно не равные между собой числа.

5. Дан квадрат со стороны 1. Доказать, что как бы ни было велико число N, можно построить систему не перекрывающихся кругов, целиком лежащих внутри квадрата и таких, что сумма длины их будет больше N, а сумма их площадей меньше $\frac{1}{N^2}$.

6. Дано 2n цифра a1, a2, …, an, an+1, …, a2n. Число A, образованное perвыми n цифрами, в 2 раза больше числа B, образованного остальных цифрами. Сумма perвых n цифра равна сумме вторых n цифра. Доказать, что сумма цифр делится на 9.

7. Обезьяна Чи — чи — чи собствена бананы. Ей удалюсь собствен 100 бананов. Когда доктор Айболит взвесил эти бананы, то выяснили, что они весят 10 кг, однako ни один банан не весил более 200 г. Доказать, что этими бананами

Рис. 2.

можно накормить Тяни — Толкая так, чтобы он не обидался (рис. 1).

Причем ие: Тяни — Толкая обидится, если одна голова съет бананов хотя бы на 100 г больше, чем другая; в противном случае.

8. График функции y=x^n+a1x^n+1+…+a_n(n>1) пересекает прямую y=a в точках A1, …, An, а прямую y=b в точках B1, …, Bn. Прямые AiBi обязают с осью абсцисс углы αi. Доказать, что $\sum \text{ctg} \alpha_i = 0$.

9. В выпуклом n-угодные проведены все диагонали. На каждой стороне стрелки таким образом, чтобы не получалось циклов. Циклом называется замкнутая ломанная линия, на каждом звене которой стоит стрелка так, что начало каждой стрелки совмещено с концом предыдущего (пример цикла изображен на рисунке 2).

10. Из точки вне круга проводится секущую так, чтобы она делилась окружностью пополам.

11. Доказать, что между n и n! находится по крайней мере одно простое число.

12. На прямой задана совокупность отрезков, из которых каждая пара имеет не менее одной общей точки. Доказать, что все отрезки имеют по крайней мере одну общую точку.

70

К статье «Как получают низкие температуры»

1. В детанере процес расширения протекает настолько быстро, что теплотдача не успевает произойти. Дроссель же достаточно хорошего теплопроводан.
2. Нельзя. Потому что в ферромагнитных элементарные магниты не разорентированы. Намагниченное ферромагнитков, особенно при низких температурах, практически не зависит от магнитного поля. Они намагничиваются до насыщения в слабых полях.
3. В джоулях/градиус. В таких же единицах измеряется теплопростой тела (неудельная, а полная).

К статье «Применение неравенства Буняковского—Коши к решению некоторых задач»

1. a) Сначала надо показать, что
   $$\sin^2 x + \sin^2 \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = \frac{3}{2}.$$
   Тогда $y_{\max} = \sqrt{\frac{3}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)}$;

6. показать, что
   $$\sin^2 (x + y) + \sin^2 (x - y) + \cos 2x \cos 2y = 1.$$
   Тогда $z_{\max} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$;
   в) предварительно показать, что
   $$\cos^2 x + \cos^2 y + \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z = 1.$$
   Тогда $u_{\max} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$;
   г) $u_{\max} = \sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2}$, так как $\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z + \sin^2 t + 2 \cos (x + y) \cos (y + z) \cos (z + x) = 2$;
   д) $y_{\max} = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$.

2. $-ab \leq u \leq ab$.
3. Указание. В неравенстве (*) положить
   $$a_i^2 = x_i, b_i^2 = y_i.$$
4. Указание. Используем предыдущие неравенства:
   $$\left( \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i b_i} \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i x_i} \frac{b_i}{x_i} \right)^2 \leq \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \sum_{i=1}^{n} \frac{b_i}{x_i}.$$
5. Указание. В неравенстве (*) положить
   $$a_i = \sqrt{x_i y_i}, b_i = \sqrt{\frac{x_i}{y_i}}$$
   тогда $a_i b_i = x_i$.

К задаче «Числовой треугольник» (см. стр. 25)
В средней строке стоит числа $n^2 - n + 1$. Отсюда уже легко вывести все три свойства.

К статье «Олыты с магнитками»
2. Грузик магнитка с развоевным подвесом описывает восемерку, когда перiodы колебаний по осм $x$ и $y$ относятся как $1:2$, то есть при $L = 4l$. Точно подобрать такое отношение периодов двойного трудно, поэтому получается превращения траектории из восввмерки в С-образную и обратно.
3. Один магнит «секундный», длину его ($l = \frac{g T^2}{4\pi^2} \approx 1$ м) можно отмерить линейкой. Длина другого подбирается экспериментально так, чтобы совпадали моменты наиболее одного отклонения через 5 полных периодов «секундного» магнитка.

К статье «Иrrащionalные уравнения»

1. Нет решений.
2. $x = 2$. Указание. Переписать уравнение в виде $\sqrt{x + 2} = \sqrt{3x + 2}$ и возввести в шестую степень; при этом учесть дополнительное условие $x \geq -\frac{2}{3}$.
3. $x_1 = 12/127, x_2 = -4/43$. Указание. Привести левую часть к общему знаменателю, возввести уравнение в седьмую степень, а затем из обеих частей извлечь корень восвввернуть; в результате получится уравнение $|x + 12| = 128 x$.
4. $x_1 = 3, x_2 = 5$. Указание. Числитель дроби в левой части есть сумма кубов $(\sqrt{5} - x)^3 + (\sqrt{x} + 3)^3$.
5. Нет решений. Указание. Положить $y = \sqrt{x - 2}$.
6. $x = 5$. Указание. Положить $y = \sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4}$.
7. $x_1 = 1, x_2 = -6$. Указание. Преобразовать уравнение к виду $\sqrt{3(x - 2)^2} + \sqrt{3(x - 2)(x + 7)} + \sqrt{3(x + 7)^2} = 3$ и умножить обе части на $\sqrt{3(x + 7)} - \sqrt{3(x - 2)}$.
8. $x = a + \frac{1}{2} - \sqrt{a + \frac{1}{4}}$ при $a \geq 0$; при $a < 0$ решений нет.

71

9. $x = \frac{\sqrt{5} a^4}{1 - \sqrt{5} a^4}$ при $0 < a < 1$; при остальном значениях $a$ решеней нет.

К вариантом вступительных экзаменов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет вычислительной математики и киберnetики

1. $x = 10^{-\sqrt{19/8}}, y = \log_2(3 + \sqrt{19/2}) - 1$.
2. $\pi/6 < |x| \leq \pi/4$. 3. Бритад три; в каждой бритаде 3 гусеничных и 5 колесных тракторов. 4. $c \sin \frac{\alpha}{2}$. Указание. Расстоять на окружности, описанной около треугольника $ABC$, точку пересечения с перпендикуляром, восставлением из середины катаета $BC$. 5. $\frac{h^3 (\sin \alpha + 2 \cos \frac{\alpha}{2})}{3 (\cos \alpha + \sin \frac{\alpha}{2})}$.

Отделение общеей геологии геологического факультета

1. $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, где $k$ и $n$ — любые целые числа. 2. 450 легковых и 550 грузовых автоматических. 3. $a = 1/2$. 4. $r = 24$ см. 5. $-3/2 < x < -23/16$.

Отделение геофизики геологического факультета

1. $x = 1, y = 1$. 2. $0 < x \leq 15$. 3. $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число. 4. 3, 9, 27, 81, 243. 5. $\frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ см.

Химический факультет

1. $\frac{9 \sqrt{3}}{4} r^2$. Указание. Убедиться, что $\rightarrow DKE = \rightarrow CEK$. Продолжив боковые стороны $AD$ и $BC$ трапеции до пересечения в точке $M$, выразить углы $DKE$ и $DAB$ через угол $AMB$ и доказать, что $\rightarrow DAB = \rightarrow DKE$.
2. $x_1 = 1, x_2 = 2$. 3. $600 m^3$. 4. $\frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq x < \frac{\pi}{3} + 2n\pi$, где $n$ — любое число. 5. $\frac{9\pi}{5\sqrt{10}} r^3$. Указание. Центр шара $O$ лежит в середине отрезка (длины $2r$), соединяющего центры правильных треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ (в каждый из этих треугольников может быть вписана окружность радиуса $r$). Основанием цилиндра служит круг, получащийся в сеченении шара плоскостью $AMN$, а высота цилиндра равна удвоенному расстоянию от центра шара $O$ до этой плоскости. Доказать, что основание перпендикулара, опущенного из точки $O$ на плоскость $AMN$, лежит на высоте треугольника $AMN$, опущенной из вершины $A$, и вычислить длину этого перпендикулара.

УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

Физико-математический факультет

1. На $T \left(1 - \frac{2s}{p} + \frac{s^2}{2p^2}\right)$ часов. 2. $u_1 = 1, v_1 = 2, w_1 = 2, v_2 = 1, w_2 = 1$.
2. $-\frac{\pi}{3} + k\pi < x < -\arccos \frac{\sqrt{10}}{4} + k\pi$, $\arccos \frac{\sqrt{10}}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k$ — любое целое число.
3. $2\sqrt{2} R^2 \cos \alpha \left(\sin \alpha + \sqrt{\sin^2 \alpha + \frac{1}{2} \cos^2 \alpha}\right)$.

Инженерный факультет

1. Скорость пассажирского поездного 30 км/час. 2. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + k\pi, x_2 = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$, где $k$ и $n$ — любые целые числа. 3. $x_1 = 2, x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$. 4. 27:16 $\sin^2 \alpha$.

Экономический факультет

1. 12 дней первым станком и 15 дней вторым станком. 2. $x = 3$. 3. $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$, где $k$ — любое целое число.
2. $\frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{12}$.

К заметке «Физико-математическая школа при МИНТЕ»

1. Использовать подобие.
2. На станции $B$ надо сложить номера всех загруженных вагонов и разделить на $k$ этау сумму. $k$ минус остаток равно номеру отрабленного вагона.
3. Запишите многочлен в виде $P(n) = a_{1968} (n^{1968} - 1) + \dots + a_1 (n - 1) + a_0 (1 - 1) + a_{1968} + \dots + a_0 (n - 1) \times Q(n) + A$, где $Q(n)$—некоторый многочлен, $A$—натуральное число и $A \neq 1$. Подставьте $n_0 = A + 1$.

4. По теореме Безу
   $$f(a)=a^2; f(b)=b^2; f(c)=c^2.$$
   Разделить $f(x)$ на $(x-a)(x-b)(x-c)$ означает представить $f(x)$ в виде
   $$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+p_1x^2+p_2x+p_3.$$
   Подставляя в это равенство последовательно $x=a, x=b, x=c$, получим систему уравнений для неизвестных $p_1, p_2, p_3$.

5. Надо построить $N^4$ кругов с радиуса $\frac{1}{2N^3}$. Тогда $L=\frac{2\pi}{2N^3}N^4>N,$
   $$S=N^4\frac{\pi}{4N^6}<\frac{1}{N^2}.$$

6. С одной стороны $A$ и $B$ дают одинаковые остатки при делении на 9. С другой стороны $A$ дает вдвое больший остаток. Отсюда легко выводится, что и $A$ и $B$ делятся на 9.

7. Есть банан, который весит менее 100 г,kladем его в карман. Кормим головы Тяни — Толкая по очереди: как только одна начинает обжатся — кормим ее. Последний банан отдаем обидевшейся голове.

8. Достаточно заменить, что $A_i$ есть действительный корень уравнения $x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n-a$, а $B_i$ есть действительный корень уравнения $x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n-b$. Отсюда легко выводится требуемое равенство.

9. На плоскости найдется прямая, не параллельная сторонам и диагоналям многоугольника, либо их конечное число. Пусть все стрелки по направлению к этой прямой.

10. Рассмотрите число $N=n!-1$ и его простой делитель $p$, который не превосходит $N$. Нетрудно видеть, что $p>n$, в противном случае $N-n!=1$ делится на $p$.

11. Надо рассмотреть самый правый из левых концов отрезков, и самый левый из правых концов отрезков. Затем показать, что самый правый не правее самого левого.

Заведующая редакцией Л. В. Чернова. Главный художник А. И. Климанов
Художественный редактор О. Н. Яковлева. Корректор М. Л. Медведская
Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15. Тел. 234-08-11, 234-07-93

Сдано в набор 28/IX-71 г. Подп. в печать 7/XII-71 г. Бумага 70×100$^1$/16 Физ. печ. л. 4,5 Усл. печ. л. 5,8 Уч.-изд. л. 6,40 Тираж 333920 Т-19563 Цена 30 коп. Заказ 1882
Чеховский полигraphкомбинат Главполигraphпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Чехов Московской области

РУКОПИСИ НЕ ВОЗВРАЩАЮТСЯ