Trường Vật lý và Toán học tại MIIT

68

Trường vật lý và toán học
tại MIIT

A. L. Sadovsky

Vào tháng 1 năm 1968, Viện Kỹ sư Giao thông Vận tải Mátxcơva đã tổ chức một trường toán và vật lý buổi tối. Ban đầu, Trường Vật lý chấp nhận tất cả những ai muốn nghiên cứu sâu về toán và vật lý cả trong chương trình giảng dạy ở trường và hơn thế nữa. Tuy nhiên, trình độ của những người tham dự FMS hóa ra rất khác nhau. Một số ứng viên không ngờ rằng họ cũng sẽ phải làm việc ở trường buổi tối nên nhanh chóng mất hứng thú với nó.

Tôi phải chuyển sang một phương pháp đã được thử nghiệm: vào mùa xuân và mùa thu, khi đợt tuyển sinh năm 1970 được hình thành, các cuộc thi tuyển được tổ chức. Các kỳ thi này bao gồm ba giai đoạn: bài viết (hai bài toán về vật lý, ba giai đoạn về toán học) và thi vấn đáp về vật lý và toán học. Kết quả của việc tuyển chọn, trong số 320 thí sinh, có 250 học sinh được nhận (110 học sinh lớp chín và 140 học sinh lớp mười), từ đó tổng hợp hai luồng, một học sinh lớp chín và một học sinh lớp mười. Năm 1971, hình thành hai luồng học sinh lớp 10 (năm trước học lớp 9 và từ những đợt tuyển sinh mới), một luồng học sinh lớp 9 và một luồng học sinh lớp 8.

Các giờ học ở Trường Vật lý được tiến hành như sau: Thứ Tư có một bài giảng về vật lý và một buổi hội thảo về toán học, và vào thứ Sáu có một bài giảng về toán học và một buổi hội thảo về vật lý. Thời lượng của các bài giảng và hội thảo là hai giờ học tập. Bài giảng được giảng dạy bởi các giáo sư, giáo viên và nghiên cứu sinh của viện; các lớp do sinh viên Khoa Tự động hóa và Khoa học Máy tính (chuyên ngành “Toán ứng dụng”) và các khoa khác của MIIT giảng dạy. Trong số những người đứng đầu nhóm bận rộn có nhiều người tốt nghiệp các trường chuyên ngành vật lý và toán học.

Có hai hướng chính trong công việc của trường và chương trình của nó. Phần đầu tiên trong số đó là nghiên cứu chi tiết hơn về khóa học ở trường truyền thống và các phần toán học và vật lý rất gần với nó (các phần tử của tổ hợp, số phức, đa thức và phương trình đại số, v.v.). Hướng thứ hai là phát triển văn hóa toán học và mở rộng tầm nhìn của học sinh. Với mục đích này, một loạt bài giảng được đưa ra về các vấn đề đặc biệt, các bài giảng ngoài chương trình giảng dạy ở trường: các phép biến đổi hình học, khái niệm hình học Lobachevsky, các phần tử của lý thuyết tập hợp, lý thuyết số hoạt động, các phần tử của lý thuyết xác suất và lý thuyết thành phần.

Được biết, vấn đề mà học sinh Trường Vật lý và Toán học gặp phải là khác nhau: học sinh lớp 10 phấn đấu chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng kỹ thuật, học sinh lớp 9 cho đến nay bài toán họ không đặt nó trước mặt họ. Về vấn đề này, các chương trình của những chương trình lâu đời nhất mang tính thực dụng hơn, nghĩa là trong giới hạn tài liệu của chúng, chúng tôi chủ yếu tuân thủ hướng đầu tiên. Một cách tiếp cận hoàn toàn khác đối với học sinh lớp 9. Có tính đến lượng thời gian dự trữ sẵn có, trường vật lý và toán học tạo ra một cơ sở bao gồm các lý thuyết chức năng như lý thuyết tập hợp và nền tảng của phân tích toán học, để sau này, dựa vào cơ sở này, giáo viên sẽ dễ dàng giải thích một môn toán tiểu học và học sinh dễ hiểu hơn.

Điều đó khó khăn hơn một chút đối với các nhà vật lý của chúng ta, vì trong một trường vật lý thông thường thường không chú ý đầy đủ đến một số thông tin trong toàn bộ chương trình vật lý của Trường Vật lý, trong thực tế, chương trình này không cung cấp cho việc nghiên cứu nhiều vấn đề thú vị và bài toán không có trong khóa học tiêu chuẩn ở trường.

Việc tổ chức công việc ở Trường Vật lý được thực hiện theo hai bộ phận: vật lý và toán học. Cơ quan chủ quản của trường là Hội đồng Trường Vật lý và Âm nhạc, đứng đầu là Chủ tịch phụ trách công tác giáo dục của Viện, Giáo sư I.P. Isaev, phó. Chủ tịch phụ trách các vấn đề chung Phó Giáo sư V.I. Malakhov và Trưởng phòng sinh viên Viktor Matveychkom. Hội đồng FMS bao gồm bốn sinh viên, mỗi sinh viên - đại diện của các bộ phận vật lý và toán học.

Cơm. 1.

Hàng tuần, các bộ phận tổ chức một buổi hội thảo về phương pháp luận dành cho sinh viên giáo viên, tại đó các chủ đề của lớp học được hiển thị bài toán, lý do dẫn đến chúng lời giải và các vấn đề khác sẽ được thảo luận. Những buổi hội thảo này được thực hiện với sự tiếp xúc trực tiếp với các giảng viên. Phó giáo sư V.I. Korovin, A.S. Drobat, T.A. Shulman, Giáo sư E.S. Ventzel và nhiều giáo viên từ Khoa Toán ứng dụng đã hỗ trợ rất nhiều cho trường vật lý và toán học này.
Nhà xuất bản MIIT cung cấp đồ dùng dạy học cho học sinh. Tuy nhiên, một trong những mục tiêu hoạt động của trường là chuẩn bị cho người nộp đơn vào MIIT, nơi thực tế trở thành một học viện bách khoa hiện đại.

Các giáo viên của Trường Vật lý và Cơ học cũng tham gia các kỳ thi Olympic MIIT truyền thống về toán và vật lý. Năm 1971, Khoa Toán tính toán tổ chức Olympic Toán học lần thứ V, Khoa Vật lý tổ chức Olympic Vật lý lần thứ IV. Dưới đây là một số kỳ thi Olympic bài toán về toán học.

Nhiệm vụ

1. Hai đường thẳng và một điểm được cho trên một mặt phẳng. Trên một trong các đường thẳng, tìm một điểm cách đều đường kia và điểm đã cho.

2. Một chuỗi n bước được gửi từ A đến B, một số bước được tải vào các goron được đánh số theo thứ tự, tổng các số được nạp vào goron là bội số của k, trong đó k>n. Trong quá trình di chuyển, đoàn tàu có thể bị tấn công bởi những tên cướp, những kẻ này chỉ có thể dọn sạch một toa tàu. Tại điểm B các số n và k đã biết. Sau khi kiểm tra tất cả các xe, làm thế nào bạn có thể biết liệu có hạn chế hay không và xe nào bị hạn chế?

3. Chứng minh rằng với đa thức P(n)=a1968n1998+…+a1n+a0 có hệ số tự nhiên, hãy tìm n0 tự nhiên sao cho P(n0) không phải là số nguyên tố.

4. Đa thức f(x)=a_nx^n+…+a_1x+a_0 khi chia cho x-a sẽ có số dư là a^2, khi chia cho x-b sẽ có số dư b^2, và khi chia cho (x-c) sẽ có số dư là c^2. Tìm số dư khi chia đa thức f(x) cho (x-a) (x-b) (x-c), trong đó a, b, c là các số không bằng nhau.

5. Cho một hình vuông có cạnh 1. Chứng minh rằng dù số N có lớn đến đâu cũng có thể xây dựng một hệ các đường tròn không chồng lên nhau nằm hoàn toàn bên trong hình vuông sao cho tổng chiều dài của chúng lớn hơn N và tổng diện tích của chúng nhỏ hơn $\frac{1}{N^2}$.

6. Cho 2n chữ số a1, a2, …, an, an+1, …, a2n. Số A được tạo bởi n chữ số đầu tiên lớn gấp 2 lần số B được tạo bởi các chữ số còn lại. Tổng n chữ số đầu tiên bằng tổng n chữ số thứ hai. Chứng minh rằng tổng các chữ số chia hết cho 9.

7. Khỉ Chi-chi-chi sở hữu chuối. Tôi sẽ cho cô ấy 100 quả chuối. Khi bác sĩ Aibolit cân những quả chuối này, họ phát hiện ra rằng chúng nặng 10 kg, nhưng không một quả chuối nào nặng hơn 200 g. Chứng minh điều đó với những quả chuối này

Cơm. 2.

bạn có thể cho ăn Kéo - Đẩy để nó không bị xúc phạm (Hình 1).

Và không: Kéo - Đẩy sẽ bị xúc phạm nếu một đầu ăn nhiều hơn đầu kia ít nhất 100 g chuối; nếu không thì.

8. Đồ thị của hàm số y=x^n+a1x^n+1+…+a_n(n>1) cắt đường thẳng y=a tại các điểm A1, …, An và đường thẳng y=b tại các điểm B1, …, Bn. Đường thẳng AiBi liên hệ các góc αi với trục hoành. Chứng minh rằng $\sum \text{ctg} \alpha_i = 0$.

9. Trong một lồi n-lồi tất cả các đường chéo đều được vẽ. Ở mỗi bên có các mũi tên sao cho không có chu kỳ. Chu trình là một đường đứt đoạn khép kín, trên mỗi mắt xích có một mũi tên sao cho đầu mỗi mũi tên thẳng hàng với phần cuối của mũi tên trước đó (ví dụ về chu trình được hiển thị trong Hình 2).

10. Một cát tuyến được vẽ từ một điểm bên ngoài đường tròn để nó chia đôi đường tròn.

11. Chứng minh rằng giữa n và n! có ít nhất một số nguyên tố.

12. Một tập hợp các đoạn thẳng được cho trên một đường thẳng, mỗi cặp đoạn thẳng có ít nhất một điểm chung. Chứng minh rằng mọi đoạn thẳng đều có ít nhất một điểm chung.

70

Đến bài viết “Làm thế nào để đạt được nhiệt độ thấp”

1. Trong thiết bị khử, quá trình giãn nở diễn ra nhanh đến mức quá trình truyền nhiệt không có thời gian để xảy ra. Cuộn cảm là chất dẫn nhiệt khá tốt.
2. Nó bị cấm. Vì trong sắt từ cơ bản nam châm không bị định hướng sai. Từ hóa của vật liệu sắt từ, đặc biệt ở nhiệt độ thấp, thực tế không phụ thuộc vào từ trường. Chúng bị từ hóa đến mức bão hòa trong từ trường yếu.
3. Tính bằng joules/độ. Độ đơn giản về nhiệt của một vật được đo bằng cùng một đơn vị (không riêng mà là tổng).

Về bài viết “Ứng dụng bất đẳng thức Bunyakovsky–Cauchy cho lời giải của một số bài toán”

1. a) Đầu tiên ta cần chứng minh
   $$\sin^2 x + \sin^2 \left( \frac{\pi}{3} + x \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{3} - x \right) = \frac{3}{2}.$$
   Sau đó $y_{\max} = \sqrt{\frac{3}{2} \left( a^2 + b^2 + c^2 \right)}$;

6. cho thấy điều đó
   $$\sin^2 (x + y) + \sin^2 (x - y) + \cos 2x \cos 2y = 1.$$
   Sau đó $z_{\max} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$;
   c) Đầu tiên hãy chứng minh rằng
   $$\cos^2 x + \cos^2 y + \cos^2 z + 2 \cos x \cos y \cos z = 1.$$
   Sau đó $u_{\max} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$;
   d) $u_{\max} = \sqrt{2} \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2}$, vì $\sin^2 x + \sin^2 y + \sin^2 z + \sin^2 t + 2 \cos (x + y) \cos (y + z) \cos (z + x) = 2$;
   e) $y_{\max} = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2$.

2. $-ab \leq u \leq ab$.
3. Gợi ý. Trong bất đẳng thức (*) đặt
   $$a_i^2 = x_i, b_i^2 = y_i.$$
4. Gợi ý. Ta sử dụng các bất đẳng thức trước:
   $$\left( \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i b_i} \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} \sqrt{a_i x_i} \frac{b_i}{x_i} \right)^2 \leq \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \sum_{i=1}^{n} \frac{b_i}{x_i}.$$
5. Gợi ý. Trong bất đẳng thức (*) đặt
   $$a_i = \sqrt{x_i y_i}, b_i = \sqrt{\frac{x_i}{y_i}}$$
   thì $a_i b_i = x_i$.

K bài toán “Tam giác số” (xem trang 25)
Dòng giữa chứa số $n^2 - n + 1$. Từ đây dễ dàng suy ra cả ba tính chất trên.

Đến bài viết “Chân có nam châm”
2. Một trọng lượng từ tính có tay treo mô tả hình số 8, khi các chu kỳ dao động trong osm $x$ và $y$ có liên hệ với nhau là $1:2$, tức là ở $L = 4l$. Rất khó để chọn chính xác tỷ lệ chu kỳ kép này, do đó quỹ đạo chuyển từ hình chữ V sang hình chữ C và ngược lại.
3. Một nam châm “thứ hai”, chiều dài của nó ($l = \frac{g T^2}{4\pi^2} \approx 1$ m) có thể được đo bằng thước kẻ. Chiều dài của cái còn lại được chọn bằng thực nghiệm sao cho mômen của hầu hết một độ lệch trùng nhau sau 5 chu kỳ đầy đủ của nam châm “thứ hai”.

Về bài viết “Phương trình vô tỉ”

1. Không lời giải.
2. $x = 2$. Gợi ý. Viết lại phương trình ở dạng $\sqrt{x + 2} = \sqrt{3x + 2}$ và nâng lên lũy thừa sáu; Đồng thời, hãy tính đến điều kiện bổ sung $x \geq -\frac{2}{3}$.
3. $x_1 = 12/127, x_2 = -4/43$. Gợi ý. Đưa vế trái về mẫu số chung, nâng phương trình lên lũy thừa bảy, rồi lấy căn của cả hai vế; kết quả là phương trình $|x + 12| = 128 x$.
4. $x_1 = 3, x_2 = 5$. Gợi ý. Tử số của phân số ở vế trái là tổng các lập phương $(\sqrt{5} - x)^3 + (\sqrt{x} + 3)^3$.
5. Không lời giải. Gợi ý. Đặt $y = \sqrt{x - 2}$.
6. $x = 5$. Gợi ý. Đặt $y = \sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4}$.
7. $x_1 = 1, x_2 = -6$. Gợi ý. Chuyển đổi phương trình thành $\sqrt{3(x - 2)^2} + \sqrt{3(x - 2)(x + 7)} + \sqrt{3(x + 7)^2} = 3$ và nhân cả hai vế với $\sqrt{3(x + 7)} - \sqrt{3(x - 2)}$.
8. $x = a + \frac{1}{2} - \sqrt{a + \frac{1}{4}}$ tại $a \geq 0$; tại $a < 0$ lời giải không.

71

9. $x = \frac{\sqrt{5} a^4}{1 - \sqrt{5} a^4}$ tại $0 < a < 1$; đối với các giá trị khác của $a$ thì không có giải pháp nào.

Để lựa chọn kỳ thi đầu vào

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHÀ NƯỚC MOSCOW

Khoa Toán tính toán và Điều khiển học

1. $x = 10^{-\sqrt{19/8}}, y = \log_2(3 + \sqrt{19/2}) - 1$.
2. $\pi/6 < |x| \leq \pi/4$. 3. Britad ba; mỗi đơn vị có 3 máy kéo bánh xích và 5 bánh. 4. $c \sin \frac{\alpha}{2}$. Gợi ý. Khoảng cách trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, giao điểm với đường vuông góc, đi lên từ giữa tam giác $BC$. 5. $\frac{h^3 (\sin \alpha + 2 \cos \frac{\alpha}{2})}{3 (\cos \alpha + \sin \frac{\alpha}{2})}$.

Khoa Địa chất tổng hợp, Khoa Địa chất

1. $x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi, y = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, trong đó $k$ và $n$ là số nguyên bất kỳ. 2. 450 ô tô và 550 xe tải số tự động. 3. $a = 1/2$. 4. $r = 24$ xem 5. $-3/2 < x < -23/16$.

Khoa Địa vật lý, Khoa Địa chất

1. $x = 1, y = 1$. 2. $0 < x \leq 15$. 3. $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ. 4. 3, 9, 27, 81, 243. 5. $\frac{4 - \sqrt{3}}{2}$ cm.

Khoa Hóa học

1. $\frac{9 \sqrt{3}}{4} r^2$. Gợi ý. Đảm bảo $\rightarrow DKE = \rightarrow CEK$. Kéo dài các cạnh $AD$ và $BC$ của hình thang đến giao điểm tại điểm $M$, biểu diễn các góc $DKE$ và $DAB$ theo góc $AMB$ và chứng minh rằng $\rightarrow DAB = \rightarrow DKE$.
2. $x_1 = 1, x_2 = 2$. 3. $600 m^3$. 4. $\frac{\pi}{6} + 2n\pi \leq x < \frac{\pi}{3} + 2n\pi$, trong đó $n$ là số bất kỳ. 5. $\frac{9\pi}{5\sqrt{10}} r^3$. Gợi ý. Tâm của quả bóng $O$ nằm ở giữa đoạn (chiều dài $2r$) nối tâm của các tam giác đều $ABC$ và $A'B'C'$ (một đường tròn có bán kính $r$ có thể nội tiếp trong mỗi tam giác này). Đáy của hình trụ là một đường tròn thu được trong tiết diện của quả bóng theo mặt phẳng $AMN$, và chiều cao của hình trụ bằng hai lần khoảng cách từ tâm quả bóng $O$ đến mặt phẳng này. Chứng minh rằng đáy của đường vuông góc rơi từ điểm $O$ xuống mặt phẳng $AMN$ nằm ở độ cao của tam giác $AMN$ rơi từ đỉnh $A$ và tính độ dài đường vuông góc này.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỮU HÍNH NHÂN DÂN

Khoa Vật lý và Toán học

1. Vào lúc $T \left(1 - \frac{2s}{p} + \frac{s^2}{2p^2}\right)$ giờ. 2. $u_1 = 1, v_1 = 2, w_1 = 2, v_2 = 1, w_2 = 1$.
2. $-\frac{\pi}{3} + k\pi < x < -\arccos \frac{\sqrt{10}}{4} + k\pi$, $\arccos \frac{\sqrt{10}}{4} + k\pi < x < \frac{\pi}{3} + k\pi$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ.
3. $2\sqrt{2} R^2 \cos \alpha \left(\sin \alpha + \sqrt{\sin^2 \alpha + \frac{1}{2} \cos^2 \alpha}\right)$.

Khoa Kỹ thuật

1. Vận tốc của tàu khách là 30km/h. 2. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + k\pi, x_2 = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$, trong đó $k$ và $n$ là số nguyên bất kỳ. 3. $x_1 = 2, x_2 = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$. 4. 27:16 $\sin^2 \alpha$.

Khoa Kinh tế

1. 12 ngày với máy thứ nhất và 15 ngày với máy thứ hai. 2. $x = 3$. 3. $x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$, trong đó $k$ là số nguyên bất kỳ.
2. $\frac{\pi a^3 \sqrt{3}}{12}$.

Ghi chú “Trường Vật lý và Toán học tại MINTA”

1. Sử dụng sự giống nhau.
2. Tại trạm $B$ bạn cần cộng số lượng của tất cả các ô tô đã chất đầy hàng và chia số tiền này cho $k$. $k$ trừ đi số dư bằng số xe đi.
3. Viết đa thức ở dạng $P(n) = a_{1968} (n^{1968} - 1) + \dots + a_1 (n - 1) + a_0 (1 - 1) + a_{1968} + \dots + a_0 (n - 1) \times Q(n) + A$, trong đó $Q(n)$ là một đa thức nào đó, $A$ là một số tự nhiên và $A \neq 1$. Thay thế $n_0 = A + 1$.

4. Theo định lý Bezout
   $$f(a)=a^2; f(b)=b^2; f(c)=c^2.$$
   Chia $f(x)$ cho $(x-a)(x-b)(x-c)$ có nghĩa là biểu diễn $f(x)$ dưới dạng
   $$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+p_1x^2+p_2x+p_3.$$
   Thay lần lượt $x=a, x=b, x=c$ vào đẳng thức này, chúng ta thu được hệ phương trình cho các ẩn số $p_1, p_2, p_3$.

5. Chúng ta cần dựng $N^4$ hình tròn có bán kính $\frac{1}{2N^3}$. Sau đó $L=\frac{2\pi}{2N^3}N^4>N,$
   $$S=N^4\frac{\pi}{4N^6}<\frac{1}{N^2}.$$

6. Một mặt, $A$ và $B$ cho số dư như nhau khi chia cho 9. Mặt khác, $A$ cho số dư gấp đôi. Từ đó dễ dàng suy ra rằng cả $A$ và $B$ đều chia hết cho 9.

7. Có một quả chuối nặng chưa đến 100 g, hãy bỏ nó vào túi. Chúng tôi cho các đầu Kéo - Đẩy từng cái một: ngay khi một đầu bắt đầu co lại, chúng tôi cho nó ăn. Chúng tôi đưa quả chuối cuối cùng cho cái đầu bị xúc phạm.

8. Chỉ cần thay thế $A_i$ là nghiệm thực của phương trình $x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n-a$ và $B_i$ là nghiệm thực của phương trình $x^n+a_1x^{n-1}+...+a_n-b$. Từ đây dễ dàng suy ra đẳng thức cần thiết.

9. Có một đường thẳng trên mặt phẳng không song song với các cạnh và đường chéo của đa giác hoặc một số hữu hạn của chúng. Hãy để tất cả các mũi tên hướng về đường thẳng này.

10. Xét số $N=n!-1$ và ước số nguyên tố $p$ của nó, không vượt quá $N$. Dễ dàng thấy rằng $p>n$, ngược lại $N-n!=1$ chia hết cho $p$.

11. Cần phải xem xét phần ngoài cùng bên phải của các đầu bên trái của các đoạn và phần bên trái nhất của các đầu bên phải của các đoạn. Sau đó chỉ ra rằng cái ngoài cùng bên phải không lớn hơn cái ngoài cùng bên trái.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva. Người hiệu đính M. L. Medvedskaya
Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học
117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15. Tel. 234-08-11, 234-07-93

Được giao theo bộ vào ngày 28/IX-71. Phụ. đang in 7/XII-71 Giấy 70×100$^1$/16 Phys. lò nướng l. 4.5 Điều kiện lò nướng l. 5.8 Biên tập học thuật. tôi. 6,40 Lưu hành 333920 T-19563 Giá 30 kopecks. Lệnh 1882
Nhà máy in Chekhov của Glavpolygraphprom của Ủy ban In ấn thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô, Chekhov, khu vực Moscow

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI