Phương trình trang trí

14

PHƯƠNG PHÁP TRANG TRÍ
M.I.Brzhozovsky

Bằng cách chọn đúng các phương trình, bạn có thể có được rất nhiều hình ảnh, đôi khi rất kỳ quái. Ví dụ: bạn có thể nhận được “rozicia” như trong Hình A. Làm thế nào để thực hiện việc này? Đầu tiên, chúng ta sẽ phải nhớ rằng mặt phẳng số được gọi là tập hợp tất cả các cặp số thực (xem bài viết của A. N. Kolmogorov “Đồ thị của hàm số là gì”, «Kvant» Số 2, 1970). Bất kỳ tập hợp điểm nào trong mặt phẳng số của điều kiện đều được gọi là hình hình học được mô tả bởi phương trình $f(x, y)=0$.

Cụ thể, chúng ta có thể xem xét tập hợp tất cả các cặp số thực $(x, y)$ trong đó $f(x, y)=0$, trong đó $f(x, y)$ là một biểu thức đã cho. Trong trường hợp này, hình hình học thu được được cho là được mô tả bằng phương trình $f(x, y)=0$.

Do đó, phương trình $x^2-y=0$ mô tả một parabol; phương trình $x^2-y^2=0$ - hai đường thẳng ($y=x$ và $y=-x$) cắt nhau tại điểm $(0, 0)$; phương trình $x^2+y^2=2$ là đường tròn có tâm tại điểm $(0, 0)$ và bán kính $\sqrt{2}$; phương trình $|x|+|y|=1$ là hình vuông có tâm tại điểm $(0, 0)$ và các đỉnh nằm trên trục tọa độ.

Bây giờ hãy xem xét các phương trình sau:

$$\left(x+y\mathrm{ctg}\frac{\pi n}{32}\right)\sqrt{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{49}-1} = 0$$

(1)

Cơm. MỘT.
Cơm. B.
Cơm. TRONG.

16

cơm. 1). Phương trình đường tròn $F_1$ trong cùng hệ tọa độ được viết dưới dạng

$$(x - 2)^2 + y^2 = 1.$$

Tương tự, chúng ta có thể thu được số nguyên hình tròn $F_{-1}, F_2, F_{-2}, \dots, F_k, F_{-k}, \dots$. Chúng tạo thành một vật trang trí tuyến tính.

Toàn bộ vòng tròn số nguyên này có thể được mô tả bằng một phương trình nếu khoảng cách của hàm $[x]$ là phần nguyên $x^*$).

Đây là phương trình:

$$(x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right])^2 + y^2 = 1.$$

Nếu $x$ nằm trong khoảng $[2k - 1, 2k + 1)$, thì phương trình này, có thể dễ dàng xác minh, xác định một trong các đường tròn:

$$(x - 2k)^2 + y^2 = 1.$$

Nói chung, nếu $f(x, y) = 0$ (tại $a \leqslant x < a + T$) là phương trình của một số hàm hình học, mà chúng ta gọi là hàm chính $F_0$, thì vật trang trí tuyến tính thu được từ $F_0$ bằng cách dịch các đơn vị $kT$ dọc theo trục $Ox$ (trong đó $T > 0$, $k = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$) được mô tả bằng phương trình

$$f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right], y \right) = 0.$$

Bây giờ, hãy chuyển hàm chính $F_0$ được xác định trong dải $(b \leqslant y < b + S)$ (theo đường chéo) sang các đơn vị $kT$ dọc theo trục $Ox$ và tới các đơn vị $kS$ dọc theo trục $Oy$. sau đó chúng ta thu được một vật trang trí tuyến tính với các liên kết từ hàm $F_i$, nằm dọc theo đoạn nối gốc tọa độ $(0, 0)$ với điểm $(T, S)$ và phương trình

$$* ) \text{ Функция } [x], \text{ называемая «целой часть } x», \text{ определяется равенством } [x] = k, \text{ если } k \leqslant x < k + 1, \text{ где } k - \text{ целое число (наибольшее целое число, не превысходящое } x).$$

Cơm. 2.

vật trang trí này sẽ

$$f \left( x - T \left[ \frac{y - b}{S} \right], y - S \left[ \frac{y - b}{S} \right] \right) = 0 \quad (7)$$

(tại $S \neq 0$). Với $T = 0$, thu được một vật trang trí tuyến tính, nằm dọc theo trục $Oy$. Sự kết hợp của các chuyển tiếp (6) và (7) mang lại phương trình cho đồ trang trí hai chiều.

Điều thú vị cần lưu ý là nếu hàm $y = f(x)$ được xác định trong khoảng $a \leqslant x < a + T$ thì hàm

$$y = f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$$

được xác định trên toàn bộ trục thực $-\infty < x < \infty$, tuần hoàn với chu kỳ $T$ và trùng với $f(x)$ trong khoảng $a \leqslant x < a + T$.

Hàm $f \left( x - T \left[ \frac{x - a}{T} \right] \right)$ được gọi là sự tiếp tục định kỳ của hàm $f(x)$. Ví dụ: nếu $y = |x|$ nằm trong khoảng $(-1, 1)$ thì

$$y = |x - 2 \left[ \frac{x + 1}{2} \right] |$$

là hàm tuần hoàn có chu kỳ $T = 2$, đồ thị của nó được thể hiện trên Hình 2.

Hình 3 cho thấy một vật trang trí tuyến tính bao gồm các cung tròn có bán kính $R = 1$. Cơ sở của vật trang trí này là hàm $F_0$ (phần màu đỏ của Hình 3), được cho bởi phương trình

$$\left( x - \left[ \frac{x + 1}{2} \right] \right)^2 + \left( y - \left[ \frac{y + 1}{2} \right] \right)^2 = 1.$$

18

Cơm. 7. Hình 8. Hình 9.

$F_0$ là tập hợp tất cả các điểm bên trong của hình lục giác có tâm ở gốc tọa độ, nội tiếp trong một đường tròn bán kính $R = \frac{2}{\sqrt{3}}$ (Hình 7).

Phương trình của hình lục giác này có thể được viết là

$$\left| y \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| = 1,$$

vì đối với những điểm này và chỉ những điểm này thì các bất đẳng thức được thỏa mãn

$$1 \leqslant | y | + \left| \frac{x \sqrt{3} - 1}{2} \right| + \left| \frac{x \sqrt{3} + 1}{2} \right| < 2.$$

Để có được phần màu xanh lam của sàn gỗ, trước tiên bạn có thể thực hiện một loạt các bản dịch trên $F_0$ dọc theo trục $Ox$ (tại $T_1 = 2\sqrt{3}, a = -\frac{2}{\sqrt{3}}$), sau đó di chuyển một dải hình $F_i$ (trên trục $Ox$) theo đường chéo (tại $T_2 = \sqrt{3}, S = 3, b = -1$). Phương trình của phần màu đỏ của sàn gỗ thu được từ phương trình được xây dựng bằng cách thay thế $y$ bằng $y - 2$ và phần màu vàng bằng cách thay thế $y$ bằng $y + 2$.

Các mẫu hình tròn thú vị sẽ thu được nếu bạn sử dụng tọa độ cực.

Trong hệ tọa độ cực, mỗi điểm $A$ có hai tọa độ (Hình 8): khoảng cách $\rho$ từ điểm này đến gốc $O$ và góc $\varphi$ tạo thành tia $OA$ với một trục cố định (trong Hình 8 - với

trục $Ox$); góc này được đo theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) tính từ trục $Ox$. “Gốc” (điểm $O$) có tọa độ $\rho = 0$ và mọi góc $\varphi$; bất kỳ điểm nào khác có tọa độ dương được xác định duy nhất $\rho$ và tọa độ $\varphi$ được xác định từ điểm đến bội số của $2\pi$.

Trong hệ tọa độ cực, cũng như trong hệ tọa độ Descartes, các số liệu có thể được mô tả bằng các phương trình. Ví dụ, phương trình đường tròn $F_0$ trong Hình 1 sẽ là $\rho = 1$ (như chúng ta thấy, nó đơn giản hơn nhiều so với phương trình trong hệ tọa độ Descartes).

Nếu $f(\rho, \varphi) = 0$ là phương trình của hình chính chứa trong ngành $0 \leqslant \varphi < \frac{2\pi}{n}$, thì bằng cách tương tự với công thức (6), phương trình

$$f(\rho, \varphi - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right]) = 0$$

chỉ định một mẫu hình tròn bao gồm các hình $F_i$.

Ví dụ, người ta có thể viết phương trình của một $n$-giác đều nội tiếp trong một đường tròn bán kính $R$. Phương trình $\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} \right) = R \cos \frac{\pi}{n}$ bên trong khu vực $0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{2\pi}{n}$ chỉ định cạnh $AB$ (Hình 9) và sau một loạt phép quay của đoạn $AB$ theo các góc chia hết cho $\frac{2\pi}{n}$, thu được trọng lượng $n$-gon.

Phương trình của nó theo công thức (8) có thể viết dưới dạng

$$\rho \cdot \cos \left( \varphi - \frac{\pi}{n} - \frac{2\pi}{n} \cdot \left[ \frac{n\varphi}{2\pi} \right] \right) = R \cos \frac{\pi}{n}.$$