Kvant
Luyện thi đại học

Các lựa chọn thi tuyển sinh môn Toán năm 1971

Kvant 1972, số 7tr. 45-46Thẻ 8HUO

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

45

Tùy chọn 1

  1. Cho một tham số tứ giác đều SABCDSABCD, tất cả các cạnh của nó đều bằng aa. Một mặt phẳng được vẽ qua đỉnh AA của đáy, song song với đường chéo BDBD và tạo thành một góc 30∘30^\circ với mặt phẳng của đáy. Tìm diện tích mặt cắt ngang.

  2. Hai điểm chuyển động đồng đều dọc theo hai đường tròn có bán kính tỉ lệ 1:6. Xác định vận tốc chuyển động của mỗi điểm, nếu biết trong 10 đoạn chúng chuyển động theo một đường tròn lớn hơn thì nó đã đi được quãng đường nhiều hơn 2 m và số vòng quay ít hơn 5 lần.

  3. Giải bất đẳng thức

x+1x−1+1>x−1x.\frac{x+1}{x-1}+1>\frac{x-1}{x}.

  1. Giải phương trình

log⁡2sin⁡x(1+cos⁡x)=2.\log_{\sqrt{2}} \sin x(1+\cos x)=2.

Tùy chọn 2

  1. Đáy của paramid SABCSABC là tam giác đều ABCABC, có AB=AC=bAB=AC=b, BC=aBC=a. Xác định diện tích mặt cắt ngang đi qua cạnh SASA và vuông góc với mặt phẳng đáy, nếu các mặt bên tạo thành các góc nhị diện bằng nhau α\alpha với mặt phẳng đáy.

  2. Hai khẩu súng máy rời đi cùng lúc từ điểm AA đến điểm BB. Vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất là 10km/h. Nửa giờ sau, khẩu súng máy thứ ba di chuyển từ AA đến BB với tốc độ 60 km/h, đuổi kịp khẩu súng máy đầu tiên và một tiếng rưỡi sau đó, đuổi kịp khẩu súng máy thứ hai. Tìm vận tốc của máy.

x+3x−1=3x+1.\frac{x+3}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{3x+1}.

  1. Giải phương trình:

sin⁡x(1+cos⁡x)=1+cos⁡x+cos⁡2x.\sin x(1+\cos x)=1+\cos x+\cos^2 x.

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên của A. I. Herzen

Mathematical Fakultet

  1. Rút gọn biểu thức:

[(a−b)3+2a3/2+bbaa+b3/2+3ab−3ba−b]−2.\left[ \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^3+2a^{3/2}+b\sqrt{b}}{a\sqrt{a}+b^{3/2}}+\frac{3\sqrt{ab}-3b}{a-b} \right]^{-2}.

  1. Tìm tất cả các giá trị của α\alpha mà biểu thức

lg⁡[(6α−5)x2−5(α−1)x+2α−6]\lg[(6\alpha-5)x^2-5(\alpha-1)x+2\alpha-6]

có ý nghĩa đối với bất kỳ xx nào.

  1. Giải phương trình:

tgx+cos⁡x1+sin⁡x=2.\mathrm{tg} x+\frac{\cos x}{1+\sin x}=2.

  1. Tổng bề mặt của một paramid tứ giác đều bằng SS và hai góc bằng 0 ở đáy bằng α\alpha. Xác định thể tích của paramid.

Khoa Vật lý

  1. Rút gọn biểu thức:

[(4x−4a)−1+(4x+4a)−1]−2:x−a4x1/2+4a1/2.\left[ \left(\sqrt{4x}-\sqrt{4a}\right)^{-1}+\left(\sqrt{4x}+\sqrt{4a}\right)^{-1} \right]^{-2}:\frac{x-a}{4x^{1/2}+4a^{1/2}}.

  1. Giải phương trình:

1x(lg⁡1−lg⁡243)+lg⁡3x−4=0.\frac{1}{x}(\lg 1-\lg 243)+\lg 3^{x-4}=0.

  1. Rút gọn biểu thức:

2(sin⁡2α+2cos⁡2α−1)cos⁡α−sin⁡α−cos⁡3α+sin⁡3α.\frac{2(\sin 2\alpha+2\cos^2\alpha-1)}{\cos \alpha-\sin \alpha-\cos 3\alpha+\sin 3\alpha}.

  1. Chiều cao của hình nón là hh. Các góc phẳng ở đỉnh của một tứ giác đều paramid nội tiếp trong hình nón này bằng α\alpha. Xác định thể tích của hình nón.

46

Viện khai thác mỏ Leningrad

  1. Giải hệ phương trình:
    {1x+y+1x−y=2,3x+y+4x−y=7.\begin{cases} \frac{1}{x+y} + \frac{1}{x-y} = 2, \\ \frac{3}{x+y} + \frac{4}{x-y} = 7. \end{cases}

  2. Chứng minh danh tính:
    cos⁡2α−2cos⁡αcos⁡βcos⁡(α+β)+cos⁡2(α+β)=sin⁡2β.\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos (\alpha + \beta) + \cos^2 (\alpha + \beta) = \sin^2 \beta.

  3. Giải phương trình:
    x+lg⁡(1+2x)=xlg⁡5+lg⁡6.x + \lg (1 + 2^x) = x \lg 5 + \lg 6.

  4. Tại giá trị nào của bb biểu thức có ý nghĩa:
    lg⁡(1+6b+53+2b)?\lg \left(1 + \frac{6b + 5}{3 + 2b}\right)?

  5. Các cạnh không song song của hình thang thì vuông góc với nhau. Tuy nhiên, chúng tạo một góc α\alpha với đáy và góc kia tạo cùng một góc với đường chéo. Tính diện tích hình thang nếu chiều cao của nó là hh.

Viện kỹ thuật Leningrad được đặt theo tên Lensoveta

  1. Chứng minh danh tính:
    cos⁡4α−sin⁡4α+sin⁡2α=2cos⁡(2α−π4).\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right).

  2. Tất cả các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các hình tam giác đều. Tìm hai góc của cô ấy.

  3. Tìm tất cả các giá trị của tham số aa mà đồ thị của hàm y=ax−1y = ax - 1 và y=1x−1y = \frac{1}{x-1} chỉ cắt nhau tại một điểm. Xây dựng bản vẽ cho các giá trị tìm được aa.

  4. Tìm miền xác định của hàm số y=log⁡x(cos⁡3π1+x2).y = \log_x \left(\cos \frac{3\pi}{1+x^2}\right).

  5. Tìm tất cả các giá trị của tham số aa mà bất đẳng thức log⁡(a+x)x(a−x)<log⁡(a+x)x\log_{(a+x)} x (a-x) < \log_{(a+x)} x có ít nhất một lời giải.

Viện Kỹ thuật Xây dựng Leningrad

  1. Tính toán:
    (1,5)3⋅(2,25)1,5⋅0,75−3:[(−12)−2+(−12)−1−(2−1)−1−(237)0].(1,5)^3 \cdot (2,25)^{1,5} \cdot 0,75^{-3} : \left[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} - \left(2^{-1}\right)^{-1} - \left(2 \frac{3}{7}\right)^0 \right].

  2. Rút gọn về dạng logarit thuận tiện:
    2cos⁡2(α2−3π2)+3cos⁡(5π2−α)−1.2 \cos^2 \left(\frac{\alpha}{2} - \frac{3\pi}{2}\right) + \sqrt{3} \cos \left(\frac{5\pi}{2} - \alpha\right) - 1.

  3. Đáy của kim tự tháp là một hình thoi, đường chéo thay đổi bằng dd và góc nhọn bằng α\alpha. Mỗi mặt bên nghiêng với đế một góc β\beta. Tìm khối lượng của kim tự tháp.

  4. Giải phương trình:
    2⋅(0,5)54x+10−(x+1)4=0.\sqrt{2} \cdot (0,5)^{\frac{5}{4} \sqrt{x} + 10} - (\sqrt{x} + 1) \sqrt{4} = 0.

  5. Đơn giản hóa:
    log⁡baa2−2log⁡baa⋅log⁡abb+12log⁡abb.\log_b a \sqrt{a^2} - 2 \log_b a \sqrt{a} \cdot \log_a b \sqrt{b} + \frac{1}{2} \log_a b \sqrt{b}.

Viện Cơ khí Chính xác và Quang học Leningrad

  1. Rút gọn ở y>−1y > -1
    [xy+x(y+1)2+x2−(y+1)xx−3y+1]:(x+x3+x2y2+2yx36)−(1+y−1)13y−13.\left[ \frac{xy+x}{(y+1)^2} + \frac{x^2-(y+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{3}y+1} \right] : \left(x + \sqrt[6]{x^3+x^2y^2+2yx^3}\right) - \frac{(1+y^{-1})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{y^{-1}}}.

  2. Giải phương trình:
    x+13+x+23+x+33=0.\sqrt[3]{x+1} + \sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x+3} = 0.

  3. Giải phương trình:
    cos⁡7x+sin⁡22x=cos⁡22x−cos⁡x.\cos 7x + \sin^2 2x = \cos^2 2x - \cos x.