Bài toán M151—M155; F163—F167

33

NHIỆM VỤ

Trong số này, chúng tôi đặt bài toán, được đề xuất ở vòng cuối cùng của Cuộc thi Tối ưu hóa vật lý và toán học toàn diện vào tháng 4 năm nay.

Lời giải bài toán số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 15 tháng 9 tới địa chỉ: 117071, Moscow V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào (ví dụ: “Sự cố «Kvant», M151, F153.)

Gửi Lời giải bài toán về toán học và vật lý, cũng như bài toán mới cho từng môn học trong các phong bì riêng biệt. Ở đầu thư, vui lòng cho biết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà (cũng như lớp và trường bạn theo học).

M151. Mỗi trong số chín số nguyên tố chia hình vuông thành hai hình tứ giác có diện tích là 2:3. Chứng minh rằng ít nhất ba trong số chín nguyên tố đó đi qua cùng một điểm. (lớp 8, lớp 10).

B. M. Ivlev

M152. Cho $a, b, m, n$ là các số tự nhiên và cho $a$ nguyên tố cùng nhau với $b$ và $a > 1$. Chứng minh rằng nếu $a^m + b^m$ chia hết cho $a^n + b^n$ thì $m$ chia hết cho $n$ ($9^*$), lớp 10).

D. Yu. Grigoriev.

M153. Hai người chơi trò tiếp theo. Một người đặt tên cho số và người kia đặt nó theo ý mình cùng với một trong các dấu hoa thị trong sự khác biệt sau:

---

---

Sau đó, người đầu tiên gọi một số khác và cứ như vậy 8 lần cho đến khi tất cả các dấu hoa thị được thay thế bằng số.

*) Ở lớp 9, bài toán này được đề xuất cho trường hợp đặc biệt $b=1$

Người đặt tên cho các con số cố gắng tạo ra sự khác biệt càng lớn càng tốt, và người thứ hai - làm cho nó càng nhỏ càng tốt. Chứng minh rằng

a) người thứ hai có thể sắp xếp các số sao cho hiệu thu được không quá 4000, bất kể số được gọi là gì;

b) Người thứ nhất có thể gọi tên các số sao cho hiệu ít nhất là 4000, bất kể người thứ hai đặt các số ở đâu (8 điểm).

Yu. I. Ionin.

M154. Có 50 đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng ít nhất một trong các khẳng định sau là đúng:

a) một số khả năng chung;

b) Có khả năng không có hai điểm nào chung (8, 9 ô).

A. G. Kharazishvili.

M155. Cho một số hình vuông, tổng diện tích của chúng là 1.

Chứng minh rằng chúng có thể được đặt không chồng lên nhau trong một hình vuông có diện tích 2 (9, 10 ô).

G. A. Galperin.

F163. Theo một trong những mô hình đầu tiên của nguyên tử hydro (mô hình của Thomson), nó là một quả bóng điện tích điện đều với một electron ở trung tâm. Nói chung, nguyên tử là trung tính. Tìm bán kính của một nguyên tử như vậy nếu biết rằng năng lượng tối thiểu phải truyền cho một electron để tách nó ra khỏi nguyên tử trên một khoảng cách lớn bằng W. Điện tích của electron là e. (10 lớp)

Cơm. 1. Hình 2.

F164. Một khối xốp có khối lượng $M=100$ e nằm trên một giá đỡ nằm ngang. Chiều cao của hình lập phương là $a=10$ cm. Từ bên dưới khối lập phương bị xuyên thủng bởi một viên đạn bay thẳng đứng có khối lượng $m=10$ e (xem Hình 1). Vận tốc của viên đạn khi đi vào khối lập phương là $v_1=100$ m/s, khi ra khỏi khối là $v_2=95$ m/s. Khối lập phương sẽ nảy lên? (lớp 8, lớp 9)

A. R. Zilberman

F165. Xác định độ chiếu sáng của hình ảnh Mặt trời thu được bởi một thấu kính phẳng sẽ thay đổi bao nhiêu lần nếu thấu kính bị cắt dọc theo đường kính và gấp lại với các cạnh phẳng. (10 lớp)

V. N. Listvin

F166. Một hình trụ nằm ngang ở một phía của pít-tông cố định chứa 1 mol khí lý tưởng. Có một chân không ở phần kia của hình trụ. Lò xo nằm giữa piston và thành xi lanh ở trạng thái không bị biến dạng (Hình 2). Xi lanh có tính dẫn nhiệt từ môi trường. Piston được thả ra và sau khi thiết lập trạng thái cân bằng, thể tích chiếm giữ của khí tăng gấp đôi. Nhiệt độ của khí và áp suất của nó sẽ thay đổi như thế nào? Nhiệt dung của xi lanh, piston và lò xo không đáng kể. (9 lớp)

E. I. Butikov, A. A. Bykov, A. S. Kondratev

F167. Một ampe kế lý tưởng được nối với đầu ra của “hộp đen”. Nếu pin có emp được kết nối với đầu vào. $E$ và điện trở trong $r$ thì dòng điện qua ampe kế nhỏ hơn đúng 2 lần so với trường hợp hai pin như vậy mắc nối tiếp với đầu vào của hộp. Hãy vẽ sơ đồ đơn giản nhất có thể về cấu trúc bên trong của “hộp đen”. (lớp 8, lớp 9)

A. R. Zilberman