Ứng dụng lượng giác với lời giải hình học bài toán

40

Ứng dụng lượng giác với lời giải hình học bài toán

A. G. Mordkovich

Với lời giải hình học bài toán, bạn thường phải chuyển sang lượng giác để được trợ giúp. Đôi khi sự đảo ngược này là cần thiết - khi một góc được cho trước và các hàm lượng giác của góc được sử dụng để tính toán các phần tử tuyến tính, đôi khi sự đảo ngược này là mong muốn - khi bản thân chúng ta xem xét các góc phụ, theo thứ tự, sử dụng các hàm lượng giác để tính toán các phần tử tuyến tính mà chúng ta cần hoặc để thiết lập một số tương ứng giữa các phần tử tuyến tính. Nếu chúng ta nói về các hình thức áp dụng lượng giác cho lời giải hình học bài toán, thì những hình thức chính bao gồm các phép biến đổi lượng giác tổng quát, định lý cosine và ở một mức độ lớn hơn là định lý sin, nhận thức lượng giác và phương trình lượng giác được sử dụng trong các hàm lượng giác.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang xem xét bài toán.

Bài 1. Cạnh đáy của tứ giác đều bằng a, góc hai chiều ở đáy là a. Một quả bóng được đặt trong paramid; một mặt phẳng tiếp tuyến được vẽ với quả bóng, song song với đáy của paramid. Xác định bề mặt bên của paramid bị cắt cụt.

Đã giải quyết và e. Không cần thiết phải mô tả một quả bóng được ghi trong hình. Chỉ cần chỉ ra tâm của quả bóng là khá đủ (Hình 1) - đây là điểm O của giao điểm của chiều cao của paramid với đường phân giác của góc tuyến tính SDH - và tính đến chiều cao HH₁ của paramid bị cắt cụt bằng đường kính của quả bóng.

Ta có: OH = r = HD tg ⇐ ODH = a/2 tg α/2,

HH₁ = 2r = a tg α/2,

S_{60k} = 4 · (AB + A₁B₁)/2 · DD₁ = 2(a + A₁B₁) · DD₁.

41

Để tính toán thêm, chúng ta cần hình phụ 2:

$$A_1B_1 = 2H_1D_1 = 2HE = 2(HD - DE) = 2\left(\frac{a}{2} - D_1E \cdot \text{ctg} \alpha\right) =$$

$$= a - 2HH_1 \text{ctg} \alpha = a - 2a \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \alpha, \quad DD_1 = \frac{D_1E}{\sin \alpha} = \frac{HH_1}{\sin \alpha} = \frac{a \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha},$$

$$S_{60^\circ} = 2\left(a + a - 2a \text{tg} \frac{\alpha}{2} \text{ctg} \alpha\right) \cdot \frac{a \text{tg} \frac{\alpha}{2}}{\sin \alpha} = \frac{4a^2 \text{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}{\sin^2 \alpha}.$$

Bài toán 2. Xác định bán kính của đường tròn nếu góc nội tiếp có cạnh $a$ và $b$ nằm trên cung $\alpha$.

Lời giải. Góc nội tiếp là $\frac{\alpha}{2}$. Chúng ta biểu thị dây nối các đầu của góc nội tiếp bằng $x$ (Hình 3); thì theo định lý cosine $x^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \frac{\alpha}{2}$. Tiếp theo, theo định lý sin $\frac{x}{\sin \frac{\alpha}{2}} = 2R$, ta mở

$$R = \frac{x}{2 \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \frac{\alpha}{2}}}{2 \sin \frac{\alpha}{2}}.$$

Bài toán 3. Góc phẳng của một góc tam giác (Hình 4), $SM$ là cạnh chung của các góc phẳng $\alpha$ và $\beta$. Chúng ta hãy tìm các giá trị của góc nhị diện ở cạnh $SM$. Chúng ta đặt đoạn $SC = 1$ sang một bên, vẽ một mặt phẳng đi qua điểm $C$ vuông góc với đường thẳng $SM$ và ký hiệu là $A$ và $B$ các giao điểm của mặt phẳng này với các tia $SN$ và $SP$. Khi đó $\triangle ACB$ là góc tuyến tính của góc nhị diện mà chúng ta quan tâm.

Đặt $\triangle ACB = x$, sau đó đặt $AC = \text{tg} \alpha$, $BC = \text{tg} \beta$, $AS = \sec \alpha$, $BS = \sec \beta$. Từ tam giác $ABS$ theo định lý cosin ta có

$$AB^2 = AS^2 + BS^2 - 2AS \cdot BS \cdot \cos \gamma,$$

đó là

$$AB^2 = \sec^2 \alpha + \sec^2 \beta - 2 \sec \alpha \cdot \sec \beta \cdot \cos \gamma.$$

Mặt khác, từ tam giác $ABC$ theo định lý cosin ta có

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos x,$$

42

đó là

$$AB^2 = tg^2\alpha + tg^2\beta - 2tg\alpha tg\beta \cdot \cos x.$$

Như vậy,

$$\sec^2\alpha + \sec^2\beta - 2\sec\alpha\sec\beta\cos\gamma = tg^2\alpha + tg^2\beta - 2tg\alpha tg\beta\cos x,$$

Ở đâu

$$\cos x = \frac{\cos\gamma - \cos\alpha \cdot \cos\beta}{\sin\alpha \cdot \sin\beta}.$$

Điều này có nghĩa là góc nhị diện đối diện với góc phẳng $\gamma$ bằng arccos\left(\frac{\cos\gamma - \cos\alpha \cos\beta}{\sin\alpha \sin\beta}\right). Góc nhị diện được tìm thấy tương tự.

Nếu ba mặt phẳng và ba góc nhị diện được coi là các phần tử chính của một góc tam diện, thì bài toán được xem xét cho phép chúng ta kết luận rằng từ ba phần tử chính bất kỳ của một góc tam diện, người ta có thể tìm thấy ba phần tử còn lại.

Bài toán 4. Một đường thẳng đi qua đỉnh của góc $\alpha$ ở đáy của một tam giác đều, cắt cạnh thẳng và tạo góc $\beta$ ($\beta < \alpha$) với đáy. Đường thẳng này chia tam giác theo tỷ lệ nào?

Đã giải quyết và e. Đặt $AB = BC = a, DC = x, BD = a - x$ (Hình 5). Các hình tam giác $ABD$ và $ACD$ có ​​chung chiều cao nên diện tích của chúng liên hệ với đáy, tức là giống như các cạnh $BD$ và $CD$:

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{a - x}{x} = \frac{a}{x} - 1.$$

Vì vậy, đối với lời giải bài toán chúng ta chỉ cần tìm mối quan hệ $\frac{a}{x}$.

Chúng ta hãy áp dụng định lý sin cho tam giác $ABD$

$$\frac{a - x}{\sin(\alpha - \beta)} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta)}.$$

Từ đây

$$\frac{x}{a} = \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}.$$

Kết quả là

$$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{a}{x} - 1$$

$$= \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)} - 1 = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{2\sin\beta\cos\alpha}.$$

Bài toán 5. Tất cả các mặt bên của một tứ giác đều nghiêng với đáy một góc $\alpha$, và trung điểm của mặt bên là $a$. Qua một trong các cạnh của đáy vẽ một góc $\beta$ ($\beta < \alpha$) với mặt phẳng của đáy. Tính diện tích mặt cắt ngang.

Đã giải quyết và e. Trước tiên chúng ta hãy tìm hiểu phần này là gì (Hình 6). Nó song song với đường $AB$ và mặt bên đi qua $AB$ cắt mặt cắt. Trên một đường thẳng $EF$. Nhưng nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng thứ nhất được vẽ qua một đường thẳng song song với một mặt phẳng nhất định, thì đường giao nhau sẽ song song với đường thẳng này, và do đó song song với đường thẳng $CD$. Vì vậy, mặt cắt ngang là hình thang.

43

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép tính.

chúng tôi có
$$KH = SK \cdot \cos \alpha = a \cos \alpha,$$
$$KL = CD = 2 a \cos \alpha.$$

Chúng ta hãy áp dụng định lý sin cho tam giác $MKL$:
$$\frac{ML}{\sin \alpha} = \frac{KL}{\sin [180^\circ - (\alpha + \beta)]},$$
Ở đâu
$$ML = \frac{KL \sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)} = \frac{a \sin 2\alpha}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Chúng ta hãy áp dụng định lý sin cho tam giác $MSL$:
$$\frac{SL}{\sin (\alpha + \beta)} = \frac{MS}{\sin (\alpha - \beta)},$$
$$MS = \frac{a \sin (\alpha - \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Từ sự giống nhau của các tam giác $SEF$ và $ABS$ ta thu được:
$$\frac{MS}{KS} = \frac{EF}{AB}.$$
Từ đây chúng ta có được
$$EF = \frac{AB \cdot MS}{KS} = \frac{2a \cos \alpha \cdot a \sin (\alpha - \beta)}{a \cdot \sin (\alpha + \beta)} =$$
$$= \frac{2a \cos \alpha \cdot \sin (\alpha - \beta)}{\sin (\alpha + \beta)}.$$

Bây giờ chúng ta có những gì chúng ta cần để tính diện tích mặt cắt ngang. chúng tôi có
$$S = \frac{1}{2} (CD + EF) \cdot ML = \frac{1}{2} \left[ 2a \cos \alpha + \frac{2a \cos \alpha \cdot \sin (\alpha - \beta)}{\sin (\alpha + \beta)} \right] \times \frac{a \sin 2\alpha}{\sin (\alpha + \beta)} =$$
$$= \frac{a^2 \sin^2 2\alpha \cdot \cos \beta}{\sin^2 (\alpha + \beta)}.$$

Bài 6. Trên một trong các cung $AB$ của đường tròn cho một điểm tùy ý $K$ và một điểm $M$ - điểm giữa của cung. Các điểm này được nối với nhau bằng dây cung từ các điểm $A$ và $B$. Chứng minh rằng $AK \cdot KB = AM^2 - KM^2$.

Đã giải quyết và e. Chúng ta hãy biểu thị góc $KBA$ bằng $\alpha$ và góc $KBM$ bằng $\beta$ (Hình 7). Chúng ta hãy áp dụng định lý sin cho tam giác $AKB$:
$$\frac{AK}{\sin \alpha} = 2R, AK = 2R \sin \alpha.$$ Tương tự, từ tam giác $AMB$ có $AM = 2R \sin (\alpha + \beta)$, và từ tam giác $KBM - KM = 2R \sin \beta$.

Bây giờ chúng ta xét tam giác $KMB$. Chúng tôi có $\Rightarrow KBM = \beta, \Rightarrow MKB = = \Rightarrow MAB = \Rightarrow ABM = \alpha + \beta, \Rightarrow KMB = 180^\circ - \beta - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (\alpha + 2\beta), KB = 2R \sin [180^\circ - (\alpha + 2\beta)] = 2R \sin (\alpha + 2\beta)$. Ta cần chứng minh rằng $AK \cdot KB = AM^2 - KM^2$, tức là
$$2R \sin \alpha \cdot 2R \sin (\alpha + 2\beta) = 4R^2 \sin^2 (\alpha + \beta) - 4R^2 \sin^2 \beta$$
hoặc
$$\sin \alpha \cdot \sin (\alpha + 2\beta) = \sin^2 (\alpha + \beta) - \sin^2 \beta.$$

Vấn đề được rút gọn thành việc chứng minh điểm lượng giác. Việc chứng minh không khó, chúng tôi giao việc đó cho bạn đọc tự thực hiện.

Bài 7. Trong một tam giác, một góc gấp đôi cung, cạnh đối diện với góc này cách cung đó 2 cm. Tìm các cạnh này nếu biết tam giác của tam giác đó là 5 cm.