Về một phần của hình chữ nhật

14

Về một phân vùng của hình chữ nhật

A. T. Kolomov

Ghi chú này giải quyết bài toán M144. Tìm điều kiện cần và đủ điều kiện mà các số a, b, α, β phải thỏa mãn để cắt hình chữ nhật a×b thành nhiều hình chữ nhật α×β.

Ví dụ: có thể cắt hình chữ nhật 50x60 thành hình chữ nhật có kích thước:
a) 20×15; b) 5×8; c) 6,25×15;
e) (2−√2)×(2+√2).

Lời giải khái quát hóa lời giải bài toán 1 từ bài viết “Bảng rô và polymnos” của Soifer («Kvant» Số 11, 1972).

lời giải bài toán M144 hoàn chỉnh được cho bởi định lý sau. Để cắt hình chữ nhật a×b thành hình chữ nhật α×β thì cần và đủ các điều kiện sau đây đồng thời được thỏa mãn:

1. mỗi số α và β phải là số nguyên nhỏ hơn ít nhất một trong các số a, b.

2. Mỗi số a và b phải được biểu diễn dưới dạng mα + nβ, trong đó m và n là các số không âm α và β.

Bằng chứng. Hãy biểu thị hình chữ nhật lớn bằng R và hình chữ nhật nhỏ bằng p.

Có đủ ăn. Nếu a=nα, b=mβ (m và n là các số tự nhiên), thì bằng cách chia một trong các cạnh của hình chữ nhật R thành m, và các cạnh liền kề thành n phần bằng nhau, sau đó vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của R qua các điểm chia, từ đó chúng ta sẽ chia nó thành các hình chữ nhật bằng p (Hình 1).

Nếu a=n α=mβ, thì nhờ điều kiện thứ hai, b chấp nhận biểu diễn b=kα+lβ, trong đó k và l có thể được coi là số nguyên dương. Sau đó, chia hình chữ nhật R thành hai hình chữ nhật P và Q có kích thước lần lượt là a×kα và a×lβ, chúng ta rút gọn trường hợp này thành trường hợp đã được xem xét (Hình 2).

Sự cần thiết của điều kiện thứ hai là hiển nhiên. Hãy chứng minh sự cần thiết của điều kiện đầu tiên. Có hai trường hợp có thể xảy ra:

1. Các số α và β bao gồm chúng ta. Khi đó, không mất tính tổng quát, chúng ta có thể coi các số α, β, a và b là các số nguyên, vì điều này luôn có thể đạt được

Cơm. 1.

lựa chọn các đơn vị quy mô thích hợp. Bây giờ chúng ta giả sử rằng phát biểu của chúng ta không đúng và để xác định sa mạc a, b không chia hết cho α. Sau khi chia hình chữ nhật R thành các ô vuông đơn vị, chúng ta thực hiện tô màu đúng sau đây cho lưới kết quả bằng các màu khác nhau (một màu được gọi là đúng nếu có bất kỳ ô vuông α liền kề nào ở đỉnh

15

dấu tích hoặc đường ngang đại diện cho tất cả các màu α). Cụ thể, chúng ta sẽ tô màu các ô nằm trên đường chéo và các ô từ trên xuống dưới và từ trái sang phải bằng cùng một màu và chúng ta sẽ chọn màu sao cho bất kỳ hai đường chéo nào như vậy, giữa đó có các đường chéo α-1 khác, có cùng màu. Dễ dàng thấy rằng nếu chúng ta quyết định thực hiện phân vùng cần thiết của hình chữ nhật R, thì mỗi màu α đã cho sẽ được biểu thị bằng cùng một số ô vuông đơn vị trong bất kỳ hình chữ nhật thu được nào, và do đó, số ô vuông trong toàn bộ hình chữ nhật R, được sơn bằng một màu nhất định, không phụ thuộc vào việc chọn màu này. (Hình 3 thể hiện đúng màu 4 màu).

Cơm. 3.

Gọi $r_a$ và $r_b$ là số dư thu được khi chia a và b cho α. Chia hình chữ nhật R thành ba hình chữ nhật A, B và C có kích thước lần lượt là $r_a \times r_b$, $(a - r_a) \times r_b$ và $a \times (b - r_b)$ sao cho A chiếm góc trên bên trái của hình chữ nhật ban đầu R, B liền kề với A và C nằm ở bên phải của A và B (Hình 4).

Cơm. 4.

Cơm. 5.

Trong hình chữ nhật B, mỗi màu được biểu thị bằng cùng một số ô vuông, vì α—r_a được chia cho α. Tuyên bố tương tự cũng đúng với hình chữ nhật C. Do đó, theo nhận xét trước, nó cũng phải đúng cho A.

Chúng ta hãy nhìn vào hình chữ nhật A kỹ hơn. Chúng tôi quan tâm đến ba đường chéo nằm trong nó, một trong số đó đi từ góc trên bên trái của A và được tô màu thứ $i_1$, và hai đường chéo còn lại hướng thẳng đến nó từ cả hai phía và được tô màu thứ $i_2$ và $i_\alpha$ màu. Rõ ràng, mỗi màu được đặt tên chỉ có thể xuất hiện trong hình chữ nhật A trên các đường chéo được chỉ định. Nhưng sau đó, nếu $r_a \leqslant r_b$, thì số ô có màu $i_\alpha$ nhỏ hơn một so với số ô có màu $i_1$ (Hình 5), nếu $r_a > r_b$, thì số ô có màu $i_2$ nhỏ hơn một so với số ô có màu $i_1$ (Hình 6). Trong cả hai trường hợp chúng ta đều đi đến mâu thuẫn.

2. Cho α và β là không thể ước lượng được và xác định α<β.

Nếu hai hình chữ nhật bất kỳ của phân vùng được định hướng giống hệt nhau đối với các cạnh của R (nói cách khác, nhiều cạnh của các hình chữ nhật này song song với cùng một cạnh của hình chữ nhật ban đầu), thì định lý là hiển nhiên.

Hãy chứng minh rằng trường hợp hình chữ nhật p có hướng khác nhau là không thể xảy ra. Giả sử ngược lại,

16

Có thể giả định không mất tính tổng quát rằng các hình chữ nhật $\rho$ có nhiều hướng khác nhau đã được áp dụng cho đáy của hình chữ nhật $R$. Chia lớp hình chữ nhật $\rho$, hệ số trực tiếp $R$, thành các mảnh hình chữ nhật có hướng giống hệt nhau sao cho hình chữ nhật của hai mảnh liền kề có hướng khác nhau.

Cơm. 6.

Vì hai mảnh liền kề bất kỳ có chiều cao khác nhau, nên hình chữ nhật của bất kỳ mảnh “thấp” nào đều nằm ở đáy “giếng” (Hình 7), các bức tường của chúng được hình thành bởi các cạnh của các mảnh liền kề (tuy nhiên, một trong các bức tường cũng có thể là cạnh của hình chữ nhật $R$).

Do tính không thể so sánh được của $\alpha$ và $\beta$ mỗi cái, một cái giếng như vậy phải được lấp đầy bằng các hình chữ nhật có cùng hướng với hình chữ nhật của mảnh nằm ở đáy của nó. Ngay sau khi việc lấp đầy này xảy ra, thì ngay lập tức mỗi mảnh “cao” sẽ nằm ở đáy “giếng”, các bức tường của nó sẽ được hình thành bởi các cạnh bên của các khu phức hợp lân cận, bao gồm các hình chữ nhật có hướng khác nhau, được lấp đầy bằng các “đồng” trước đó.

Cơm. 7.

thuyền." Sau khi lấp đầy các giếng mới hình thành, chúng ta sẽ có ngay giếng mới (Hình 8), v.v.

Do đó, tại mỗi bước của khu vực lấp đầy, các hình chữ nhật sẽ được giới hạn từ trên xuống bởi một đường đứt nét có ít nhất một chỗ lõm và do đó, trong trường hợp này, việc lấp đầy tất cả $R$ hình chữ nhật $\rho$ là không thể.

Như vậy định lý đã được chứng minh hoàn toàn.

Bây giờ hãy xem hình chữ nhật nào được liệt kê trong các điều kiện có thể chia thành hình chữ nhật $50 \times 60$.

Cơm. 8.

a) $20 \times 15$ có thể chia thành các mặt phẳng hình chữ nhật (theo định lý).

b) $5 \times 8$ không thể chia thành hình chữ nhật, vì 50 và 60 đều không chia hết cho 8.

b) Phân vùng thành hình chữ nhật $6,25 \times 15$ rất indo (cả hai số 50/6,25 và 60/15 đều là số nguyên).

d) $(2 + \sqrt{2}) \times (2 - \sqrt{2})$ không thể chia thành hình chữ nhật (điều kiện (1) của định lý không được thỏa mãn).

Cố gắng tự đưa ra gợi ý cho trường hợp như vậy khi ở định lý, điều kiện (1) được thỏa mãn, nhưng điều kiện (2) thì không.