Lời giải bài toán M141—M145; F159—F163

Kvant 1973, số 1 tr. 26-32 Thẻ HG96

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Lời giải bài toán
M141—M145; F159—F163.

M141. Chúng ta chọn một điểm P tùy ý tại độ cao BH của tam giác ABC (Hình 1). Gọi K là giao điểm của AP và BC, L là giao điểm của CP và AB. Chứng minh hai đoạn thẳng KH và LH tạo thành các góc bằng nhau với chiều cao BH.

Nhận định này dễ chứng minh bằng phương pháp tọa độ. Để thuận tiện, ta lấy cạnh đáy AC và chiều cao HB của tam giác làm trục tọa độ (H là gốc tọa độ). Chúng ta hãy ký hiệu tọa độ của các điểm như trong Hình 2 (trong hình này a < 0, c > 0). Chúng ta sẽ sử dụng bổ đề sau:

Phương trình đường thẳng cắt trục Hx tại điểm (x₀, 0) và trục Hy tại (0, y₀), có dạng

$\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} = 1.$ (1)

Vì chỉ có thể vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm, nên để chứng minh bổ đề chỉ cần kiểm tra xem đường thẳng (1) đi qua từng điểm này là đủ.

Theo bổ đề, tọa độ (xₖ, yₖ) của điểm K—điểm giao nhau của đường AP và BC—thu được dưới dạng hệ phương trình lời giải

$\begin{cases} \frac{x}{c} + \frac{y}{b} = 1, \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{p} = 1. \end{cases}$ (2)

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Tương tự, tọa độ (xₘ, yₘ) là hệ lời giải

$\begin{cases} \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1, \\ \frac{x}{c} + \frac{y}{p} = 1. \end{cases}$

Chúng ta quan tâm đến hệ số góc của các đường thẳng HK và HM - các tiếp tuyến góc nghiêng của các đường thẳng này với trục Hx. Trừ một phương trình của hệ (2) theo số hạng khác, chúng ta tìm thấy:

$x_K \left( \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) + y_K \left( \frac{1}{b} - \frac{1}{p} \right) = 0,$

Ở đâu

$tg \rightarrow KHx = \frac{y_K}{x_K} = \frac{(a-c) bp}{ac(b-p)}.$ (3)

Tương tự như vậy

$tg \rightarrow MHx = \frac{y_M}{x_M} = \frac{(c-a) bp}{ac(b-p)}.$ (4)

Ta thấy các hệ số góc này có độ lớn bằng nhau và trái dấu. Suy ra các đường thẳng KH và MH tạo thành các góc bằng nhau với đường thẳng BH (và đối xứng với đường thẳng này).

Tất nhiên, có thể thu được cùng các công thức (3) và (4) mà không cần đưa vào hệ tọa độ mà bằng cách xem xét nhiều cặp tam giác đồng dạng. Đây là điều mà hầu hết các viện đã làm khi giải quyết được bài toán này. Nhiều người cũng gửi lời giải, sử dụng định lý sin. Tuy nhiên, từ việc áp dụng phép phân tích lời giải (dùng hệ tọa độ), ngoài sự ngắn gọn của ký hiệu, không cần phải lo lắng về vị trí của điểm: lời giải cũng phù hợp với trường hợp một trong các góc thuộc loại AP hoặc C: nó không chỉ đạt trong trường hợp “biểu thị”, khi một trong các góc này là góc vuông, tức là a hoặc c bằng 0; trong trường hợp này cả hai điểm K và M đều nằm trên đường thẳng BH, nên mệnh đề bài toán rất indo.

Cơm. 3.

Một số độc giả đã gửi lời giảis hình học bằng cách sử dụng “định lý Ceva”. Đây là một trong những lời giải.

Đặt $K_1$ và $M_1$ là giao điểm của $HK$ và $HM$ với đường thẳng $l$ song song với $AC$ và đi qua $B$ (Hình 3). Khi đó với lời giải bài toán chỉ cần chứng minh rằng $BK_1 = BM_1$ là đủ (từ đây ta sẽ có đẳng thức $\Delta BK_1H = \Delta BM_1H$ ). Nhưng từ sự giống nhau của $\Delta BKK_1$ và $\Delta CKH$ thì suy ra rằng

$BK_1 = \frac{CH \cdot BK}{CK}$

và tương tự

$BM_1 = \frac{AH \cdot BM}{AM},$

vì vậy đẳng thức cần thiết rút ra từ phát biểu sau.

Định lý (Chevy). Nếu $P$ là điểm bất kỳ trong mặt phẳng của tam giác thì $ABC$ , $K$ , $H$ và $M$ lần lượt là giao điểm của các đường $AP$ và $BC$ , $BP$ và $AC$ , $CP$ và $AB$ (Hình 4), sau đó

$AH \cdot BM \cdot CK = CH \cdot AM \cdot BK.$

Chứng minh định lý. Chúng ta sẽ biểu thị bằng $S(ABC)$ diện tích tam giác $ABC$ . Sau đó

$\frac{AH}{CH} \cdot \frac{BM}{AM} \cdot \frac{CK}{BK} =$

$= \frac{S(APH)}{S(CPH)} \cdot \frac{S(BPM)}{S(APM)} \cdot \frac{S(CPK)}{S(BPK)} =$

$= \frac{S(APH)}{S(BPK)} \cdot \frac{S(BPM)}{S(CPH)} \cdot \frac{S(CPK)}{S(APM)} =$

$= \frac{PA \cdot PH}{PB \cdot PK} \cdot \frac{PB \cdot PM}{PC \cdot PH} \cdot \frac{PC \cdot PK}{PA \cdot PM} = 1$

(Tôi thảo luận chi tiết về các tính chất của diện tích hình tam giác được sử dụng ở đây trong bài viết của P.R. Kantor và J.M. Work “Diện tích đa giác” trong «Kvant» Số 2, 1972).

Mời bạn đọc độc lập xây dựng và chứng minh mệnh đề ngược lại với mệnh đề bài toán Số 141.

Cơm. 4.

M142. a) Chứng minh rằng không thể làm vướng víu các cạnh của một khối lập phương số 1, 2, …, 12马克 sao cho mỗi đỉnh có tổng số ba cạnh đi lên từ đỉnh đó bằng nhau. b) Có thể gạch bỏ một trong các số 1, 2, …, 12, 13 và dùng các số còn lại để nhầm lẫn các cạnh của hình lập phương sao cho thỏa mãn điều kiện tương tự?

a) Giả sử có thể sắp xếp các số 1, 2, …, 12 trên các cạnh của hình lập phương sao cho tổng ba số ở mỗi đỉnh bằng s. Hãy cộng tất cả tám số tiền như vậy tương ứng với các đỉnh khác nhau của hình lập phương. Trong tổng kết quả của 24 số, mỗi số 1, 2, …, 12 sẽ xuất hiện hai lần, vì mỗi cạnh của hình lập phương liền kề với hai đỉnh. Như vậy,

$2(1 + 2 + \dots + 12) = 8s$

từ đâu $s = \frac{12 \cdot 13}{8} = \frac{39}{2}$ ; s hóa ra không trọn vẹn! Mâu thuẫn nảy sinh cho thấy không thể xác định và vướng víu các cạnh của các số 1, 2,…, 12.

b) Đáp số: Có.

Từ lời giải điểm a) rõ ràng là chỉ gạch bỏ số c sao cho hợp lý

$s = \frac{1 + 2 + \dots + 13 - c}{4} = \frac{91 - c}{4}$

là một số nguyên, nghĩa là c = 3, c = 7 hoặc c = 11. Trong trường hợp này, s = 22, s = 21 hoặc s = 20.

Nhiều độc giả, sau khi tự thuyết phục rằng với c số s này hóa ra là một số nguyên, từ đó kết luận rằng tồn tại sự sắp xếp cần thiết. Nhưng sự xác minh này tất nhiên là chưa đủ.

Phải đưa ra ví dụ để biện minh cho đáp số. Hầu hết độc giả gửi ví dụ về cách sắp xếp cần thiết cho c = 7 (Hình 5). Trong ví dụ này, mỗi cặp quan hệ đối xứng gồm 7 số (k, 14 – k) nằm trên các cạnh đối xứng với quan hệ tâm của khối lập phương.

Thực tế là họ gửi cho chúng tôi từ những nơi khác nhau gần như giống nhau

Cơm. 5.

Ví dụ, gợi ý rằng không có quá nhiều khoảng cách cần thiết. Đối với những người thích giải logic bài toán, không ngại phải trải qua khá nhiều phương án, chúng tôi khuyên bạn nên suy nghĩ về câu hỏi sau: có bao nhiêu khoảng cách khác nhau của các số 1, …, 6, 8, …, 13 trên các cạnh của khối lập phương thỏa mãn điều kiện bài toán (hai khoảng cách được coi là khác nhau nếu chúng không đến được với nhau bằng cách quay hoặc đối xứng của khối lập phương)? Có khoảng cách nào giữa các số 1, …, 13 với $c = 3$ hoặc $c = 11$ không? Đáp số những câu hỏi này có thể được tìm thấy ở cuối tạp chí. Ngoài ra còn có một số thông báo giúp xây dựng các ví dụ cần thiết và giảm bớt tính bạo lực.

M143. Hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất $n$ thỏa mãn điều kiện sau:

nếu $n$ chia hết cho $p - 1$ và $p$ là số nguyên tố thì $n$ chia hết cho $p$ .

Cho $n$ thỏa mãn điều kiện này. Vì $n$ chia hết cho 1 = 2-1 nên nó phải chia hết cho 2, nhưng sau đó nó chia hết cho 3 = 2+1, 7 = 2 3+1 và 43 = 2 3 7+1. Do đó $n$ phải chia hết cho 1806 = 2·3·7·43.

Do đó, mức tối thiểu $n$ (nếu tồn tại) không nhỏ hơn 1806. Mặt khác, đối với 1806, điều kiện bài toán có 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 43, 86, 129, 301, 1806. (5)

Bây giờ tăng từng cái một, chúng ta nhận được:

2, 3, 4, 7, 8, 15, 22, 43, 44, 87, 130, 302, 1807. (6)

Tất cả những gì còn lại là hiển thị tất cả các số nguyên tố từ tập hợp (6) và đảm bảo rằng chúng nằm trong tập hợp (5) (1807 không phải là số nguyên tố, nó chia hết cho 13).

Đáp số: $n = 1806$ .

M144. Lời giải trong số bài toán này có trong ghi chú của A. T. Kolotov “Trên một phân vùng của lybnik trực tiếp” (xem trang 14 của số này).

M145. Và chúng tôi hứa sẽ lập kế hoạch trung bình $B$ $\sqrt{2}$ rúp mỗi ngày. Họ quy định rằng vào $n$ ngày $A$ chúng tôi sẽ nhận được một số nguyên $a_n$ rúp ( $a_n$ bằng 1 hoặc 2) với số tiền tối đa nhận được trong $n$ ngày đầu tiên ( $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ ) càng gần với số $n\sqrt{2}$ càng tốt. Ví dụ: $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , $a_3 = 1$ , $a_4 = 2$ , $a_5 = 1$ .

Chứng minh rằng dãy $a_1, a_2, a_3, \dots$ không tuần hoàn.

Ý tưởng của bằng chứng như sau. Giả sử rằng, bắt đầu từ một ngày nào đó với số $N + 1$ , chuỗi này là tuần hoàn và $T$ là một khoảng thời gian, tức là $a_{N+1} + a_{N+2} = a_{N+1}$ , $a_{N+2} + a_{N+3} = a_{N+2}$ , v.v. Sau đó cứ mỗi $T$ ngày tiếp theo ngày $N$ , $B$ sẽ nhận được cùng một số nguyên.

$a_{N+1} + a_{N+2} + \dots + a_{N+T} = c$ (7) rúp. Do đó, trung bình (trong một thời gian dài) anh ta sẽ nhận được $\frac{c}{T}$ rúp mỗi ngày. Nhưng từ quy tắc xây dựng chuỗi $a_n$ , trung bình anh ta sẽ nhận được $\sqrt{2}$ rúp mỗi ngày. Chúng ta đi đến một mâu thuẫn: sự bình đẳng

$\frac{c}{T} = \sqrt{2}$

không thể, vì $\sqrt{2}$ là vô tỉ, còn $c$ và $T$ là tự nhiên.

Nhiều người đã gửi cho chúng tôi lời giải trong số bài toán này cũng bày tỏ ý tưởng tương tự. Nhưng không phải ai cũng đưa nó đến một bằng chứng nghiêm ngặt. Bằng chứng này có thể trông giống như thế này:

Chúng ta hãy biểu thị $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ bằng $s_n$ . Vì $n\sqrt{2}$ là vô tỷ và $s_n - \text{ближайшее целое число } k\sqrt{2}$ (Hình 6), nên

$|s_n - n\sqrt{2}| < 1/2.$ (9)

Giả sử rằng với $n > N$ dãy $a_n$ là tuần hoàn và sử dụng ký hiệu (7), với mọi số tự nhiên $m$ chúng ta có

$s_N + mT = s_N + mc.$ (10)

Áp dụng (9) cho $n = N + mT$ , xét đến (10) ta thu được

$|s_N + mc - N\sqrt{2} - mT\sqrt{2}| < 1/2,$

$\left| \frac{c}{T} - \sqrt{2} \right| < \frac{1}{2mT} + \left| \frac{s_N - N\sqrt{2}}{mT} \right| < \frac{1}{mT}.$

Bất đẳng thức này phải đúng với hoặc $m$ . Suy ra vế trái của bất đẳng thức phải bằng $0^*$ ), tức là

$\Delta P \sim \frac{\sigma}{R},$

trong đó $\sigma$ là hệ số bề mặt của dung dịch xà phòng. $\sigma$ là lực tác dụng trên một đơn vị chiều dài của ranh giới màng xà phòng.

Sự phụ thuộc tỷ lệ nghịch của chênh lệch áp suất vào bán kính của pulier không phải do bề mặt tự nhiên mà do nó có dạng hình cầu. Do đó, công thức tương tự sẽ đúng đối với quả bóng cao su.

Tuy nhiên, trong trường hợp quả bóng cao su $\sigma$ , tức là lực đàn hồi tác dụng lên một đơn vị chiều dài của ranh giới của màng cao su sẽ không phải là một giá trị không đổi và không phụ thuộc vào bán kính của nó, như trong trường hợp bột giặt xà phòng.

Tìm sự phụ thuộc $\sigma(R)$ rất khó. Chúng tôi sẽ trình bày lời giải bài toán, không phụ thuộc vào loại hàm $\sigma(R)$ . Chúng ta sẽ giả sử rằng sự thay đổi bán kính của quả bóng là nhỏ so với chính sự khác biệt này. Điều này có nghĩa là $q_1 \ll 100$ , $q_2 \ll 100$ , $\alpha_1 \ll 100$ và $\alpha_2 \ll 100$ ( $q_2$ là sự thay đổi bán kính của quả bóng trong trường hợp thứ hai). Sự thay đổi bán kính của quả bóng phụ thuộc vào sự thay đổi chênh lệch áp suất. Điều này có nghĩa là $q$ là hàm của $\alpha : q = q(\alpha)$ . Bạn có thể nói gì về đồ thị hàm số $q(\alpha)$ ? Tại $q = 0$ $\alpha = 0$ ; do đó, đường cong $q(\alpha)$ đi qua gốc tọa độ. Rõ ràng về mặt vật lý là đường cong này ở mức nhỏ $\alpha$ không có các bước nhảy thẳng đứng. Đối với $\alpha$ đủ nhỏ, đồ thị thực tế của sự phụ thuộc $q(\alpha)$ với giá trị gần đúng tốt có thể là

*) Ở đây chúng ta sử dụng một tính chất rất tiện lợi của số thực: nếu $\alpha > 0$ , $\beta > 0$ , thì tồn tại một số tự nhiên $m$ sao cho $m\alpha > \beta$ .

(“Tiên đề của Archimedes”)

thay thế đường thẳng bằng một tiếp tuyến của đồ thị tại gốc tọa độ. Nghĩa là, sự phụ thuộc $q(\alpha)$ có thể được coi là tuyến tính:

$q = k\alpha,$

trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ.

Bây giờ hãy cùng nhau giải quyết vấn đề. Theo các điều khoản

$\frac{q_2}{q_1} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1},$

Ở đâu

$q_2 = q_1 \frac{\alpha_2}{\alpha_1}.$

F160. Một đĩa có bán kính $R$ được tháo xoắn quanh một trục đa trục $c$ bằng cách đặt một sợi dây có chiều dài $l$ , bằng $c$ lực không đổi $F$ (Hình 7). Sau đó, đĩa co lại từ trục $u$ và kết thúc trên một mặt phẳng nằm ngang. Chúng ta sẽ quay cái đĩa bao nhiêu vòng trên mặt phẳng cho đến khi nó hóa cứng hoàn toàn, nếu khối lượng của nó là $M$ , và hệ số ma sát giữa đĩa và mặt phẳng là $k$ ?

Đĩa sẽ còn lại khi toàn bộ động năng chuyển hóa thành nhiệt năng do ma sát với mặt phẳng. Điều này có nghĩa là điều kiện để đĩa rời khỏi đĩa là động năng của đĩa bằng lực ma sát.

Động năng của đĩa tại thời điểm nó tiếp xúc với mặt phẳng không khó tìm - nó bằng lực $F$ :

$W_K = F l.$ (1)

Hãy tìm công do lực ma sát thực hiện. Chuyển động của các điểm khác nhau trên đĩa là khác nhau.

*) Có thể ở một mức chênh lệch áp suất “ tới hạn” nhất định nó sẽ “nổ”. Chúng tôi tin rằng sự gia tăng chênh lệch áp suất $\alpha_1$ % và $\alpha_2$ % bắt đầu từ một giá trị ban đầu nhất định, xa hơn giá trị tới hạn.

Cơm. 8.

Chúng tôi sẽ tiến hành như sau. Chia đĩa thành các hình trụ rỗng mỏng. Chúng ta hãy xem xét một trong những hình trụ này nằm ở khoảng cách $r$ tính từ tâm đĩa (Hình 8). Độ dày của nó là $\Delta r \ll r$ , vì vậy chúng ta có thể giả sử rằng khi đĩa quay một góc f thì mỗi điểm của hình trụ đã chọn sẽ di chuyển một góc fr. Điều này có nghĩa là lực ma sát $F_{TP}$ đã thực hiện công
$\Delta A = F_{TP} \varphi r = k \Delta m g \varphi r,$
(2)

trong đó $\Delta m$ là khối lượng của hình trụ đã chọn, có thể biểu thị qua khối lượng của đĩa $M$ . Rõ ràng, tỉ số khối lượng của hình trụ và khối lượng của đĩa bằng tỉ số diện tích của chúng
$\frac{\Delta m}{M} = \frac{\pi (r + \Delta r)^2 - \pi r^2}{\pi R^2}.$

Từ đây
$\Delta m = M \frac{2r \Delta r + (\Delta r)^2}{R^2}.$

Vì $\Delta r \ll r$ , thì $(\Delta r)^2 \ll 2r \Delta r$ và
$\Delta m = 2M \frac{r \Delta r}{R^2}.$

Thay biểu thức này cho $\Delta m$ vào công thức (2), chúng ta thu được
$\Delta A = \frac{2\varphi M g k r^2 \Delta r}{R^2}.$

Công do lực ma sát thực hiện khi quay toàn bộ đĩa bằng tổng các biểu thức sau, áp dụng cho các hình trụ khác nhau:
$A = \sum \frac{2\varphi M g k r^2 \Delta r}{R^2} = \frac{2\varphi M g k \Sigma r^2 \Delta r}{R^2}.$
(3)

Tổng $\Sigma r^2 \Delta r$ có thể được tính như sau. Hãy xem xét đồ thị của hàm $y = r^2$ (Hình 9). Tích $r^2 \Delta r$ là diện tích hình chữ nhật được tô sáng trong hình và tổng $\Sigma r^2 \Delta r$ bằng diện tích của hình bậc thang gồm các hình chữ nhật tương tự. Tại $\Delta r \rightarrow 0$ đường gãy có xu hướng hướng tới parabol $y = r^2$ . Do đó, biểu thức $\Sigma r^2 \Delta r$ về mặt số học bằng diện tích của hình dưới đồ thị parabol. Để tìm diện tích này, bạn có thể sử dụng phương pháp được nêu trong bài viết của A. D. Bendukidze “Archimedes và phương trình bậc hai của paraboles” (“Lượng tử” số 7, 1971) và đi đến biểu thức *)

$\Sigma r^2 \Delta r = \frac{1}{3} R^3.$

Hãy thay thế biểu thức này vào công thức (3)
$A = \frac{2\varphi M g k R^3}{3 R^2} = \frac{2}{3} \varphi M g k R.$

Bây giờ chúng ta đánh đồng giá trị này với động năng của đĩa:
$\frac{2}{3} \varphi M g k R = Fl.$

Từ đây ta tìm được góc quay của đĩa
$\varphi = \frac{3}{2} \frac{Fl}{M g k R}.$

Số vòng quay của đĩa là
$n = \frac{\varphi}{2\pi} = \frac{3}{4} \frac{Fl}{\pi M g k R}.$

F161. Các phần tử đặc tính dòng điện-điện áp $C$ và $B$ được thể hiện trong Hình 10, a và b (đây là các đặc tính dòng điện-điện áp lý tưởng hóa của điốt zener và áp kế). Dòng điện chạy qua phần tử $C$ trong mạch như hình 11 là bao nhiêu? Điện áp đặt vào phần tử $B$ trong các mạch ở Hình 12 là bao nhiêu?

*) Những ai đã đọc Yu. I. Bài báo “Tích phân” (“Quant” số 9, 1972 của Ionin) có thể tính được lượng này và sử dụng các phương pháp tính tích phân.

Cơm. 10.

Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng điện trở nguồn bằng 0. Trước tiên chúng ta hãy xem xét các mạch điện trong Hình 11, a và 12, a.

Không có dòng điện chạy qua phần tử C (Hình 11, a) cho đến khi điện áp rơi trên nó bằng $U_0$ . Vì vậy, tại $E \leq U_0$ $I_C = 0$ . Tại $E > U_0$ , điện áp rơi trên phần tử C là $U_0$ và điện áp rơi trên điện trở R là $E - U_0$ . Trong trường hợp này, dòng điện $I_C = \frac{E - U_0}{R}$ chạy qua mạch.

Đồ thị của $I_C$ so với $E$ được hiển thị trong Hình 13.

Nếu ed. Với. nguồn (Hình 12, a) sao cho dòng điện chạy qua phần tử B nhỏ hơn $I_0$ thì điện áp rơi trên nó bằng 0. Trong trường hợp này, điện áp rơi trên điện trở R bằng $E$ , do đó, $I = \frac{E}{R}$ .

Cơm. 11.

Cơm. 12.

Cơm. 13. Hình 14.

Đẳng thức này tồn tại cho đến khi $I \leq I_0$ , tức là đối với $\frac{E}{R} \leq I_0$ hoặc $E \leq I_0$ $R$ .

Tại $E > I_0$ $R$ dòng điện $I_0$ chạy qua mạch, điện áp rơi trên điện trở R là $I_0$ $R$ , còn ở phần tử B là $E - I_0$ $R$ .

Biểu đồ sụt áp giữa phần tử B so với $E$ được hiển thị trong Hình 14.

Chúng ta hãy xem các mạch được hiển thị trong Hình 11, 6 và 12, 6.

Nếu ed. Với. nguồn trong mạch ở hình 11, 6 nhỏ hơn $I_0$ $R$ thì dòng điện qua phần tử C bằng 0 và dòng điện $I = \frac{E}{R}$ chạy qua phần tử B.

Điều này đúng nếu $I \leq I_0$ , tức là đối với $\frac{E}{R} \leq I_0$ hoặc $E \leq I_0$ $R$ .

Với sự gia tăng em. Với. nguồn thì dòng điện qua phần tử B chỉ có thể tăng đến giá trị $I_0$ . Nếu $E > I_0$ $R$ nhưng điện áp rơi giữa phần tử C và B nhỏ hơn $U_0$ thì dòng điện chỉ chạy qua phần tử B. Dòng điện này bằng $I_0$ . Do đó, điện áp rơi trên điện trở R bằng $I_0$ $R$ , và điện áp rơi trên các phần tử C và B bằng $E - I_0$ $R$ . Việc này được thực hiện cho đến $E - I_0$ $R \leq U_0$ ,

nghĩa là ở mức $E \leq U_0 + IR$ .

Ở mức e.f. Với. nguồn, độ sụt áp giữa phần tử C và B là $U_0$ , dòng điện $I_R = \frac{E - U_0}{R}$ chạy qua điện trở R, dòng điện $I_B = I_0$ chạy qua phần tử B và $C - I_C = I_R - I_B = \frac{E - U_0}{R} - I_0$ chạy qua phần tử B.

Đồ thị của dòng điện qua điện trở R, độ sụt điện áp giữa các phần tử C và B, và dòng điện $I_C$ từ $E$ được thể hiện trên Hình 15.

Rõ ràng là ở $E \leq U_0$ điện áp rơi trên phần tử C trong mạch như hình 126 nhỏ hơn $U_0$ và không có dòng điện chạy qua mạch. Trong trường hợp này, điện áp rơi trên phần tử B bằng 0. Khi $E$ lớn hơn $U_0$ , dòng điện $I = \frac{E - U_0}{R}$ sẽ chạy qua mạch. Nhưng dòng điện này không thể lớn hơn $I_0$ . Tạm biệt

$I < I_0,$
nghĩa là, $\frac{E - U_0}{R} < I_0$ hoặc $E < U_0 + I_0 R,$
Điện áp rơi trên phần tử B bằng 0. Tại $E \geq U_0 + I_0 R$ $I = I_0$ , và điện áp rơi trên phần tử B là $U_B = E - I_0 R - U_0$ .

Đồ thị của dòng điện chạy qua mạch và điện áp $U_B$ so với $E$ được thể hiện trên Hình 16.

F162. Sao Hỏa công nghiệp được gọi là thời điểm sao Hỏa, Mặt trời và Trái đất nằm trên cùng một đường thẳng. Thời kỳ Đại công nghiệp là thời điểm mà khoảng cách giữa Trái đất và Sao Hỏa là tối thiểu. Trong phần màu xanh lam, quỹ đạo của Trái đất là một hình tròn và quỹ đạo của Sao Hỏa là hình elip, hãy tìm xem các công trình công nghiệp lớn phải mất bao nhiêu năm để quay một vòng.

Sao Hỏa thực hiện một vòng quay hoàn toàn quanh Mặt trời trong 687 ngày.

Nếu các sự kiện công nghiệp lớn lặp lại sau $k$ năm, thì Trái đất sẽ thực hiện $k$ các vòng quay đầy đủ trong thời gian này và Sao Hỏa sẽ thực hiện $n = \frac{365}{687} k$ các vòng quay đầy đủ. Số này phải là số nguyên. Vì vậy, chúng ta cần tìm số nguyên tối thiểu $k$ sao cho biểu thức $\frac{365}{687} k$ bằng một số nguyên.

Vì $\frac{365}{687} \approx \frac{365}{685} = \frac{73}{137} \approx \frac{72}{135} = \frac{8}{15},$ , số nguyên tối thiểu $k$ mà $n$ cũng là số nguyên sẽ bằng 15. Ngoài ra, $n = 8$ .

Như vậy, những sự kiện công nghiệp lớn được lặp lại trong 15 năm. Sao Hỏa thực hiện 8 vòng quay trong thời gian này.

Trên thực tế, người ta biết rằng các sự kiện công nghiệp lớn sẽ lặp lại sau 15 hoặc 17 năm.

F163. Theo một trong những mô hình đầu tiên của nguyên tử hydro (mô hình của Thomson), nó là một quả cầu điện đa hình tích điện đồng đều, trong đó có một electron. Nói chung, nguyên tử là trung tính. Năng lượng tối đa phải truyền cho một electron để tách nó ra khỏi nguyên tử trên một khoảng cách dài bằng $W$ . Độ lớn của điện tích là $e$ .

Giá trị $W$ bằng công cần phải tiêu tốn để loại bỏ một electron khỏi nguyên tử.

Thật dễ dàng tìm thấy công cần phải tiêu tốn để tách một electron khỏi bề mặt nguyên tử “đến vô cùng” (cách xa nó vô cùng). Công này bằng thế năng của electron và bề mặt của một quả bóng tích điện đa hình, tức là điện trường tiềm năng trên bề mặt quả bóng $\varphi = \frac{e}{R}$ (e là điện tích của quả bóng và $R$ là bán kính của nó), nhân với giá trị điện tích của electron

$A_1 = \frac{e}{R} \cdot e = \frac{e^2}{R}.$

Để tìm công cần dùng để di chuyển một electron từ tâm nguyên tử đến bề mặt của nó, hãy chia quả bóng thành những hình cầu mỏng có độ dày $\Delta r$ sao cho trên mỗi con voi này, lực tác dụng lên điện tích có thể được coi là không đổi. Để làm điều này bạn cần $\Delta r \ll R$ . Ví dụ, trường được tạo ra bởi điện tích của mỗi từ được biết là bằng 0 bên trong lớp này và bên ngoài lớp, nó giống như trường hợp trọng lượng của điện tích tập trung ở tâm quả bóng. Điều này có nghĩa là hướng của điện trường bên trong nguyên tử ở khoảng cách $r$ tính từ tâm của nó là

$E = \frac{q}{r^2},$

và lực tác dụng lên electron trong trường này bằng

$F = \frac{qe}{r^2},$

trong đó $q$ là điện tích nằm trong hình cầu có bán kính $r$ .

Vì điện tích của quả bóng là $e$ và nó phân bố đều trên quả bóng nên điện tích tập trung trong một đơn vị thể tích của quả bóng

$\frac{e}{4\pi R^3}.$

Điều này có nghĩa là bên trong một quả bóng có bán kính $r$ sẽ có điện tích

$q = \frac{e}{4\pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = e \left( \frac{r}{R} \right)^3.$