Kvant
Câu lạc bộ toán học

Hình lục giác được khắc

Лоповок Л. М.

Kvant 1973, số 1tr. 18, 20, 21, 22Thẻ J81S

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

18

Trong phần “Vòng tròn toán học”, chúng tôi xuất bản các ghi chú trong đó chúng tôi đang nói về các nhiệm vụ gần với chương trình tuần hoàn trong toán học. Nói chung, những ghi chú này được xây dựng theo ý nghĩa của một vòng tròn toán học: Cyclelo đưa ra một số vị trí của ma túy được kết nối với ma túy bài toán. Một số trong số chúng có lời giải trong văn bản, trong khi một số khác - cả bài giảng và khó hơn - được để lại cho lời giải độc lập.

Theo quy định, “Vòng tròn toán học” của chúng tôi có sẵn theo chu kỳ, chúng ta đang nói về các hình lục giác đều. Trong khi đó, một hình lục giác lồi tùy ý trong một hình tròn đáng được quan tâm đặc biệt vì nó có một số tính chất thú vị.

Hơn 330 năm trước, nhà toán học nổi tiếng người Pháp Blaise Pascal (khi đó là một cậu bé 16 tuổi) đã nghiên cứu một số tính chất của hình lục giác nội tiếp trong một tiết diện hữu hạn (tức là hình tròn, hình elip, hyperbol hoặc parabol). Đồng thời, ông phát hiện ra định lý mà ngày nay mang tên ông: nếu một hình lục giác nội tiếp trong một tiết diện hữu hạn thì giao điểm của các cạnh đối diện của nó (hoặc phần mở rộng của chúng) nằm trên cùng một đường thẳng. Pascal thực hiện nghiên cứu của mình bằng cách sử dụng phương pháp gọi là hình học xạ ảnh. Chúng ta sẽ xét tính chất của một hình lục giác lồi nội tiếp trong một đường tròn. Việc đơn giản hóa bài toán này cho phép chúng ta duy trì trong phạm vi hình học cơ bản.

góc

Các tổng tính qua một góc của một hình lục giác nội tiếp lồi thì bằng nhau.

Giả sử (Hình 1) là một hình lục giác lồi A1A2A3A4A5A6A_1A_2A_3A_4A_5A_6 nội tiếp trong một hình tròn. Chúng ta hãy biểu thị các cung của nó A1A2A_1A_2, A2A3A_2A_3, …, A6A1A_6A_1 của cung tương ứng bằng 2x12x_1, 2x22x_2, …, 2x62x_6. Khi đó theo tính chất các góc nội tiếp ⇒A1=x2+x3+x4+x5\Rightarrow A_1=x_2+x_3+x_4+x_5, ⇒A3=x1+x4+x5+x6\Rightarrow A_3=x_1+x_4+x_5+x_6, ⇒A5=x1+x2+x3+x6\Rightarrow A_5=x_1+x_2+x_3+x_6.

Bởi vì ⇒A1+⇒A3+⇒A5=2x1+2x2+2x3+2x4+2x5+2x6=360∘\Rightarrow A_1+\Rightarrow A_3+\Rightarrow A_5=2x_1+2x_2+2x_3+2x_4+2x_5+2x_6=360^\circ.

Vì tổng các góc trong của một hình lục giác lồi là 720∘720^\circ nên ⇒A2+⇒A4+⇒A6=360∘\Rightarrow A_2+\Rightarrow A_4+\Rightarrow A_6=360^\circ.

20

(rõ ràng điều này luôn có thể được thực hiện).

Để A1A2⋅A3A4⋅A5A6=A2A3⋅A4A5⋅A6A1A_1A_2 \cdot A_3A_4 \cdot A_5A_6 = A_2A_3 \cdot A_4A_5 \cdot A_6A_1; đường chéo A1A4A_1A_4 và A2A5A_2A_5 cắt nhau tại điểm MM và đường chéo A3A6A_3A_6 không đi qua điểm này (Hình 3). Xét một hình lục giác A1A2A3A4A5BA_1A_2A_3A_4A_5B nội tiếp trong cùng một đường tròn, với điểm BB nằm tại giao điểm của đường tròn và đường thẳng A3MA_3M; hình lục giác này ngày càng có nhiều đường chéo đi qua điểm MM.

Khi đó theo định lý đã được chứng minh
A1A2⋅A3A4⋅A5B=A2A3×A4A5⋅BA1.A_1A_2 \cdot A_3A_4 \cdot A_5B = A_2A_3 \times A_4A_5 \cdot BA_1.
So sánh đẳng thức này với điều kiện, ta thấy rằng
A5A6A5B=A6A1BA1.\frac{A_5A_6}{A_5B} = \frac{A_6A_1}{BA_1}.
Nhưng nếu điểm BB (nằm giữa A5A_5 và A1A_1) nằm giữa A5A_5 và A6A_6, thì từ điều kiện ⋃A1A5<180∘\bigcup A_1A_5 < 180^\circ ta thu được:
A5B<A5A6,BA1>A6A1,A_5B < A_5A_6, BA_1 > A_6A_1,
Ở đâu
A5A6A5B>1>A6A1BA1\frac{A_5A_6}{A_5B} > 1 > \frac{A_6A_1}{BA_1}

  • bất bình đẳng nghiêm ngặt thay vì bình đẳng. Trường hợp điểm BB nằm giữa A1A_1 và A6A_6 cũng được coi là tương tự. Do đó, giả sử đường chéo lớn thứ ba của hình lục giác ban đầu không đi qua điểm MM là sai.

Như vậy, đẳng thức tích là cạnh của mặt lồi

Hình 4.

lục giác đi qua một là điều kiện cần và đủ để giao các đường chéo lớn của lục giác tại một điểm.

Số liệu tương ứng giữa các cạnh và các đường chéo chính của một hình lục giác lồi nội tiếp

Tích các đường chéo chính của một hình lục giác lồi nội tiếp bằng tổng các tích các cạnh của nó đi qua một và tích các cạnh đối diện của nó với đường chéo chính ngăn cách chúng (xyz=abc+a1b1c1+aa1x+bb1y+cc1zxyz = abc + a_1b_1c_1 + aa_1x + bb_1y + cc_1z trong Hình 4).

Như đã biết, tích các đường chéo của một tứ giác nội tiếp bằng tổng các tích các cạnh đối của tứ giác đó (định lý Ptolemy).

Ký hiệu của tất cả các phần tử của hình lục giác được thể hiện trong Hình 4. Theo định lý Ptolemy, từ tứ giác A2A3A5A6A_2A_3A_5A_6 người ta tìm thấy
xy=cc1+dexy = cc_1 + de
Và
xyz=cc1z+dez.xyz = cc_1z + dez.
Nhưng ee và zz là các đường chéo của tứ giác nội tiếp A1A3A4A5A_1A_3A_4A_5. Vì vậy ez=fa1+gbez = fa_1 + gb. Như vậy,
xyz=cc1z+dfa1+dgb.xyz = cc_1z + dfa_1 + dgb.

Từ tứ giác nội tiếp A1A2A3A6A_1A_2A_3A_6 người ta tìm thấy df=ax+b1c1df = ax + b_1c_1 và từ tứ giác A1A2A5A6A_1A_2A_5A_6:dg=ac+b1ydg = ac + b_1y. Thay thế các giá trị này, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết.

Tính các đường chéo của một hình lục giác lồi nội tiếp dọc theo các cạnh của nó là một công việc rất khó khăn. Chỉ trong trường hợp hình lục giác tuần hoàn là một nửa bên phải (a=b=c,a1=b1=c1a = b = c, a_1 = b_1 = c_1), lời giải là đơn giản. Vì tất cả các góc của hình lục giác như vậy đều bằng 120∘120^\circ nên đường chéo nhỏ được định nghĩa là cạnh thứ ba của tam giác có hai cạnh bằng aa

21

Hình 5.
và a1a_1, và góc giữa chúng là 120∘120^\circ. Vì vậy, α=a2+aa1+a12\alpha = \sqrt{a^2 + aa_1 + a_1^2}. Đường chéo chính là đáy của một hình thang, các cạnh của nó bằng nhau và tạo thành các góc 60∘60^\circ với đáy. Một hình thang như vậy có đáy lớn hơn bằng tổng của đáy thứ hai và cạnh, tức là
x=a+a1.x = a + a_1.

Một số điểm

Chúng ta sẽ cần một tính chất của một tam giác - định lý Menelaus.

Cho một đường thẳng không đi qua đỉnh của tam giác ABC cắt các cạnh AB, BC, CA hoặc phần kéo dài của chúng tại các điểm tương ứng C1_1, A1_1 và B1_1 (ví dụ về cấu hình như trên Hình 5); moeda

AC1BC1⋅BA1CA1⋅CB1AB1=1.\frac{AC_1}{BC_1} \cdot \frac{BA_1}{CA_1} \cdot \frac{CB_1}{AB_1} = 1.

Cũng dễ dàng chứng minh tính đúng đắn của định lý Menelaus trong trường hợp đường thẳng chỉ cắt cạnh tiếp tục của tam giác - hãy tự làm điều đó.

Để một hình lục giác lồi treo thành một vòng tròn và kéo dài phần mở rộng tương ứng của nó tại các điểm K, L và M (Hình 6). Khi đó các điểm K, L và M nằm trên cùng một đường thẳng.

Các phần kéo dài của cạnh A1A2A_1A_2, A3A4A_3A_4 và A5A6A_5A_6 cắt nhau tại các điểm B, C và D. Khoảng cách giao điểm của tam giác BCD bởi các đường KA2A3KA_2A_3, LA5A4LA_5A_4, MA6A1MA_6A_1 (các kỹ thuật được viết không phải bằng hai điểm như thường lệ mà dùng các khay để chỉ ra điểm mà đường thẳng cắt tiếp

22

Hình 7.

phía dưới cạnh tương ứng của tam giác BCD). Theo định lý Menelaus cho những đường này ta có:

BA2A2D⋅DKKC⋅CA3A3B=−1;\frac{BA_2}{A_2D} \cdot \frac{DK}{KC} \cdot \frac{CA_3}{A_3B} = -1;

BLLD⋅DA5A5C⋅CA4A4B=−1;\frac{BL}{LD} \cdot \frac{DA_5}{A_5C} \cdot \frac{CA_4}{A_4B} = -1;

CMMB⋅BA1A1D⋅DA6A6C=−1.\frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA_1}{A_1D} \cdot \frac{DA_6}{A_6C} = -1.

Thay đổi các đẳng thức này, ta có:

BL⋅DK⋅CMLD⋅KC⋅MB×\frac{BL \cdot DK \cdot CM}{LD \cdot KC \cdot MB} \times

×BA2⋅CA3⋅DA5⋅CA4⋅BA1⋅DA6A2D⋅A3B⋅A5C⋅A4B⋅A1D⋅A6C=−1.\times \frac{BA_2 \cdot CA_3 \cdot DA_5 \cdot CA_4 \cdot BA_1 \cdot DA_6}{A_2D \cdot A_3B \cdot A_5C \cdot A_4B \cdot A_1D \cdot A_6C} = -1.

(*)

Theo tính chất các cát tuyến vẽ đường tròn từ một điểm, BA1⋅BA2=BA3⋅BA4;CA3⋅CA4=CA5⋅CA6;DA5⋅DA6=DA1⋅DA2BA_1 \cdot BA_2 = BA_3 \cdot BA_4; CA_3 \cdot CA_4 = CA_5 \cdot CA_6; DA_5 \cdot DA_6 = DA_1 \cdot DA_2.

Do đó phân số thứ hai trong (*) bằng 1. Do đó,

BLLD⋅DKKC⋅CMMB=−1.\frac{BL}{LD} \cdot \frac{DK}{KC} \cdot \frac{CM}{MB} = -1.

Và điều này, như chúng ta đã biết, chứng tỏ các điểm K, L và M nằm trên cùng một đường thẳng.

Điểm giao nhau của các đường chéo A1A3A_1A_3 và A2A4A_2A_4, A2A5A_2A_5 và A3A6A_3A_6, A1A5A_1A_5 và A4A6A_4A_6 (Hình 7) cũng nằm trên cùng một đường thẳng.

Để chứng minh, ông sử dụng định lý sin (cạnh của một tam giác tỉ lệ với sin của các góc đối diện) và định lý nghịch đảo với định lý Menelaus cho tam giác A1A3EA_1A_3E và các điểm B, C, D:

A1BBA3=A1BA2B⋅A2BBA3=\frac{A_1B}{BA_3} = \frac{A_1B}{A_2B} \cdot \frac{A_2B}{BA_3} =

=sin⁡(x4+x5+x6)sin⁡x2⋅sin⁡x1sin⁡x3;= \frac{\sin(x_4 + x_5 + x_6)}{\sin x_2} \cdot \frac{\sin x_1}{\sin x_3};

A3CCE=A3CCA5⋅CA5CE=\frac{A_3C}{CE} = \frac{A_3C}{CA_5} \cdot \frac{CA_5}{CE} =

=sin⁡x2sin⁡x5⋅sin⁡(x3+x4+x6)sin⁡x1;= \frac{\sin x_2}{\sin x_5} \cdot \frac{\sin(x_3 + x_4 + x_6)}{\sin x_1};

EDDA1=−EDA1D=\frac{ED}{DA_1} = -\frac{ED}{A_1D} =

=−EDDA6⋅DA6A1D=−sin⁡x3sin⁡(x1+x2+x5)×sin⁡x5sin⁡(x1+x2+x3).= -\frac{ED}{DA_6} \cdot \frac{DA_6}{A_1D} = -\frac{\sin x_3}{\sin(x_1 + x_2 + x_5)} \times \frac{\sin x_5}{\sin(x_1 + x_2 + x_3)}.

Thay đổi các đẳng thức này, ta có:

A1BBA3⋅A3CCE⋅EDDA1=\frac{A_1B}{BA_3} \cdot \frac{A_3C}{CE} \cdot \frac{ED}{DA_1} =

=−sin⁡(x3+x4+x6)sin⁡(x1+x2+x3)⋅sin⁡(x4+x5+x6)sin⁡(x1+x2+x5).= -\frac{\sin(x_3 + x_4 + x_6)}{\sin(x_1 + x_2 + x_3)} \cdot \frac{\sin(x_4 + x_5 + x_6)}{\sin(x_1 + x_2 + x_5)}.

Vì x1+x2+x3+x4+x5+x6=180∘x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 180^\circ thì

sin⁡(x1+x2+x3)=sin⁡(x4+x5+x6)\sin(x_1 + x_2 + x_3) = \sin(x_4 + x_5 + x_6)

Và

sin⁡(x1+x2+x5)=sin⁡(x3+x4+x6)\sin(x_1 + x_2 + x_5) = \sin(x_3 + x_4 + x_6)

Kể từ đây,

A1BBA3⋅A3CCE⋅EDDA1=−1.\frac{A_1B}{BA_3} \cdot \frac{A_3C}{CE} \cdot \frac{ED}{DA_1} = -1.

Và điều này chứng tỏ điểm B, C và D nằm trên cùng một đường thẳng.

Tương tự, có thể chứng minh giao điểm của các đường chéo A1A3A_1A_3 và A2A6A_2A_6, A3A5A_3A_5 và A4A6A_4A_6, A1A4A_1A_4 và A2A5A_2A_5 cũng như giao điểm của các đường chéo A1A5A_1A_5 nằm trên cùng một đường thẳng