[Về định lý Blichfeld]

Hình trên cho thấy một hình vẽ phức tạp nằm trên mặt giấy ca-rô. Chín nút rơi vào “lãnh thổ” của nó (chúng tôi gọi các nút là giao điểm của các đường thẳng ngang và dọc, đường giấy). Có thể gấp nó lại trên tờ giấy để có ít nút hơn nằm gọn trong khu vực bị chiếm dụng của nó không? Hóa ra là có thể: nếu diện tích của một hình tùy ý nằm trên giấy ca rô nhỏ hơn n (diện tích của một hình vuông được lấy bằng một), thì nó có thể được gấp lại sao cho không quá (n-1) nút rơi trên lãnh thổ của nó. Tuyên bố này được gọi là định lý Blichfeld. Hãy cố gắng chứng minh điều đó. Sau này, bạn chỉ cần đảm bảo rằng diện tích của hình của chúng tôi nhỏ hơn một và do đó, nó thực sự có thể được gấp lại từ các nút.

Ở trang đầu tiên, bạn sẽ thấy mô hình tinh thể ion lý tưởng. Tính chất của các chất kết tinh được xác định bởi cấu trúc mạng tinh thể của chúng. Cách tìm các thông số cơ học của một chất bằng đặc tính vi mô được mô tả trong bài viết “Tính chất cơ học của tinh thể” của G. B. Kuperman và E. D. Shukin.

1

Tổng biên tập -
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất -
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính),
S. M. Kozel,
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập),
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập),
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg,
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
T. M. Makarova
(biên tập nghệ thuật)
I. B. Mamulova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
L. V. Chernova
(trưởng tòa soạn).
Nghệ sĩ V.V. Andreev

TRONG PHÒNG:

2. N. Vâng. Vilenkin, V. P. Litsevsky. Evarist Galya
3. A. F. Andreev. Tính siêu lỏng của gelium sống
4. L. E. Sadovsky, A. L. Sadovsky. Cách đo diện tích
5. I. M. Yaelom. ước tính góc
6. G. B. Kuperman, E. D. Shukin. Tính chất cơ học của tinh thể

Phòng thí nghiệm «Kvant»
42. B. I. Aleinikov. Làm thế nào để xác định các cực của nam châm?

vòng tròn toán học
43. Yu. I. Ionin, L. D. Kurlyandik. Vùng lân cận của một hình

Vấn đề «Kvant»
46. Bài toán M226—M230; F238—F242
48. Độ phân giải bài toán M184—M189; F198—F202

Xưởng của người nộp đơn
56. M. L. Kreizman. chiều cao kim tự tháp
61. Viện Vật lý-Kỹ thuật Moscow

Đánh giá, thư mục
64. I. E. Evgeniev. Sách về vũ trụ
66. K. I. Kashin. “trung tâm” là gì?
68. T. S. Petrova, M. L. Smolyansky. Sách mới

«Kvant» cho học sinh nhỏ
70. Bài toán
71. A. S. Varpakhovsky. Bí mật về số hoàn hảo và số lượng cặp khác
75. Đáp số, gợi ý, lời giải

Hỗn hợp (tr. 13, 21, 36, 41, 60, 63, 65, 67)

“Tôi không có thời gian… Tôi không có thời gian!” Những dòng chữ này, được viết nguệch ngoạc vào một đêm tháng Năm năm 1832 bằng những dòng chữ nguệch ngoạc gần như không thể giải mã được trên một tờ giấy phủ đầy các công thức đại số, hét lên về số phận bi thảm và kinh ngạc nhất từng xảy ra với một nhà khoa học - số phận của Evariste Galois. Một thiên tài không được công nhận, một nhà khoa học bị ruồng bỏ, cô đơn và trung thực một cách không hối lỗi. Vào đêm trước trận đấu, chàng trai hai mươi tuổi viết lần cuối, viết, tạm biệt bạn bè, khoa học, cuộc đời.

Evariste Galois sinh ngày 26 tháng 10 năm 1811 tại thị trấn Bourg-la-Reine trong một gia đình giám đốc một panson. Mẹ của anh, Adelaide-Marie, con gái của một tiến sĩ luật tại Đại học Paris, đã cho con trai mình một nền giáo dục nhân văn tốt. Các tác giả yêu thích của ông - Plutarch và Titus Livy, Corneille và Racine - đã dạy rằng không có niềm hạnh phúc nào lớn hơn việc cống hiến mạng sống của mình cho sự tự do của quê hương.

Năm mười hai tuổi, Evariste vào văn phòng ở Paris của Louis Đại đế. Ở đó, anh trở thành một trong những người giỏi nhất - những chiếc lá nghiền nát và những giải thưởng về những câu thơ tiếng Latinh và những bản dịch từ tiếng Hy Lạp lần lượt đổ xuống đầu anh. Tuy nhiên, Evariste nhanh chóng mất hứng thú với văn học và lịch sử và vẫn ở năm thứ hai trong bảng phân loại. Công việc của anh bị đánh giá là tầm thường, cách cư xử lơ đãng, trí thông minh còn quá trẻ. Galois tranh thủ thời gian quay trở lại để học lại môn toán cùng lúc. Ở đó khả năng toán học đặc biệt của ông ngay lập tức được bộc lộ. Những cuốn sách tiểu học về đại số không làm chàng trai hài lòng: chúng thiếu hai nghiên cứu khoa học. Anh ta đọc cuốn sách giáo khoa hình học của Legendre không ngừng nghỉ, giống như một cuốn tiểu thuyết, và khi đọc xong, toàn bộ chiều dài của loạt định lý vẫn in sâu trong trí nhớ của anh ta.

Anh ấy thực sự có được niềm vui tinh thần khi đọc các tác phẩm của Lagrange, một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 18. Với sự dễ dàng đáng kinh ngạc, Galois làm chủ được khả năng phân tích toán học. Nhưng trên hết, tôi quan tâm đến công trình của Lagrange, trong đó nhà phân tích vĩ đại đã nghiên cứu bài toán giải được bằng căn thức của phương trình đại số.

Trở lại thế kỷ 16, các nhà toán học Ilyuyan Tartaglia và Cardno đã suy ra công thức cho phương trình lời giải cấp ba, và Ferrari, sinh viên trẻ của Cardno, đã suy ra công thức cho phương trình lời giải cấp bốn. Nhưng sau đó mọi thứ bị đình trệ: không thể tìm ra công thức cho phương trình lời giải bậc năm. Các nhà toán học lúc đó không hề nghi ngờ rằng có tồn tại một công thức như vậy. Đối với mọi người, dường như điều duy nhất là tìm ra công thức này, tạo ra sự kết hợp kỳ diệu của các hệ số phương trình, ký hiệu số học và căn thức, những thứ sẽ được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc năm nào. Nhưng nhiều thế kỷ trôi qua và sự kết hợp đã thất bại

4

Không thể sáng tác được, mặc dù họ đã cống hiến rất nhiều cho nó cả đời.

Lagrange có một lối suy nghĩ đặc biệt. Trong mỗi câu hỏi, ông tìm cách tạo ra các khái niệm lý thuyết rộng rãi có thể liên kết toàn bộ vô số các bài toán, câu và số nguyên tố riêng lẻ thành một tổng thể duy nhất. Ông đã áp dụng cách tiếp cận tương tự cho câu hỏi về phương trình lời giải trong căn thức. Ông không tạo ra nhiều cách kết hợp khác nhau mà quyết định đâu là nguyên nhân dẫn đến thành công của các nguyên tố được Cardanov, Ferrari, Euler, Tschirghausen và nhiều người khác sử dụng cho các phương trình lời giải bậc 3 và bậc 4.

Hóa ra là tất cả họ đều làm điều tương tự - họ tạo ra các biểu thức từ các nghiệm của phương trình, mà khi các nghiệm được sắp xếp lại, sẽ nhận tương đối ít giá trị khác nhau. Ví dụ: nếu bạn lấy một biểu thức hữu tỉ gồm 4 nghiệm $x_1, x_2, x_3, x_4$ của một phương trình bậc 4, thì dưới nhiều cách sắp xếp lại các nghiệm khác nhau, nói chung, nó sẽ áp dụng 24 giá trị khác nhau (vì 4 đối tượng có thể được biểu diễn theo 24 cách).

Với những điều chỉnh như vậy, đơn thức $x_1$ sẽ có 4 giá trị: $x_1, x_2, x_3, x_4$, tức là bằng bậc của phương trình; công việc

$$\left( x_1 - x_2 \right) \left( x_1 - x_3 \right) \left( x_1 - x_4 \right) \times \left( x_2 - x_3 \right) \left( x_2 - x_4 \right) \left( x_3 - x_4 \right)$$

với những điều chỉnh này, chỉ có 2 giá trị khác nhau được sử dụng; nhị thức $x_1 x_2 + x_3 x_4$ - chỉ có 3 giá trị khác nhau. Lagrange đã chứng minh rằng nếu $x_1, \dots, x_n$ là nghiệm của một phương trình bậc $n$, thì số lần sắp xếp lại $k$, không làm thay đổi dạng của một số biểu thức hữu tỉ $f(x_1, \dots, x_n)$, là ước số của số $n!(n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n)$, và bản thân biểu thức này thỏa mãn một phương trình bậc $n! / k$, các hệ số của nó có thể được biểu thị thông qua các hệ số phương trình đã cho.

Phân tích tất cả các biểu thức có thể được tạo thành từ các nghiệm của một phương trình đã cho và các hoán vị khiến các biểu thức này không thay đổi, Lagrange đã chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì lời giải của bất kỳ phương trình nào có độ $p$ biểu thị lời giải phương trình của $(p - 2)!$ độ. Khi $p = 3$ chúng ta có $(p - 2)! = 1$, phương trình bậc một được giải. Nếu $p = 5$, thì $(p - 2)! = 3! = 6$, tức là lời giải của phương trình bậc năm biểu thị lời giải của phương trình bậc sáu. “Từ đó,” Lagrange viết, “điều cần thiết là các phương pháp mà chúng ta đã xem xét có thể đưa ra một phương trình lời giải hoàn chỉnh của bậc năm.” Điều chính trong công việc của Lagrange là ông đã thiết lập được mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình theo căn thức và hoán vị của nghiệm. Ông gọi mối liên hệ này là “triết lý thực sự của việc giải phương trình”.

Công trình của Lagrange đã mở ra một thế giới mới cho Galois. Mọi suy nghĩ của anh đều hướng về toán học. Nhồi nhét lịch sử, văn học, hùng biện; những người dạy các môn khoa học này viết rằng “khả năng của anh ta chẳng qua là một huyền thoại mà đã đến lúc phải ngừng tin tưởng…”. Hơn nữa, giáo viên dạy toán Verni, người đánh giá rất cao tài năng của Galois, lại coi hành vi của Evariste là rất tệ, còn bản thân ông là người giấu giếm và kiêu ngạo. Ông thấy chàng trai trẻ có niềm đam mê với toán học nhưng lại cố gắng thuyết phục anh học cả toán và hùng biện. Muộn! Galois đã dấn thân vào con đường nghiên cứu khoa học độc lập. Ở tuổi mười sáu, anh ta mắc phải sai lầm giống như một thanh niên thông minh khác, Niels Abel người Na Uy, đã mắc phải vài năm trước anh ta - anh ta nghĩ rằng mình đã giải được một phương trình bậc năm. Việc Tín Hữu chỉ cho anh ta bầu vú thứ bảy thì có sao? Galois không còn nghĩ đến thể diện nữa - anh phấn đấu đạt đến quy mô Bách khoa nổi tiếng, nơi các sinh viên của Lagrange giảng dạy. Anh tin rằng mình sẽ được đánh giá cao ở cô…

Tuy nhiên, nỗ lực bước vào quy mô Bách khoa đã kết thúc

5

số lượng lớn: kiến ​​thức về các tác phẩm của Legendre và Lagrange là không đủ để giải bài toán phức tạp mà giám khảo đưa ra. Galya lại quay trở lại lyceum đáng ghét. Và ở đây hạnh phúc lần đầu tiên mỉm cười với anh - anh gặp được một giáo viên có thể đánh giá cao thiên tài của anh.

Richard biết cách vượt lên trên các chương trình chính thức, ông nhận thức được các ngành khoa học tiên tiến và tìm cách mở rộng tầm nhìn của học sinh. Nhận xét của Richard về Galya rất đơn giản: “Nó chỉ hoạt động trong những lĩnh vực cao nhất của toán học”.

Và thực sự, ở tuổi mười bảy, Galya đã nhận được kết quả khoa học đầu tiên của mình. Tuy nhiên, ghi chú của ông là ghi chú cuối cùng trên một tạp chí toán học nổi tiếng và sẽ sớm được xuất bản. Và mặc dù ghi chú được gọi là “Chứng minh một định lý về các phân số liên tục tuần hoàn”, nhưng nó hoàn toàn liên quan đến lý thuyết điều khiển -

Galya khám phá mối liên hệ giữa việc khai triển phân số liên tục của hai nghiệm của một phương trình.

Ghi chú này chỉ là vấn đề đầu tiên. Ở tuổi mười bảy, Galya đã có những khám phá quan trọng hơn nhiều về lý thuyết phương trình và gửi tác phẩm đến Viện Hàn lâm Khoa học. Nhà toán học Pháp nổi tiếng nhất thời bấy giờ, Cauchy, đã đảm nhận việc trình bày công trình của mình, nhưng nhà hàn lâm quá bận rộn, và công việc của người nghệ sĩ trẻ đơn giản là đã bị thất lạc.

Galya không còn thời gian để tiếp tục những nghiên cứu này: cần phải chuẩn bị cho nỗ lực thứ hai để xây dựng Trường Bách khoa. Lần này, cả Evariste và giáo viên Richard của anh đều không nghi ngờ gì về sự thành công - kỳ thi không nên được thực hiện bởi một cậu học sinh kiêu ngạo mà bởi kiến ​​​​thức sâu rộng về toán học, tác giả của các công trình khoa học.

Một lần nữa Evariste lại đứng trước ban giám khảo. Tóc nâu, mắt cận thị. Lo lắng và xanh xao, anh trông trẻ hơn so với tuổi mười bảy rưỡi của mình. Bàn tay bồn chồn vò nát viên phấn. “Hãy cho tôi biết bạn biết gì về logarit.” Và sự xuất hiện của Evarist nhường chỗ cho sự tức giận: “Tôi không phải là học sinh! Tôi sẽ không trả lời một câu hỏi đơn giản như vậy!” Sau đó Galya được yêu cầu giải phương trình khó nhất. Trong vài phút, anh ấy đã phác thảo bản gốc lời giải. Không hiểu những gì đã được viết, giám khảo đã tiếp quản. Sau một hồi tranh cãi, Evarist tức giận ném khăn lau người vào người giám khảo. Đó không chỉ là cử chỉ giận dữ mà còn là cử chỉ tuyệt vọng: Galya nhận ra rằng điều mà anh hằng mơ ước đang mãi mãi lảng tránh anh.

《Tại sao giám khảo chỉ hỏi thí sinh những câu hỏi khó hiểu? - anh viết. - Có vẻ như họ sợ những người họ hỏi hiểu được. Cái cách chất chồng những khó khăn giả tạo trong câu hỏi đáng tiếc này đến từ đâu? Có ai thực sự nghĩ rằng khoa học cũng vậy

6

đơn giản? Điều gì đến từ điều này? Học sinh không quan tâm đến việc học tập mà quan tâm đến việc vượt qua các kỳ thi… Chúng ta có thể nói đúng rằng cách đây vài năm, một ngành khoa học mới đã xuất hiện, ngày càng trở nên quan trọng hơn. Nó bao gồm việc nghiên cứu sở thích của các giám khảo, tâm trạng của họ, những gì họ thích trong khoa học và những gì họ ghê tởm.”

Và vài ngày sau kỳ thi không thành công, một rắc rối mới, lớn hơn rất nhiều đã ập đến với Evariste. Vào ngày 2 tháng 7, cha của anh, Nikolai-Gabrizl Galya, bị các đối thủ chính trị, những kẻ theo đạo Hồi và những kẻ ngu dốt săn lùng, đã tự sát.

Evariste nắm giữ quyền của cha mình. Hàng trăm cư dân Bourg-la-Reine đi theo quan tài. Họ trao những đặc tính danh dự cuối cùng cho một vấn đề mới, lớn hơn rất nhiều. Vào ngày 2 tháng 7, cha của anh, Nikolai-Gabrizl Galya, bị các đối thủ chính trị, những kẻ theo đạo Hồi và những kẻ ngu dốt săn lùng, đã tự sát.

Evariste nắm giữ quyền của cha mình. Hàng trăm cư dân Bourg-la-Reine đi theo quan tài. Họ trao những đặc tính danh dự cuối cùng cho một vấn đề mới, lớn hơn rất nhiều. Vào ngày 2 tháng 7, cha của anh, Nikolai-Gabrizl Galya, bị các đối thủ chính trị, những kẻ theo đạo Hồi và những kẻ ngu dốt săn lùng, đã tự sát.

Trong tâm hồn Evariste, cái chết và đám tang của cha ông đã để lại dấu ấn sâu sắc.

Vào tháng 2 năm 1830, Evariste Galya thứ mười tám được ghi danh vào Trường Dự bị - một cái bóng mờ nhạt và tầm thường của Trường Bình thường trước đây, bị Bourbons bãi bỏ vào năm 1826. Thật dễ dàng để anh ta vào đó - xét cho cùng, ngôi trường này dường như là sự tiếp nối bộ mặt của Louis Đại đế. Nó đào tạo các ứng cử viên cho chức danh giáo viên.

Tại Trường Dự bị, Evariste sẽ thi lấy bằng cử nhân văn học và toán học. Chỉ sau lần thử thứ hai, anh mới được trao danh hiệu này vì đã vượt qua các bài kiểm tra văn học kém nhưng rất giỏi toán và vật lý. Trong quá trình nghiên cứu của mình, Galya đã xuất bản thêm ba công trình khoa học nữa, vào tháng 1 năm 1830 đã được gửi đến một cuộc thi tại Viện Hàn lâm Khoa học. Giờ đây số phận của anh nằm trong tay thư ký thường trực của Học viện - Fourier. Fourier bắt đầu đọc bản thảo nhưng sớm chết. Bản thảo thứ hai, giống như bản đầu tiên, biến mất.

Vào mùa hè năm 1830, khi Galya đang học xong năm đầu tiên tại Trường Dự bị, Cách mạng Tháng Bảy đã tước bỏ quyền lực của Vua Charles X. Các sinh viên của Trường Bách khoa, chính những người mà Galya rất muốn tiếp cận, đang chiến đấu trên các chướng ngại vật ở hàng ghế đầu.

Trường dự bị lúc đó được lãnh đạo bởi một người tên là Guignot. Cố gắng ngăn cản học sinh của mình tham gia vào các sự kiện đang diễn ra, ông bắt họ hứa không rời khỏi trường và ra lệnh khóa cửa. Chỉ có hai sinh viên từ chối đưa ra lời mà giám đốc yêu cầu - Galya và anh họ Benard.

Vào đêm 28 rạng ngày 29 tháng 7, Galya cố gắng thoát ra và tham gia cùng những người nổi loạn. Để làm được điều này, Guigno buộc kẻ phạm tội phải đến địa chỉ nhà của anh ta. Galya đầy tức giận và khinh thường Guignot, và việc Louis-Philippe lên ngôi cùng với việc thiết lập các nguồn lực, trong mắt anh ta, là sự phản bội lý tưởng mà các chiến binh trong chướng ngại vật đang chiến đấu.

Trong những ngày nghỉ lễ năm 1830, Galya tích cực tham gia vào công việc của giới cách mạng và gia nhập Hiệp hội các quốc gia khác. Sau khi bắt đầu các lớp học ở Trường Bình thường (cuộc cách mạng đã trả lại tên cũ), chàng trai trẻ bắt đầu đấu tranh với vị giám đốc toàn cầu. Vào cuối tháng 11, Galya nổi loạn bị cấm nghỉ học.

Nhưng Evariste sẽ không làm điều đó. Anh ta đang ở trong thế sẵn sàng để tấn công trở lại. Trên tờ La Gazeta des Ecoles số tháng 12, một lá thư sắc bén đã được xuất bản với chữ ký “Học sinh Trường Bình thường”. Tác giả không chỉ giới hạn trong việc phê phán hệ thống giảng dạy ở

7

trường học. Anh ta nói về sự vô đạo đức chính trị của giám đốc nó, mô tả sự bắt nạt mà anh ta phải chịu một cách “cố chấp”… Guigno biết rõ tác giả của bức thư là ai. Bốn ngày sau khi xuất bản, Evariste bị đuổi học.

Galya không chỉ bị tước quyền tham dự các bài giảng mà còn cả sinh kế. Đúng với bản thân mình, Evariste không chìm đắm trong những suy nghĩ buồn bã. Anh ấy đang diễn xuất. Vào ngày 9 tháng 1 năm 1831, trên cùng tờ báo “La Gazete des Ecoles” một chiếc giày xuất hiện: “Vào thứ Năm, ngày 18 tháng 1, ông Galya sẽ mở một khóa học công khai về đại số cao hơn tại Caillot, người bán sách, rue Sorbonne, tòa nhà 5. Khóa học này sẽ được dạy vào lúc một giờ rưỡi vào các ngày thứ Năm hàng tuần. Khóa học bao gồm của các lý thuyết, một số trong số đó là mới, chưa bao giờ được dạy trong các khóa học đại chúng. Chúng tôi sẽ giới hạn việc gọi lý thuyết mới là minis, lý thuyết điều khiển có thể giải được bằng căn thức, lý thuyết về số và hàm elip được xử lý thuần túy bằng đại số.” Đó là một điều chưa từng có: một học sinh bị đuổi học nổi dậy chống lại giáo viên của mình, một cậu bé mười chín tuổi thách thức chính quyền Corpbonne.

Theo những người chứng kiến, buổi giảng đầu tiên có không quá mười người đến dự buổi giảng đầu tiên, buổi thứ hai không quá mười người, và buổi thứ ba (và cuối cùng) có bốn người. Galya đọc nó khó quá.

Từ thông báo trên, rõ ràng vào thời điểm này Galya đã sở hữu những ý tưởng làm nên tên tuổi của ông - các bài giảng được dành cho khả năng giải quyết vấn đề kiểm soát theo cấp số nhân. Evariste bắt đầu nghĩ về khả năng giải quyết vấn đề kiểm soát kể từ khi còn đi học. Teller anh ấy đã biết rằng mình đã nhầm; điều khiển tổng quát bậc năm không thể giải được bằng căn thức (chứng minh của định lý này là

9

có sự sắp xếp lại

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Điều này sẽ dẫn đến 4 hoán vị khác nhau của nghiệm, bao gồm cả hoán vị giống hệt nhau

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix},$$

trong đó tất cả các rễ vẫn ở nguyên vị trí. Những hoán vị này, và chỉ chúng, biến đổi các sự tương ứng $x_k = x_1^k$ thành các sự tương ứng khác, áp dụng cho các nghiệm của phương trình (1) tại $n = 4$. Và đây là điều thú vị. Nếu trước tiên bạn thực hiện một hoán vị như vậy, sau đó là một hoán vị khác, thì kết quả sẽ là một hoán vị cũng biến đổi các tương ứng đúng thành các hoán vị đúng. Những hoán vị này có thể được nhân lên như một số.

Có những hoán vị như vậy cho các phương trình khác không? Rốt cuộc, đối với chúng, bạn cũng có thể tạo ra các tương ứng giữa các gốc và xem theo hoán vị nào thì các tương ứng đúng sẽ biến thành đúng. Tất nhiên, phương trình tốt nhất là các phương trình có gốc là số hữu tỷ. Những phương trình như vậy được giải mà không cần rút ra nghiệm. Đối với các phương trình như vậy, có những sự tương ứng rất đơn giản giữa các nghiệm $x_1 = b_1, \dots, x_n = b_n$ và “hoán vị” duy nhất bảo toàn những sự tương ứng này là hoán vị đồng nhất. Điều này có nghĩa là phương trình càng đơn giản thì tập hợp hoán vị bảo toàn sự tương ứng giữa các nghiệm càng nhỏ! Những tập hợp hoán vị như vậy nên được đặt tên bằng cách nào đó. Những hoán vị này đến với nhau, được nhóm lại. Chúng ta có nên gọi tổng thể của chúng là erpnoi không?

Không chắc rằng khi áp dụng cái tên này, Evariste nghĩ rằng ông đã nhìn thấy trong toán học một khái niệm mới là bản chất của nghĩa vụ và một cuộc sống vinh quang, rằng số lượng công việc liên quan đến các nhóm sẽ lên tới hàng nghìn, rằng các phương pháp của lý thuyết nhóm sẽ tiết lộ những bí mật của tinh thể lời giải, nguyên tử và nhiều hơn thế nữa. Anh ấy chỉ muốn xem điều gì sẽ xảy ra với các nhóm hoán vị nghiệm trong quá trình thực hiện các phương trình lời giải.

Tất nhiên, Galya không phải là người đầu tiên giải quyết các nhóm hoán vị nghiệm. Cả Lagrange và Gauss đều đang nghiên cứu chúng. Bản thân Galya nhận ra rằng những ý tưởng mà ông thể hiện đều được chứa đựng ở dạng trung lập trong tác phẩm của những người đi trước.

Nhưng công lao của người đã làm sáng tỏ những ý tưởng đó, hình thành các đặc tính cơ bản của các khái niệm và áp dụng chúng vào lời giải mới và khó bài toán thật lớn lao. Đây chính là điều Galya đã làm đối với khái niệm nhóm - chỉ sau công trình của ông, nó mới trở thành đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học.

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay trở lại dòng lý luận của Galya. Bây giờ chúng ta cần xem xét cẩn thận những tương ứng nào có thể có giữa các nghiệm của phương trình. Nó phụ thuộc vào hệ số nào được coi là có thể chấp nhận được trong những sự tương ứng như vậy. Hãy lấy phương trình

$$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0.$$

Nếu chỉ cho phép các hệ số hữu tỷ trong một tương ứng, thì đối với gốc của nó chỉ có các tương ứng Vieta, các tương ứng có dạng $x_k = x_1^k$ và những tương ứng thu được từ chúng bằng cách sử dụng các phép toán hợp lý. Nhưng nếu chúng ta giả sử các hệ số có dạng phức tạp hơn thì các tương ứng mới sẽ xuất hiện.

Tập hợp các hệ số càng rộng thì sự tương ứng giữa các nghiệm càng lớn. Và khi đó các hoán vị giữ cho tất cả các tương ứng cũ là đúng có thể đã trở nên không hiệu quả: chúng có thể vi phạm các tương ứng mới. Điều này có nghĩa là với việc mở rộng tập hệ số, nhóm của phương trình sẽ giảm đi. Nhưng nếu phương trình được giải, thì nhóm của nó sẽ trở thành một nhóm đơn vị, nghĩa là thành một nhóm gồm một hoán vị giống hệt nhau. Vậy đây chính là bí mật của phương trình lời giải! Cần mở rộng tập hợp hệ số và theo dõi sự thay đổi của nhóm phương trình (sau nhiều thập kỷ).

10

thì tất cả các nhà toán học sẽ gọi nó là nhóm Galois). Ngay khi nhóm trở nên giống hệt nhau, phương trình lời giải. Và bạn cần mở rộng tập hệ số bằng cách thêm vào đó các nghiệm của một số phương trình phụ. Bây giờ đã rõ phương trình phụ nào là tốt - chỉ những phương trình có nghiệm mà việc cộng các nghiệm vào một tập hệ số chấp nhận được sẽ làm giảm nhóm Galois.

Vẫn còn phải tìm ra nhóm phương trình phải là gì để có thể giải được bằng căn thức. Một kết quả tương tự xuất hiện vào năm 1829 trên Tạp chí Berlin Krehl. Tác giả của nó là Abel nổi tiếng.

Ông đã chứng minh rằng phương trình lời giải là căn phương nếu tất cả các nghiệm của nó có thể được biểu diễn dưới dạng hàm hữu tỉ của một nghiệm $x_k = F_k(x_1)$, và các hàm này phải có tính chất giao hoán sau: $F_k(F_l(x_1)) = F_l(F_k(x))$. Trong trường hợp này, các hoán vị bảo toàn sự tương ứng $x_k = F_k(x_1)$ có cùng tính chất giao hoán - tích của chúng không phụ thuộc vào thứ tự của các phép cộng (điều này không xảy ra với bất kỳ hoán vị nào).

Với nỗ lực trí óc mạnh mẽ, Galois đã giải quyết được bài toán đến cùng. Hóa ra một phương trình lời giải là căn khi và chỉ khi nhóm được xác định bằng hình ảnh của nó có các thuộc tính đối với các nhóm hoán vị giao hoán (chúng tôi sẽ không nói chính xác hơn điều này có nghĩa là gì ở đây). Đồng thời, Galois giới thiệu các khái niệm về ước số chuẩn, nhóm kề, nhóm giải được, v.v., những khái niệm này là nền tảng cho toàn bộ lý thuyết về nhóm. Chìa khóa thần kỳ đã được tìm thấy - lý thuyết nhóm tiết lộ bí mật của phương trình.

Trước khi Galois vạch ra một kế hoạch lớn cho một loạt công trình khoa học sẽ cách mạng hóa toán học… Và ở đây, anh ấy phải đối mặt với một vấn đề đạo đức, mà chúng ta đã biết được từ một ghi chú được lưu giữ trên một tờ giấy:

“Một người có ý tưởng có quyền lựa chọn: hoặc tận hưởng danh tiếng to lớn của một nhà khoa học trong suốt cuộc đời mình, hoặc để lại tên tuổi lớn hơn trong tương lai. Điều đầu tiên xảy ra nếu bạn áp dụng ý tưởng của mình mà không thể hiện nó; thứ hai - nếu nó được công bố…”

Đối với Evariste, sự lựa chọn rất rõ ràng - ý tưởng của ông thuộc về toàn bộ thế giới khoa học. Anh ấy muốn trình bày tất cả những điều quan trọng nhất trong nghiên cứu của mình, trình bày chúng một cách tận tâm, không giấu diếm, chỉ ra con đường dẫn anh ấy đến những kết quả này, lưu ý tất cả những khó khăn và những câu hỏi chưa được giải quyết.

Nhưng Galois không có đủ dịch vụ để hoàn thành kế hoạch của mình. Ông đã bị bắt bởi các sự kiện cách mạng. Ngay sau khi bị đuổi khỏi trường bình thường, anh

11

tham gia pháo binh của lực lượng vệ binh quốc gia. Trong số bốn tiểu đoàn pháo binh, có hai tiểu đoàn gần như hoàn toàn là thành viên của Hội Bạn Nhân Dân. Đây là một lực lượng vũ trang có nghị quyết và chính phủ của Louis Philippe đã cố gắng giải tán nó càng nhanh càng tốt. Sau đó, Galya tham gia vào mọi làn sóng làm rung chuyển Paris trong suốt năm 1831. Toán học bị bỏ rơi.

Ngày 9 tháng 5 năm 1831, Hội Hữu nghị Nhân dân tổ chức tiệc chiêu đãi tại nhà hàng Vanges-de-Bourgogne. Trong số những vị khách được ngồi ở vị trí danh dự có Alexandre Dumas. Nhiều người tham gia mặc đồng phục pháo binh của Vệ binh Quốc gia để phản đối. Những lời chúc mừng cho nghị quyết năm 1793, cho Robespierre, cho những người Thượng đã nhận được những tràng pháo tay; nâng ly chúc mừng độ phân giải năm 1830 - shikab và tiếng cười. Và đột nhiên… nâng ly chúc mừng Louis-Philippe… Ai đã tuyên bố nâng cốc chúc mừng như vậy? Có thực sự là Evarist Galya cộng hòa điên cuồng? Ở đáp số tiếng còi vang lên, nhưng đột nhiên mọi người im lặng - Galya trên tay không chỉ có một ly rượu mà còn có một con dao khui rượu! Dumas thận trọng đã chọn rời khỏi bữa tiệc. Nhưng phần lớn vẫn ở lại. Những người tham gia bữa tiệc, bắt chước Galya, giơ tay đầy đe dọa và lặp lại: “Vì Louis Philippe! Vì Louis Philippe!

Ngày hôm sau Galya được giải quyết. Anh ta bị buộc tội “cố gắng mua bán tính mạng và con người của Vua Pháp bằng một tuyên bố được đưa ra ở nơi công cộng trong một cuộc họp công khai.” Phiên tòa diễn ra vào ngày 15 tháng 6 đã tuyên trắng án cho Galya - người bào chữa đã thuyết phục được bồi thẩm đoàn rằng nhà hàng không phải là nơi công cộng. Galya bình tĩnh đứng dậy, lấy con dao chứng cứ trên bàn, đóng lại, nhét vào túi rồi rời đi không nói một lời.

12

Không Evariste không được tự do lâu. Vào ngày 14 tháng 7 năm 1831, ngày chiếm ngục Bastille, hàng trăm người biểu tình vẫy biểu ngữ đã tuần hành qua Địa điểm Mới. Họ phản đối lệnh cấm biểu tình của Lun-Phillp. Đi đầu là Galois. Anh ta mặc đồng phục Vệ binh Quốc gia, trên tay là một khẩu súng carbine, và dưới bộ quân phục là một con dao găm. Ngay khi những người biểu tình rời khỏi khu vực, họ đã bị cảnh sát bao vây. Galois bị bắt cùng với nhiều người biểu tình khác. Lần này anh ta bị kết án sáu tháng tù vì mang trái phép quân phục và vũ khí.

Trong nhà tù Sainte-Pélagie, Galois biên tập những tác phẩm quan trọng nhất của mình. Trong lời tựa cho một trong số đó, ông đã viết:

“Trước hết, trang tiêu đề của tác phẩm này không lộn xộn với tên, họ và chức danh và không kèm theo lời chào đến những quý tộc keo kiệt, ví của họ mở ra khi bạn hút fimam cho họ và đe dọa đóng sầm lại ngay khi lư hương cạn. Sẽ không ai nhìn thấy ở đây một tiêu đề viết bằng chữ in hoa và thể hiện sự tôn kính kính trọng đối với một ngôi sao sáng của khoa học hoặc một người bảo trợ uyên bác nào đó, rất hữu ích (và tôi thậm chí có thể nói là cần thiết) cho một người ở độ tuổi hai mươi muốn viết.

Tôi không nói rằng mọi điều tốt đẹp trong công việc của tôi đều đạt được nhờ vào lời khuyên và sự động viên của người này người khác. Tôi không nói điều này vì nó có nghĩa là trễ…”

Nhưng Evariste không thể thực hiện lyats. Trong nhà tù Sainte-Pélagie, anh ta nhận được một lời chào khác từ cảnh sát trưởng, Monsieur Gisquet - một viên đạn bắn vào ngày 29 tháng 7 từ gác mái của một ngôi nhà lân cận, bay vào phòng giam và đập vào tường cách đầu tù nhân vài cm.

Tại đây, trong tù, Galois nhận được một lá thư từ Viện Hàn lâm Khoa học. Nó chứa bản thảo của ông và một ghi chú của thư ký học viện, Franus Arago:

“Ông Galois thân mến!

Bản thảo của bạn đã được gửi đến Monsieur Poisson để xem xét. Anh ấy đã trả lại cho chúng tôi cùng với những nhận xét mà chúng tôi trình bày ở đây:

,,Chúng tôi đã cố gắng hết sức để hiểu các chứng minh của ông Galois. Lý luận của anh ta không đủ rõ ràng, không đủ để mở rộng và không có cơ hội đánh giá chúng chính xác đến mức nào…”

Học viện một lần nữa, không hiểu gì, đã từ chối công việc của anh ấy…

Tuy nhiên, bản thân Evariste cũng có liên quan một phần đến việc này. Trong lúc vội vàng, ông đã không bày tỏ suy nghĩ của mình cho rõ ràng mà đưa ra một số định lý mà ông chưa chứng minh được. Và phong cách làm việc của Galois không bình thường đối với các nhà toán học ở thế kỷ 19. Một phong cách mới hướng dẫn toán học của thế kỷ 20. Thay vì tính toán dài dòng cho lời giải bài toán ứng dụng, những ý tưởng hoàn toàn bất ngờ; Hơn nữa, trong tác phẩm của anh có quá nhiều khái niệm mới. Đúng là đối với Poisson, người có mối quan tâm khoa học khác xa với lý thuyết về phương trình đại số, những công trình này dường như chưa đủ rõ ràng.

Sức khỏe của Evariste ngày càng xấu đi. Ngày 16 tháng 3 năm 1832, ông được chuyển đến bệnh viện nhà tù. Chính tại đây, anh đã gặp vợ mình (vẫn chưa rõ tên cô), người đóng vai trò chí mạng trong số phận của Galois.

Vào đêm cuối cùng của cuộc đời, ông đã sắp xếp các bản thảo của mình theo thứ tự và viết một số bức thư. Trong một trong số đó, gửi cho người bạn duy nhất của mình là Auguste Chevalier, anh ấy đã phác thảo ngắn gọn nội dung nghiên cứu của mình và yêu cầu liên hệ với các nhà toán học lỗi lạc nhất để đánh giá tầm quan trọng của những kết quả này - anh ấy không nghi ngờ tính xác thực của chúng. Một bức thư khác của ông kết thúc bằng dòng chữ: “Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis, involuta” *), như thể tóm tắt

*) “Một ánh sáng chói mắt, một cơn bão khủng khiếp bị bao quanh bởi bóng tối vĩnh cửu” (lam.).