chiều cao kim tự tháp

56

chiều cao kim tự tháp
M. L. Kreizman

Có thể nói gì về chiều cao của một kim tự tháp tùy ý? Khá một chút. Về cơ bản, chúng ta có nên lặp lại định nghĩa: chiều cao của kim tự tháp đi qua đỉnh kim tự tháp và vuông góc với đáy của nó.

Tuy nhiên, nếu biết thêm một số thông tin về kim tự tháp, thì vị trí của chiều cao có thể được mô tả chi tiết hơn. Vì vậy, mọi người đều nhận thức rõ rằng trong một kim tự tháp đều, chiều cao đi qua tâm của đa giác đều nằm ở đáy. Kinh nghiệm qua các kỳ thi tuyển sinh cho thấy, các ứng viên thường biết rõ vị trí chiều cao của một kim tự tháp trong đó tất cả các cạnh bên đều bằng nhau, nhưng họ gặp khó khăn hơn nếu cần xác định vị trí chiều cao của một kim tự tháp, chẳng hạn như chỉ có các cạnh liền kề bằng nhau.

Bây giờ chúng ta sẽ xem xét những đặc điểm nào của kim tự tháp cung cấp thêm thông tin về chiều cao của kim tự tháp. Các nhận định dưới đây thiết lập mối liên hệ giữa các đặc điểm của kim tự tháp và vị trí chiều cao của nó. Tất nhiên, những tuyên bố này không nên được ghi nhớ. Nhưng sẽ rất hữu ích nếu bạn nhận ra chúng và học cách “nhìn thấy” khi quyết định điều này hay điều kia bài toán về kim tự tháp.

Phát biểu 1. Nếu đường viền bên của hình chóp vuông góc với mặt phẳng của đáy thì chiều cao của hình chóp nằm trong mặt phẳng của mặt này và đáy của chiều cao nằm trên đế này (hoặc trên phần mở rộng của nó), dọc theo đó mặt này giao với mặt phẳng của đáy.

Trong thực tế, nếu biên bên của ASB vuông góc với mặt phẳng đáy của hình chóp (Hình 1), thì theo định lý về đường vuông góc hạ xuống một trong hai mặt phẳng vuông góc lẫn nhau và có điểm chung với mặt phẳng kia thì chiều cao SO của hình chóp thuộc mặt phẳng của mặt bên của ASB. Trong trường hợp này, đáy O của chiều cao của hình chóp nằm trên cạnh AB của đế (hoặc trên phần mở rộng của nó). Nói cách khác, chiều cao của hình chóp chính là chiều cao của tam giác ASB.

Tuyên bố 2. Nếu hai cạnh bên liền kề của một hình chóp bằng nhau thì đáy của chiều cao của hình chóp nằm trên đường vuông góc, được kiểm tra qua điểm giữa của cạnh này của đế, từ các đầu mà các cạnh bên này phát ra.

Thật vậy, gọi SO là chiều cao của hình chóp (Hình 2); thì OA và OB là hình chiếu của các cạnh SA và SB lên mặt phẳng đáy. Nếu SA = SB thì (theo tính chất nổi tiếng của hình chiếu các cạnh bằng nhau)

59

Hình 7.

là cực và các góc nghiêng của các mặt bên ASB và BSC với mặt phẳng của đế bằng nhau. Xác định thể tích của hình chóp nếu AB = 15, AC = 13, BC = 14, SB = 10,5.

Vì AS ⊥ BC (Hình 7) nên đáy O của hình chóp SO nằm ở độ cao AN của tam giác ABC (xem câu 6). Vì các mặt ASB và BSC đều nghiêng với mặt phẳng ABC nên theo Phát biểu 3, điểm O đồng thời nằm trên phân giác BK của góc ABC.

Do đó, đáy O của đường cao hình chóp là giao điểm của đường cao AN và đường phân giác BK của tam giác ABC.

Tính diện tích tam giác ABC theo công thức Heron: S = 84, ta dễ dàng nhận thấy
AN = 12, BN = 9.

Chúng ta tiếp tục sử dụng tính chất phân giác của góc của tam giác ABN bên trong nó:
$$\frac{ON}{AO} = \frac{BN}{AB}, \frac{x}{12-x} = \frac{9}{15},$$

từ đó ON = x = 4,5. Từ tam giác vuông ONB bây giờ chúng ta xác định OB, sau đó từ tam giác vuông SOB chúng ta tính chiều cao của hình chóp: OS = 3.

Do đó thể tích của hình chóp là V_SABC = 84.

Bài 3. Trong hình chóp tam giác SABC, các cạnh bên SB và SC bằng nhau, các góc nghiêng của các mặt bên ASB và ASC với mặt phẳng đáy bằng nhau. Xác định thể tích của hình chóp nếu AB = 15, BC = 14, AC = 13, AS = 18 (Hình 8).

Hình 8.

Đáy O của đường cao SO sẽ là giao điểm của đường vuông góc với cạnh BC ở chính giữa và các đường phân giác AO của góc BAC (xem câu 2 và 3). Vì AB≠AC nên các đường thẳng này cắt nhau tại một điểm duy nhất, là trung điểm của cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC. Tiếp theo chúng ta tìm thấy: S_△ABC = 84 (theo công thức Heron) và R_△ABC = \frac{abc}{4S} = \frac{65}{8}. Do đó OK = R - \sqrt{R^2 - KC^2} = 4, OC^2 = OK^2 + KC^2 = 65, sin ∠OAC = sin ∠OCK = \frac{OK}{OC} = \frac{4}{\sqrt{65}}, cos ∠OAC = \frac{7}{\sqrt{65}}, và theo định lý cosin từ △AOC ta tìm được AO: AO = 2\sqrt{65} (dễ dàng chứng tỏ rằng ta cần lấy nghiệm lớn hơn của phương trình bậc hai thu được). Teler OS = \sqrt{AS^2 - AO^2} = 8, V_SABC = \frac{1}{3} \cdot 84 \cdot 8 = 224.

Bài toán 4. Dưới đáy hình chóp có một hình tam giác đều