Cách đo diện tích

22

Diện tích thay đổi như thế nào

Bài toán những thay đổi trong diện tích của một hình được giới hạn bởi một đường khép kín nhất định phải được giải quyết bởi những người thuộc nhiều chuyên ngành khác nhau: nhà toán học, nhà khảo sát, nhà vật lý…

Trước hết, nảy sinh hai câu hỏi liên quan chặt chẽ với nhau: diện tích là gì và việc thay đổi nó có ý nghĩa gì?

Những câu hỏi này không đơn giản như vậy, và một khóa học hình học ở trường sẽ đưa ra đáp số dần dần và chỉ dành cho một số trường hợp đặc biệt. Đầu tiên là đối với một số hình dạng đơn giản - hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, sau đó là hình đa giác, hình tròn và một số phần của nó (khu vực, đoạn).

Hãy nhớ rằng hình vuông có cạnh bằng một đơn vị chiều dài thì có diện tích bằng một (diện tích). Điều kiện này là một tiên đề (tiên đề diện tích đơn vị). Hơn nữa, nếu hình (Hình 1) bao gồm hai phần có không quá một số hữu hạn các đoạn và điểm chung và nếu diện tích của các phần được xác định thì tổng diện tích của các phần này được lấy làm diện tích của toàn bộ hình. Điều kiện này được gọi là tiên đề cộng diện tích (cộng diện *)). Cuối cùng, điều kiện là các hình phải có diện tích bằng nhau (tiên đề đồng đẳng).

*) Tính chất cộng của một số đại lượng đã được đề cập trong bài: Ioni và Yu. I. Intergal. «Kvant», 1972, số 9 và Smorodinsky Ya. A. Khối lượng trơ. «Kvant», 1972, số 3.

Cơm. 1.

23

Cơm. 2.

$F_k$ bao phủ hoàn toàn hình $F$ và thậm chí có thể mở rộng ra ngoài đường viền của nó $C$. Diện tích $F_k$, theo tiên đề cộng tính, bằng tổng $S_k$ diện tích của các hình vuông này (nó tỷ lệ thuận với số hình vuông tạo thành $F_k$). Điều tự nhiên là lấy giá trị $S_k$ gần đúng với giá trị diện tích của hình $F$ (có phần dư).

Bây giờ chúng ta hãy tính tổng $S_k$ diện tích của các ô vuông của lưới xả $k$ hoàn toàn nằm trong $F$. Những hình vuông này tạo thành đa giác $f_k$ (nó có màu xanh lá cây), không vượt ra ngoài đường viền $C$. Rõ ràng là với mọi $k$ thì bất đẳng thức $S_k \leq S_k$ là đúng. Điều tự nhiên là lấy $S_k$ làm xấp xỉ giá trị diện tích $F$ (có bất lợi).

Lưu ý rằng bản thân đường viền $C$ hóa ra nằm trong một vùng đa giác nhất định $\varphi_k$ (nó có màu vàng), nằm giữa ranh giới của đa giác $F_k$ và $f_k$; diện tích của $\varphi_k$ bằng $S_k - S_k$.

Bạn có thể xác minh (kiểm tra điều này!) rằng khi chuyển từ lưới $k$ sang lưới $k+1$ thì bất đẳng thức $S_k \geq S_{k+1}$ được thỏa mãn. Hơn nữa, mỗi số $S_k$ đều không âm nên dãy đa giác và dãy hữu hạn

$$S_1 \geq S_2 \geq S_3 \geq \dots \geq S_k \geq \dots$$

phải có giới hạn là $S = \lim_{k \to \infty} S_k$.

Tương tự, chuỗi đa quan hệ

$$s_1 \leq s_2 \leq \dots \leq s_k \leq \dots$$

cũng có một số giới hạn $s = \lim_{k \to \infty} s_k$.

Giả sử rằng với mức tăng không giới hạn của chữ số $k$ của lưới (và do đó, vì $h_k$ có xu hướng bằng 0), các chuỗi (1) và (2) có cùng giới hạn: $s = S$. Trong trường hợp này, hình $F$ được gọi là bình phương và diện tích của nó được lấy bằng $S^*$). Nếu $F$ có thể bình phương, thì ranh giới $C$ của nó, như sau so với ranh giới trước, có thể được bao bọc trong một vùng đa giác $\varphi_k$, diện tích $S_k - s_k$ của nó giảm vô thời hạn khi $k$ xuất hiện. Do đó, hoàn toàn hợp lý khi cho rằng diện tích của đường viền $C$ đó bằng 0. Do đó, nếu vùng $F$ có thể bình phương thì diện tích của đường viền bao quanh nó bằng 0.

Tất nhiên, câu lệnh ngược lại cũng đúng (chứng minh điều đó): nếu diện tích của đường viền $C$ bằng 0 (điều này có nghĩa là $C$ có thể được bao phủ bởi diện tích đa giác $\varphi_k$, bao gồm các tứ giác của lưới thuộc loại $k$, diện tích của nó có xu hướng bằng 0 vì $k$ có xu hướng vô cùng), hình của tôi $F$ có thể bình phương.

Trong hầu hết các trường hợp thực tế, chúng ta kết thúc bằng các dòng $C$ có diện tích bằng 0. Trong số đó

*) Lưu ý rằng mọi lý luận không thực sự phụ thuộc vào hướng của bảng màu so với hình. Nếu đối với một hướng của lưới, hình $F$ hóa ra có thể bình phương, thì nó sẽ giống như vậy đối với hỗn hợp các lưới tùy ý. Và mặc dù với vị trí mới của lưới, bản thân các dãy số (1) và (2) thay đổi, giới hạn $S$ của chúng vẫn giữ nguyên.

Lý luận được thực hiện ở đây hoàn toàn giống với lý luận trong sách giáo khoa hình học dẫn đến định nghĩa diện tích hình tròn là giới hạn của dãy diện tích các đa giác nội tiếp (nội tiếp) với số cạnh tăng không giới hạn.

24

Cơm. 3.

đề cập đến một đường được nghiên cứu bởi nhà toán học người Pháp Camille Jordan (1838-1922). Đây được gọi là đường cong Jordan. Nếu đường cong Jordan được coi là quỹ đạo chuyển động (trong mặt phẳng) của một điểm, thì tọa độ hình chữ nhật $x$ và $y$ của nó có thể được chỉ định là các hàm liên tục

$$x = x(t), \quad y = y(t)$$

thời gian $t$ ($t_0 \leq t \leq t_1$).

Jordan đã chứng minh rằng mọi đường Jordan khép kín $C$ không có điểm tự giao nhau sẽ chia toàn bộ mặt phẳng thành hai phần: bên trong và bên ngoài (Hình 3); đối với mỗi người trong số họ $C$ đóng vai trò là ranh giới chung. Bất kỳ hai điểm nào thuộc cùng một phần của hình (ví dụ: bên trong) đều có thể được kết nối bằng một đường đa tuyến không giao nhau $C$. Bất kỳ đường đứt đoạn nào nối hai điểm từ các phần khác nhau chắc chắn sẽ giao nhau $C$. Vì diện tích của đường cong Jordan khép kín và không tự giao nhau bằng 0, nên hình $F$ (nó bị chặn) có thể bình phương, nghĩa là đối với nó, các chuỗi (1) và (2) có giới hạn chung $S$.

Đo diện tích

Bây giờ đã rõ ý nghĩa của việc đo diện tích của hình bình phương $F$. Điều này có nghĩa là tìm số $S$ - giới hạn của dãy số $S_h$ (hoặc $s_h$). Mỗi số $S_h$ chỉ cung cấp giá trị gần đúng của diện tích khi vượt quá ($s_h$ - khi thiếu). Phần dư (thiếu) này càng nhỏ thì hạng $k$ của lưới càng lớn.

Đương nhiên, trong thực tế, họ không tính toán giới hạn $S$ mà tự giới hạn trong việc xác định giá trị gần đúng của nó $S_h$ bằng cách sử dụng lưới thuộc danh mục phù hợp *).

Tuy nhiên, nảy sinh nhu cầu về các công cụ tiên tiến hơn bảng màu, cho phép người ta đo diện tích nhanh hơn, chính xác hơn và nếu có thể, tự động. Những thiết bị đầu tiên như vậy, được gọi là máy đo hành tinh, được tạo ra cách đây hơn nhiều năm và, như thường lệ xảy ra trong những vấn đề có tầm quan trọng lớn về mặt thực tiễn hoặc khoa học, gần như đồng thời ở các quốc gia khác nhau. Tuy nhiên, máy đo kế hoạch đầu tiên (máy đo kế hoạch-xe tay ga) được phát minh vào năm 1854 bởi thợ cơ khí người Nga P. A. Zaar và Nina M (1816-1886). Cùng năm đó, một thiết kế máy đo phẳng khác đã được đề xuất bởi nhà toán học Thụy Sĩ J. Amsler (1823-1912).

Những máy đo kế hoạch này và các máy đo tương tự đều dựa trên một ý tưởng khá đơn giản nhưng đồng thời rất hiệu quả (chúng tôi sẽ chỉ trình bày ý tưởng đó và bỏ qua cấu trúc của bằng chứng).

Chúng ta hãy xem xét hai vị trí tùy ý của một đoạn (thanh) nhất định trong mặt phẳng vẽ. Bạn có thể chuyển một đoạn từ vị trí ban đầu $A_0B_0$ sang vị trí cuối cùng $AB$ (Hình 4a) bằng ba loại chuyển động:

(1) bằng cách xoay quanh giữa $C_0$ của thanh một góc $\alpha \geq 0$ đến vị trí $A_1B_1$ song song với $AB$;

(2) chuyển động tịnh tiến một lượng $h \geq 0$ theo hướng vuông góc với $A_1B_1$, di chuyển đoạn thẳng đến vị trí $A_2B_2$ trên đường thẳng $AB$;

*) Lưu ý rằng trong hầu hết các trường hợp thực tế, các phương pháp tính tích phân giúp xác định số $S$ mà không cần sử dụng dãy (1) hoặc tìm giá trị gần đúng của giá trị $S$ theo cách tiết kiệm hơn so với việc đếm số bậc hai trên một lưới (về khái niệm tích phân, xem bài viết: And he và Yu. I. Integral. “Quant”, 1972, No. 9).

25

(3) với dwг trên $g \geq 0$ theo hướng $AB$, kết hợp điểm $A_2$ với điểm $A$.

Tuy nhiên, qua khóa học vật lý, người ta biết rằng hai chuyển động cuối cùng có thể được thay thế bằng một chuyển động - một chuyển động tịnh tiến biến $A_1B_1$ ngay lập tức thành $AB$. Trong trường hợp này, đoạn thẳng sẽ “quét sạch” một hình bình hành $B_1A_1AB$ có ​​chiều cao $h$ và đáy bằng chiều dài $l$ của đoạn thẳng.

Hãy tính toàn bộ diện tích, thay thế bằng một đoạn khi di chuyển từ $A_0B_0$ đến $AB$. Tuy nhiên, trước tiên, sự chấp nhận là một quy tắc quan trọng.

Các điều kiện là gán (nhìn từ $B$ đến $A$) cho khu vực này một dấu dương nếu nó vẫn ở bên phải của nó khi di chuyển thanh và một dấu vết nếu nó vẫn ở bên trái (Hình 4a).

Khi tính đến quy tắc này, rõ ràng là tổng diện tích được thay thế bởi một đoạn do kiểu chuyển động đầu tiên bằng 0.

Cơm. 4a.

Cơm. 46.

Đương nhiên, diện tích được thay thế khi di chuyển một phần ba loại bằng 0. Chỉ có diện tích của hình chữ nhật, được thay thế trong quá trình chuyển động tịnh tiến của loại thứ hai, hóa ra khác 0; nó bằng $lh$ (cùng giá trị bằng diện tích hình bình hành $B_1A_1AB$).

Nếu bây giờ nó thực hiện một chuyển động tùy ý từ vị trí $A_0B_0$ đến vị trí $AB$, thì tại bất kỳ thời điểm nào, chuyển động này có thể được chia thành ba loại: loại (1), (2) và (3). Đồng thời, các chuyển động (1) và (3) không cho phép đưa chuyển động theo hướng vuông góc với đoạn thẳng (loại (2)), sự thay thế của nó hoàn toàn được xác định bởi diện tích (đây là chỗ “tinh tế” nhất trong lập luận của chúng ta, ở đây chúng ta không trình bày cấu trúc của chứng minh).

Do đó, để xác định tổng diện tích (chính xác hơn là tổng đại số của các diện tích), được thay thế bằng một đoạn có độ dài đã biết $l$, chỉ cần có một thiết bị thay đổi tổng chuyển động của đoạn đó theo hướng vuông góc (Hình 46).

Hóa ra một thiết bị như vậy có thể là một bánh xe nhỏ $R$ với các cạnh tròn, được gắn ở giữa (tại điểm $C_0$) của thanh và được kết nối với nó để nó chỉ có thể quay. Rõ ràng là trong quá trình chuyển động của loại thứ nhất và thứ ba, bánh xe sẽ không quay, và bánh xe do thanh mang sẽ chỉ trượt dọc theo bề mặt của hình vẽ. Nhưng khi di chuyển loại thứ hai, nó sẽ lăn dọc theo hình vẽ thực tế mà không bị trượt, quay so với thanh. Trong trường hợp này, nó sẽ quay chính xác một cung bằng $h$.

Hãy nhớ rằng bánh xe có thể được đặt ở bất kỳ điểm nào trên thanh. Đồng thời, vẫn có thể sử dụng nó để thay đổi khu vực. Hãy thử tự mình xem rằng nếu bánh xe dịch chuyển một lượng $\lambda$ so với giữa thanh, thì số đọc của nó sẽ thay đổi thành $\lambda\alpha$, trong đó $\alpha$ là góc (tính bằng radian) được hình thành bởi vị trí ban đầu và cuối cùng của thanh.

26

Cơm. 5.

Nếu chu vi của bánh xe được chia thành một số phần nhất định và đồng hồ đo được cố định trên thanh thì có thể theo dõi xem bánh xe quay được bao nhiêu. Một cơ chế đơn giản sẽ phát sinh. Chúng tôi nhận thấy ngay rằng cái thứ hai không phải lúc nào cũng bị thiếu (sau vòng tròn) mà hóa ra lại lớn hơn cái thứ nhất (trước vòng tròn), tất cả phụ thuộc vào hướng bánh xe quay. Nếu bạn di chuyển thanh từ vị trí $A_0B_0$ đến vị trí $AB$, sau đó đưa thanh về vị trí ban đầu thì kết quả sẽ không thay đổi, tức là con trỏ sẽ đứng cùng một vạch chia ở đầu và cuối của hai chuyển động này. Điều này là tự nhiên, vì thanh cắt nhau hai lần trên hình bình hành $B_1A_1AB$; một lần diện tích được gán dấu dương, lần khác là dấu âm.

Chúng ta hãy sử dụng kết quả thu được để tính diện tích $S$ của hình $F$ với một đường biên cong, chẳng hạn như trong Hình 5. Để làm điều này, chúng ta sẽ di chuyển một trong các đầu $B$ của thanh dọc theo đường biên $F$ theo hướng mũi tên. Đầu $A$ trống và di chuyển theo đường thẳng $LA$. Hình 5 thể hiện một số vị trí của thanh khi nó di chuyển từ điểm $P$ của ranh giới đến các điểm $Q$, $R$ và $T$.

Chúng tôi nhận thấy rằng ở trên định nghĩa về diện tích $S$, thanh $AB$ chỉ được đọc một lần - khi di chuyển từ điểm $Q$ đến các điểm $R$, $T$, $P$. Nhưng khu vực nằm ngoài biên giới là

27

số lượng tương ứng với tổng của chúng. Bởi vì
$$lh = S \pm s.$$ (3)

Là ranh giới của s, có thể chọn đường tròn bán kính r; thì s = $\pi r^2$ và diện tích cần tìm sẽ là
$$S = lh \pm \pi r^2.$$

Trong công thức này, dấu của mặt phẳng được chọn, ví dụ: khi s nằm bên trong S (Hình 8).

Tất cả những điều trên có nghĩa là một thanh có bánh xe (thường được gọi là thanh tích phân) có thể đóng vai trò như một thiết bị điều khiển hành tinh. Tuy nhiên, một thiết bị đơn giản như vậy lại bất tiện khi sử dụng và gây ra những lỗi lớn. Trên thực tế, Planetaire phức tạp hơn một chút, mặc dù nguyên lý hoạt động của nó vẫn được giữ nguyên. Có nhiều loại hành tinh được sản xuất bởi các nhà máy cơ khí chính xác khác nhau. Chúng khác nhau về thiết kế của các phần tử riêng lẻ, cũng như ở việc lựa chọn đường cong mà đầu A của thanh di chuyển dọc theo. Đối với một đường cong như vậy, người ta thường chọn đường thẳng (hành tinh tuyến tính) hoặc đường tròn (hành tinh cực).

thiết kế hành tinh

Hình 9 đưa ra ý tưởng về diện mạo chung của hành tinh vùng cực. Cần cực p và cần bypass l được nối với nhau bằng bản lề b và có thể tách rời nhau; Ở cuối cần gạt có một chốt nhọn F để vạch ra ranh giới của khu vực và một điểm dừng f để bảo vệ bản vẽ khỏi bị hư hại do ghim. Cánh tay cực quay quanh đầu (cực), được gắn bản lề vào tấm nặng Π (nó không cho phép dải di chuyển). Cơ cấu đếm (Hình 10) được kết nối với cần gạt. Nó có thể được di chuyển dọc theo cần gạt này và được cố định ở vị trí mong muốn bằng vít q. Cơ cấu đếm nằm trên bánh xe điều chỉnh R và con lăn hỗ trợ bổ sung C, giúp thiết bị ổn định. Chuyển động quay của bánh xe R được truyền qua hành trình đến đĩa đếm Z. Một vòng quay hoàn toàn của bánh xe sẽ làm cho đĩa quay theo một trong mười vạch chia được đánh dấu trên đó. Chu vi của trống đếm T nối với con lăn được chia thành một trăm ô nhỏ. Sử dụng chiếc Vergebra V nằm bên cạnh, bạn có thể đếm được mười nhịp của trống bẫy T.

Cơm. 9. Người hành tinh vùng cực

28

Cơm. 10. Cơ chế đếm của máy đo địa cực.

Mỗi báo cáo là một số có bốn chữ số: đầu tiên là số vạch chia đầy đủ trên đĩa Z, sau đó là số vạch chia chính trên trống T, sau đó là số vạch chia nhỏ hoàn chỉnh trên đó và cuối cùng là số phần mười của vạch chia nhỏ.

Để xác định diện tích S trong các vạch chia của máy đo kế hoạch, bạn nên đặt một chốt chung F tại một điểm nhất định trên ranh giới, sau đó ở lần đọc ban đầu, đánh dấu ranh giới một cách khách quan và quay lại điểm bắt đầu, ghi lại số đọc mới. Sau đó trừ đi số thứ hai từ số đếm đầu tiên; thì hiệu của chúng (đến dấu) sẽ cho một số mà để thu được giá trị ban đầu h phải nhân với bán kính p của bánh xe. Để mỗi chiều dài l bằng giá trị h, hãy tính toán trước xem một phép chia của máy đo kế hoạch tương ứng với giá trị nào (cái gọi là “giá chia” của máy đo kế hoạch) khi xác định độ dài của đòn bẩy chung l. Để thực hiện việc này, hãy phác thảo một hình (ví dụ: hình vuông hoặc hình tròn), diện tích của hình này có thể được tính bằng công thức hình học. Sau đó chia diện tích này cho chênh lệch số đọc ở cuối và ở đầu đường viền.

Hộ chiếu đặc biệt được gắn vào từng thiết bị cho biết giá phân chia cho các độ dài l khác nhau của cần gạt. Độ dài này có thể được thay đổi bằng cách di chuyển cơ chế đếm. Khi cơ cấu đếm dịch chuyển, đại lượng thay đổi sẽ dịch chuyển khỏi điểm giữa một hoặc một giá trị λ khác. Tuy nhiên, có thể chứng minh rằng công thức rút ra ở trên vẫn có giá trị như trước. Một ngoại lệ là trường hợp khi do đi vòng quanh đường biên, đòn bẩy l quay một vòng hoàn toàn. Trong trường hợp này, chênh lệch về số đọc phải tăng thêm 2πlλ.

Máy đo kế hoạch tự chế

Có một thang đo kế hoạch trung bình cực kỳ đơn giản. Đây được gọi là “Máy đo kế hoạch giá” (1886). Nó có thể được làm từ một đoạn dây dẫn khách quan, có dạng chữ P kéo dài (Hình 11). Một trong các đầu cong k nhọn và đóng vai trò như một chốt rẽ nhánh, đầu còn lại T nằm ở vị trí trông giống như một cái rìu, lưỡi dao nằm trong cùng mặt phẳng với đầu. Điểm k được lắp tại một điểm O nhất định bên trong diện tích thay đổi (tốt nhất là hướng về trọng tâm của hình đã phác thảo). Vị trí của điểm T₀ tiếp xúc của lưỡi rìu với bản vẽ bị lệch; sau đó, cầm chiếc rìu để đáp lại, họ dẫn lưỡi dao đến viền, khoanh tròn toàn bộ đường viền và quay về điểm xuất phát O. Đồng thời, chiếc rìu mô tả một đường cong nhất định (nếu không có lưỡi rìu thì hóa ra là

Cơm. 11.

29

viết nguệch ngoạc trên bản vẽ). Một trong những đường này - đường truy đuổi ), xuất hiện khi đi vòng tròn, được hiển thị trong Hình 12. Sau khi quay lại điểm xuất phát $O$, đánh dấu vị trí mới $T_1$ của lưỡi kiếm. Bây giờ, để xác định vị trí của hình được phác thảo, bạn cần thay đổi góc $\varphi = \frac{l}{2}\varphi$ tính bằng radian giữa vị trí ban đầu và vị trí cuối cùng của máy đo kế hoạch và nhân nó với $l^2$. Nếu góc không lớn thì thay vào đó chỉ cần thay đổi hợp âm $T_0T_1$ và tạo ra sản phẩm $l \cdot T_0T_1$. Quy tắc này có thể được rút ra từ lý thuyết chung của máy đo kế hoạch*). Điều này có nghĩa là máy đo độ dày thậm chí không cần bánh xe điều chỉnh.

Thật vậy, chúng ta hãy giả sử rằng máy đo kế hoạch-toorik tuy nhiên được trang bị một bánh xe biến thiên, được gắn

*) Người săn thỏ nên đi theo đường cong như vậy nếu anh ta sau khi “bắt được con thỏ trước họng súng”, muốn giữ nó dưới làn đạn có chủ đích trong suốt cuộc rượt đuổi, đồng thời không thay đổi hướng của súng so với cơ thể.

**) Lý thuyết hình học cơ bản của máy đo kế hoạch-tooric được Viện sĩ A. N. Krylov đưa ra vào năm 1904 trong bài báo “Trên máy đo kế hoạch rìu” (Tác phẩm sưu tầm. Tập V).

nom ở phần cuối của nó (cạnh lưỡi dao). Sau đó, khi đi quanh ranh giới của hình $F$, bánh xe sẽ chỉ trượt và do đó vòng quay của nó bằng 0. Tuy nhiên, nếu bánh xe được đặt ở giữa nắp hầm thì vòng quay của nó sẽ là $\frac{l}{2}\varphi$ (tại sao?). Góc $\frac{l}{2}\varphi$ này sẽ làm bánh xe quay khi quay cần từ vị trí $OT_0$ đến $OT_1$, và tổng cộng - đến $l\varphi$. Do đó, tổng đại số của các diện tích được quét bởi máy đo kế hoạch hóa ra bằng $l^2\varphi$. Chỉ cần lưu ý rằng giá trị này bằng tổng đại số của diện tích yêu cầu $S$ và diện tích $s$, bị giới hạn bởi đường cong theo đuổi (nó được đóng bằng cách xoay máy đo kế hoạch qua một góc $\varphi$). Có thể chứng minh rằng nếu điểm bắt đầu $O$ của đường viền nằm gần trọng tâm $F$ thì $s$ gần bằng 0 và công thức (3) cho:

$$l^2\varphi = S.$$

Mỗi bạn có thể dễ dàng thực hiện một máy đo kế hoạch-toorik. Nhưng máy đo hành tinh cực đòi hỏi mức độ tùy ý cao; nó đo diện tích chính xác hơn mười lần so với máy đo quy hoạch. Máy đo mặt phẳng (chính xác) có độ chính xác cao sẽ đo diện tích chính xác hơn gấp 10 lần so với máy đo thông thường (sai số chỉ bằng 0,0001 diện tích được bao quanh). Trong các thiết bị này, bánh xe đo không lăn dọc theo bản vẽ, có thể có nếp gấp hoặc các điểm bất thường khác, mà dọc theo một đĩa hoặc thước kim loại đặc biệt.

Kiểu tóc. Việc đi qua ranh giới của hình $F$ không phải lúc nào cũng đi kèm với chuyển động của đầu $A$ theo hướng $L$ theo một hướng hoàn toàn và kết thúc bằng chuyển động hoàn toàn của nó: chuyển động ngược chiều kim đồng hồ có thể được thay thế bằng chuyển động theo chiều kim đồng hồ và ngược lại. Tất cả phụ thuộc vào vị trí và cấu hình tương đối của $F$ và $L$. Về vấn đề này, Hình 6, 7 và 8 hoàn toàn là sơ đồ.