Bài toán M226—M230; F238—F242

46

Bài toán

M226—M230; F238—F242

M226. Ở ba đỉnh của hình vuông có ba con châu chấu. Họ chơi trò nhảy vọt. Hơn nữa, nếu châu chấu A đeo ách qua châu chấu B, thì sau cái ách, anh ta thấy mình ở cùng một khoảng cách với B (nhưng, một cách tự nhiên, ở phía bên kia và trên cùng một đường thẳng; Hình 1). Liệu sau vài lần khóa, một trong những người thợ rèn có thể chạm tới đỉnh thứ tư của hình vuông ban đầu không?

Yu. I. Yoonin

Hình 1.

M227. Một điểm được lấy trên mỗi cạnh của hình bình hành. Diện tích của một tứ giác có các đỉnh tại các điểm này bằng một nửa diện tích của hình bình hành. Chứng minh rằng có ít nhất một đường chéo của tứ giác song song với một cạnh của hình bình hành.

E. V. Sallinen

M228. Một tờ giấy ca rô có kích thước $n \times n$ ô được tô màu $n$ (mỗi ô được phủ một trong các màu này hoặc không được phủ chút nào). Màu đúng là màu trong đó mỗi hàng và cột không chứa hai ô cùng màu. Có phải lúc nào cũng có thể “sơn lại” toàn bộ tờ giấy theo đúng cách nếu ban đầu chúng được che phủ đúng cách?

a) $n^2$ – 1 ô;
b) $n^2$ – 2 ô;
b) $n$ ô?

D. Logachev

M229. Ở trung tâm của hình vuông là một cảnh sát, và ở một trong các đỉnh là một tên xã hội đen. Cảnh sát có thể ở khắp quảng trường, nhưng xã hội đen chỉ có thể ở hai bên. Từ-

47

tất cả tốc độ tối đa của cảnh sát là $u$, và tốc độ tối đa của xã hội đen là $v$. Mục tiêu của viên cảnh sát là ở cùng một phía với tên xã hội đen. Chứng minh rằng

a) nếu $\frac{u}{v} > \frac{1}{3}$, thì anh ta có thể đạt được mục tiêu của mình;
b) nếu $\frac{u}{v} < \frac{1}{3}$, thì tên xã hội đen có thể để anh ta làm điều đó.

A. Belkin

Hình 2.

M230. Chứng minh rằng từ bất kỳ hình ngũ giác đều lồi (nhưng không nhất thiết phải đều) nào, bạn có thể cắt một hình tam giác đều, một trong các cạnh của nó trùng với cạnh của hình ngũ giác (Hình 2).

S. Konyashin.

F238. Có hai dây vuông làm bằng cùng một vật liệu. Mặt cắt ngang của một dây là 1 mm và mặt kia là 4 mm. Để làm nóng chảy sợi dây thứ nhất, phải cho dòng điện 10 A chạy qua nó. Hỏi dòng điện chạy qua dây thứ hai bằng bao nhiêu để làm nóng chảy nó?

Cho rằng lượng nhiệt toả ra môi trường trong 1 giây tỉ lệ thuận với độ chênh lệch

Hình 3.

nhiệt độ của dây và môi trường cũng như diện tích bề mặt của dây và hệ số tỷ lệ của cả hai dây là như nhau.

F239. Một bánh xe có bán kính $R$ lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Tốc độ của tâm bánh xe không đổi.

Như đã biết, quỹ đạo của chuyển động cong tuyến tính của một điểm trong một khoảng thời gian ngắn luôn có thể được coi là một cung của một đường tròn. Xác định bán kính của các đường tròn mà bánh xe điểm $A$ và $B$ chuyển động tại thời điểm vectơ bán kính của điểm $A$ nằm ngang và vectơ bán kính của điểm $B$ tạo một góc $\alpha$ với phương thẳng đứng (Hình 3).

F240. Quả cầu thăm dò có vỏ không co dãn đã nâng lên độ cao tối đa và tạo ra những dao động nhỏ xung quanh mặt phẳng cân bằng. Tìm chu kỳ của các dao động này, giả sử rằng ở độ cao như vậy mật độ không khí $\rho$ giảm theo độ cao đều các giá trị $\delta = 1,2 \cdot 10^{-2}$ $\rho$ cứ sau $h = 100$ m.

M. V. Kazarnovsky

F241. Một bánh xe khối $m$ có thể trượt dọc theo một thanh có chiều dài $L$. Lực ma sát giữa chúng là $F$. Xác định tốc độ tối thiểu $v_0$ phải được truyền cho thanh để nó bay qua vòng nếu vòng bị sập lần đầu tiên.

Thí nghiệm được thực hiện trong môi trường không trọng lực.

F242. Camera obscura là một hộp hình chữ nhật có lỗ tròn trên một trong các bức tường. Độ chiếu sáng của hình ảnh Mặt trời thu được trên bức tường đối diện của máy ảnh - màn hình, giảm đi một nửa khi nó di chuyển ra khỏi tâm hình ảnh đến rìa 0,9 bán kính hình ảnh. Độ sáng ở bức tường phía trước của máy ảnh lớn hơn độ sáng ở giữa ảnh bao nhiêu lần?

G. L. Komkin